精品解析：上海交通大学附属中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题

2025—2026学年度第二学期 高二数学期末考试 （满分100分，60分钟完成．答案一律写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有10题，满分46分，第1～4题每题4分，第5～10题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 底面半径为1、高为2的圆柱的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】根据圆柱侧面积公式为， 代入，得： . 2. 函数，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接求导，代入计算即可. 【详解】解：由题可得，所以. 3. 若，则的值为______． 【答案】1或4 【解析】 【分析】利用组合数性质即可. 【详解】由题意可得或，得或， 经检验，或满足题意. 故答案为：1或4 4. 用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成_______个四位数． 【答案】300 【解析】 【分析】根据排列，结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】从1，2，3，4，5中选一个数字作为千位，然后从剩下5个数中任选三个排百位，十位，个位，故共有， 故答案为：300 5. 空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】若直线，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即， 由，，则， 解得：. 6. 从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据古典概率模型直接求解即可. 【详解】记“从5张卡片中任选2张，其上数字之和为偶数”为事件A, 则样本空间：， 共10种情况， 事件A所包含的基本事件有：共4种情况， 所以. 故答案为：. 7. 的展开式合并幂指数相同的项后，含项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式第项为，， 的展开式的第项为,， 令得，或， 所以的系数为. 8. 设（常数，），若函数为奇函数，且在处取得极值，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及导数判断极值即可求得结果. 【详解】因为函数在上为奇函数， 所以， 又，在处取得极值， 所以，可得， 经检验，时，为极小值点，满足要求， 所以. 9. 设点集，从中任取一点满足的概率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，计算出点集中所有元素的个数，根据等差中项的概念，判断三个数字的关系，再根据分类加法计数原理，求出所有可能的结果，再根据古典概率计算公式，求结果即可. 【详解】可知点集中不同的点的个数为个， 从中任取一点满足说明，，构成等差数列， 设公差为，当时，即，符合条件的点共有８个； 当时，符合条件的点有个； 当时，符合条件的点有个； 当时，符合条件的点有个； 当时，无符合条件的点； 所以从中任取一点满足的点共有个. 所以事件的概率. 故答案为： 10. 设，（常数），若函数和分别存在零点、，且，则实数的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据函数为单调递增函数，，得仅有唯一零点，设函数的一个零点为，则有，即，构造函数用导数解决问题． 【详解】由函数为单调递增函数，，得仅有唯一零点， 设函数的一个零点为，则有，即， 所以由题知，在有零点，即方程在有解， 构造函数，， 设，，在单调递减，， 所以，，单调递增，且，, 要使方程在有解，则， 所以实数的最小值是． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 11. 空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间两直线所成角，以及直线方向向量的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：若两条直线的方向向量​​，说明方向向量夹角为， 因此两直线所成角为，可得，充分性成立， 必要性：若，说明两直线所成角为，即方向向量夹角为， 因此，必要性成立， 因此“​​”是“”的充分必要条件. 12. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）． A. 至少有1个白球和2个都是白球 B. 至少有1个白球和至少有1个红球 C. 恰有1个白球和恰有2个白球 D. 至少有1个白球和2个都是红球 【答案】C 【解析】 【分析】由互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可. 【详解】从2红2白中取2个球，所有可能的结果为：2个红球，1红1白，2个白球； 选项A：“至少有1个白球”包含“1红1白”和“2个白球”，和“2个都是白球”可以同时发生，不是互斥事件，排除； 选项B：“至少1个白球”和“至少1个红球”都包含“1红1白”，可以同时发生，不是互斥事件，排除， 选项C：“恰有1个白球”（即1红1白）和“恰有2个白球”不能同时发生，是互斥事件； 且存在“2个都是红球”的情况，两个事件都不发生，因此不是对立事件，符合要求， 选项D： “至少有1个白球”包含“1红1白”和“2个白球”，和“2个都是红球”不能同时发生， 且涵盖了所有可能的结果，必有一个发生，是对立事件，不符合要求. 13. 设函数的定义域为，（）是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）． A. 对任意， B. 是的极小值点 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数极大值点的意义判断A；利用函数图像的对称性结合极值点的意义判断B，C，D作答． 【详解】对于A，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上是否最大，故A错误； 对于B，函数与函数的图像关于轴对称，因此是的极大值点，故B错误； 对于C，函数与函数的图像关于轴对称，因此是的极小值点，故C错误； 对于D，函数与函数的图像关于原点对称，因此是的极小值点，故D正确． 14. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，动点在直线上移动，对于下列两个结论： ①存在唯一点，使得； ②的面积最小值为； 其中（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】B 【解析】 【分析】①分三种情况（若在线段上、若在直线上，且在点左侧、若在直线上，且在点右侧）讨论，根据求出参数值. ②建立空间直角坐标系，根据坐标和向量夹角的余弦公式求出，然后求出到直线的距离为，进而得到的面积表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】①：因为平面，平面，所以，同理， 若在线段上，设，所以， 又， 若，则，解得， 所以存在唯一点使得； 若在直线上，且在点左侧，设， 则，所以， 又， 由，得，舍去； 若在直线上，且在点右侧，设，则， 所以， 又， 由，得，舍去，①正确； ②：以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图， 正方体棱长为2，则， 设，则， 所以，令 设到直线的距离为， 则 若在线段上，则， 由二次函数性质知时，递减， 所以，又不变， 所以的面积最小为； 若直线上，且在左侧，则， 由二次函数性质知，时，无最小值； 若直线上，且在右侧，则， 由二次函数性质知，时，在时，取得最小， 且此时，又不变， 所以的面积最小为，②错误. 故选：B. 三、解答题（本大题共有2题，满分34分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 15. 设是正整数，展开式的通项中的组合数称为该项的二项式系数．对于，考虑以下问题： （1）若展开式各二项式系数的和为512，求展开式中二项式系数最大的项； （2）当时，若从展开式的二项式系数中任取两项，求和为偶数的概率； （3）当时，若从展开式的二项式系数中任取一项，要使这个二项式系数小于的概率大于0.7，求的取值范围． 【答案】（1）和； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）因为二项式系数和为，所以先通过求解的值；再根据的奇偶性确定二项式系数最大的项的位置，最后结合二项展开式通项公式写出对应项． （2）确定时所有二项式系数的总个数，再统计其中奇数和偶数的二项式系数的个数；因为和为偶数包含“两个奇数相加”、“两个偶数相加”两类情况，所以分别计算两类的取法数，最后结合古典概型公式计算概率． （3）因为二项式系数具有对称性且先增后减，所以先确定小于的二项式系数的个数，再根据古典概型列出概率大于0.7的不等式，最后求解不等式得到的取值范围． 【小问1详解】 已知展开式各二项式系数的和为512， 所以，解得． 此时展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项， 第五项为， 第六项为， 所以展开式中二项式系数最大的项是和． 【小问2详解】 、、、、． 总的取法有种； 符合题意的取法为在、、…、中任取两个，或者同时取、， 共有种． 因此所求的概率为． 【小问3详解】 为展开式第9项的二项式系数． 当时，此时小于的有、…、，共个数． 所求概率为，其值随的增大而增大； 由， 解得． 当时，此时小于的项有、…、，共个数． 所求概率为，其值随的增大而减小； 由，解得． 因此整数的取值范围为． 16. 对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义． （1）设，求； （2）设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合； （3）若且，求． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据的解析式求导，并求出和，然后列出不等式，不等式的解集即是. （2）首先对函数求导，根据已知条件求出的值，然后将其对应的函数值和导数值代入不等式中，求出不等式的解集即为. （3）首先根据已知条件列出的表达式，然后求出的关系，然后求出的关系，最后得出的关系. 【小问1详解】 对求导有， 所以，， 因此， 求解不等式有， 由于该式对于任意均成立，所以. 【小问2详解】 对求导有， 则在处的切线方程为， 将点代入方程可得， 解得或， 由于，所以. 所以，. 因此. 将不等式化简得：，化简得. 解得，所以. 【小问3详解】 先证明： 设， 则， 所以在上的最大值为， 进而，因此. 再证明： 根据和，分别推出和， 由不等式性质可得，，即. 由于在和处的切线为和， 所以在和处的切线重合. 因此，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期 高二数学期末考试 （满分100分，60分钟完成．答案一律写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有10题，满分46分，第1～4题每题4分，第5～10题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 底面半径为1、高为2的圆柱的侧面积为__________． 2. 函数，则____________. 3. 若，则的值为______． 4. 用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成_______个四位数． 5. 空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 6. 从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是________． 7. 的展开式合并幂指数相同的项后，含项的系数为__________． 8. 设（常数，），若函数为奇函数，且在处取得极值，则__________． 9. 设点集，从中任取一点满足的概率为________. 10. 设，（常数），若函数和分别存在零点、，且，则实数的最小值为__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 11. 空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 12. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）． A. 至少有1个白球和2个都是白球 B. 至少有1个白球和至少有1个红球 C. 恰有1个白球和恰有2个白球 D. 至少有1个白球和2个都是红球 13. 设函数的定义域为，（）是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）． A. 对任意， B. 是的极小值点 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 14. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，动点在直线上移动，对于下列两个结论： ①存在唯一点，使得； ②的面积最小值为； 其中（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共有2题，满分34分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 15. 设是正整数，展开式的通项中的组合数称为该项的二项式系数．对于，考虑以下问题： （1）若展开式各二项式系数的和为512，求展开式中二项式系数最大的项； （2）当时，若从展开式的二项式系数中任取两项，求和为偶数的概率； （3）当时，若从展开式的二项式系数中任取一项，要使这个二项式系数小于的概率大于0.7，求的取值范围． 16. 对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义． （1）设，求； （2）设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合； （3）若且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $