上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题

上海交通大学附属中学2023～2024学年度第二学期 高二数学期末试卷 （本试卷共3页，满分75分，60分钟完成．答案一律写在答题纸上） 命题：李琛冰 审核：杨逸峰 一、填空题（本大题共有6题，满分30分，每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. __________． 2. 设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为______. 3. 7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有__________种． 4. 设，则函数的极大值点为__________． 5. 设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为______. 6. 设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为______. 二、选择题（本大题共有2题，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 7. 设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（ ）． A. B. C. D. 8. 若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为R，给出下面两个条件：是严格减函数且恒成立；是严格增函数且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中正确的是（ ）． A. 只有是 B. 只有是 C. 和都是 D. 和都不是 三、解答题（本大题共有2题，满分35分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 9. 设，其中n是正整数，a为正实数． （1）设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； （2）设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 10. 如图所示（省略y轴），设P是函数图像上的一点，是曲线在点P处的切线．若存在点P和，使得曲线在P、处的切线相互垂直，则称曲线上存在以P、为端点的直角弯，简称直角弯． （1）设，，横坐标为的点P是曲线上一点，求以点P为端点的直角弯的另一个端点的坐标； （2）设，，试问曲线上是否存在直角弯？若存在，求出端点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由； （3）数学建模社研究车辆转弯时，欲引入“平均弯曲率”来粗略地刻画曲线段的弯曲程度，并满足假设：直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大．设曲线上直角弯端点P、的横坐标分别为、，社员想用（记作①）或（记作②）其中之一作为该段直角弯的“平均弯曲率”．请根据圆内半径不同的圆中直角弯的直观感，帮社员们做出决定（将①或②填在答题纸相应位置，无需说明理由）； （4）设，，“平均弯曲率”如（3）中定义，求曲线上所有直角弯“平均弯曲率”的最大值． 上海交通大学附属中学2023～2024学年度第二学期 高二数学期末试卷 （本试卷共3页，满分75分，60分钟完成．答案一律写在答题纸上） 命题：李琛冰 审核：杨逸峰 一、填空题（本大题共有6题，满分30分，每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】1 【3题答案】 【答案】3600 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】25 【6题答案】 【答案】130 二、选择题（本大题共有2题，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共有2题，满分35分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 【9题答案】 【答案】（1） （2）或 【10题答案】 【答案】（1） （2） （3）②，理由：如图所示，，， 直观看出②满足直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大，故选②； （4） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $