精品解析：辽宁锦州市凌海市2025-2026学年度第二学期七年级期末检测数学试卷

凌海市2025～2026学年度第二学期七年级期末检测 数学试卷 考试时间90分钟 试卷满分100分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效 一、单选题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光，以下是四款人工智能大模型的标识，其中图案为轴对称图形的是（　　） A. B. 腾讯混元 C. 微云人工智能 D. 通义千问 2. 沈阳故宫是中国现存最完整的两大古代宫殿建筑群之一，其部分建筑彩画中使用了一种传统颜料颗粒．经测量，该颜料颗粒的直径约为0.000085米，将数据0.000085用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 成语言简意赅，形象生动，使用广泛，是中华文化的瑰宝．下列成语反映的事件是随机事件的是（ ） A. 不期而遇 B. 水中捞月 C. 刻舟求剑 D. 瓮中捉鳖 5. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，等腰的周长为21，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 16 8. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A. 105° B. 115° C. 120° D. 130° 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是_____． 13. 如图，小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，则该容器壁的厚度为_____cm． 14. 如图，四边形的面积是32，各边中点分别为与相交于点，图中阴影部分的总面积是____． 15. 如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 三、解答题（本题共8道题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、化简求值 （1） （2）先化简，再求值，其中，． 17. （1）作关于直线的对称图形（不写作法）； （2）若网格上的最小正方形边长为1，求的面积． 18. 如图，在和中，，，，连接，，若平分． （1）判断与是否相等，并说明理由； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 19. 某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 598 摸到红球的频率 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299 （1）上表中的_____； （2）通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为_____（结果精确到0.01）； （3）若先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则_____； （4）若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为．求的值． 20. 小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买，已知两超市的标价都是每本2元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙超市的优惠条件是每本都按标价的卖． （1）当小明要买20本时，到哪家超市购买便宜？ （2）求出在甲超市购买，总价（元）与购买本数x（本）（）的关系式； （3）小明现有56元，最多可以买多少本练习本？ 21. 教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，积累了研究运算的经验． 现定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：． 例如：． （1）求的值． （2）若，求x的值． 22. 某学习小组同学利用三块木板摆成如图1所示的滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化关系，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． （1）在小球的滑行过程中，自变量是________，因变量是________； （2）林涵同学记录小球速度与时间的关系如下表，并根据表中数据，将速度与时间的关系用图象表示如图2． 时间 0 0.5 1 2 3 3.5 4 4.5 5 6 速度 0 1 2 4 6 5.5 5 4.5 4 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为________； ②点表示的实际意义是________； （3）若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端．（在同一段路程中，路程，） 23. 数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凌海市2025～2026学年度第二学期七年级期末检测 数学试卷 考试时间90分钟 试卷满分100分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效 一、单选题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光，以下是四款人工智能大模型的标识，其中图案为轴对称图形的是（　　） A. B. 腾讯混元 C. 微云人工智能 D. 通义千问 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 沈阳故宫是中国现存最完整的两大古代宫殿建筑群之一，其部分建筑彩画中使用了一种传统颜料颗粒．经测量，该颜料颗粒的直径约为0.000085米，将数据0.000085用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查较小数的科学记数法，掌握知识点是解题的关键． 根据小于1的数的科学记数法的定义，即可解答． 【详解】解：． 故选C． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法等运算法则逐项判断即得答案 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意； B、，故本选项运算正确，符合题意； C、，故本选项运算错误，不符合题意； D、，故本选项运算错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项的法则和幂的运算性质，属于基本题型，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． 4. 成语言简意赅，形象生动，使用广泛，是中华文化的瑰宝．下列成语反映的事件是随机事件的是（ ） A. 不期而遇 B. 水中捞月 C. 刻舟求剑 D. 瓮中捉鳖 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】 解：A、不期而遇，是随机事件，符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； C、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意； D、瓮中捉鳖，是必然事件，不符合题意； 故选：A． 5. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可. 【详解】A、∵AB//CD， ∴∠1+∠2=180°．故本选项不符合题意； B、如图，∵AB//CD， ∴∠1=∠3． ∵∠2=∠3， ∴∠1=∠2．故本选项正确． C、∵AB//CD， ∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项不符合题意； D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键. 6. 如图，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：D． 7. 如图，等腰的周长为21，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，先由等腰三角形的定义得到，再由线段垂直平分线的性质得到，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵等腰的周长为21，底边的长为5 ∴， ∵腰的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∴的周长， 故选：C． 8. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质． 由题意可知，．又由即可证明．即可得到答案． 【详解】解：根据角平分线的作法可知，，． 又∵， ∴． ∴，即射线即为的角平分线． 故选A． 9. 打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，进水过程中，水量y不断增加，且刚开始时水量为0，清洗过程中，水量y保持不变，排水的过程中，水量y不断减少，据此可得答案． 【详解】解：进水过程中，水量y不断增加，且刚开始时水量为0，清洗过程中，水量y保持不变，排水的过程中，水量y不断减少， ∴四个选项中，只有D选项的函数图象符合题意， 故选D 10. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A. 105° B. 115° C. 120° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知，，即BE+EF的值最小为，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求出AE′B′即可． 【详解】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图： 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， 在△ABG和△AB′G中， ， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G， AB＝AB′， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， 在△ABE′和△AB′E′中， ， ∴△ABE′≌△AB′E′（SSS）， ∴∠AE′B＝AE′B′， ∵AE′B′＝∠BAD+ AF′E′＝25°+90°=115°， ∴∠AE′B＝115°． 即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°． 故选B． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了零指数幂有意义的条件，熟练掌握零指数幂的底数不等于0是解题的关键． 12. 如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据黑色区域四个，白色区域四个，落在黑色或白色区域等可能，对计算求解即可． 【详解】解：∵黑色区域共四个，白色区域共四个， ∴小球落在黑色石子区域内的概率是：． 故选A． 【点睛】本题考查了几何概率．解题的关键在于正确的计算． 13. 如图，小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，则该容器壁的厚度为_____cm． 【答案】1 【解析】 【分析】只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题． 【详解】解：在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴AB＝CD＝6cm， ∵EF＝8cm， ∴圆柱形容器的壁厚是×（8﹣6）＝1（cm）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题． 14. 如图，四边形的面积是32，各边中点分别为与相交于点，图中阴影部分的总面积是____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的中线平分三角形的面积，掌握这一性质是解题的关键．连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解∶连接， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴， ， ， ， ，得 ， ∴ ． 故答案为；16． 15. 如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵， ， 令， ∵和关于直线对称， ， ， ，且平分， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， ， 当时，，即， 解得：， ； 当时，； 当时，； 综上所述，的度数为：或或． 三、解答题（本题共8道题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、化简求值 （1） （2）先化简，再求值，其中，． 【答案】（1） （2），6 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘单项式与完全平方公式去括号，再合并即可； （2）根据多项式乘多项式与多项式除以单项式进行计算，然后将字母的值代入求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 17. （1）作关于直线的对称图形（不写作法）； （2）若网格上的最小正方形边长为1，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）2.5 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：即为所求； （2）的面积为：． 18. 如图，在和中，，，，连接，，若平分． （1）判断与是否相等，并说明理由； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角定理，平行线的判定是解决问题的关键． （1）根据得，进而可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，再根据平分得，进而根据和全等得，继而得，然后根据即可得出与的位置关系． 【小问1详解】 解：与相等，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ， 【小问2详解】 与的位置关系是：，理由如下： 在中，，， ， 平分， ， 由（）可知：， ， ， ， ． 19. 某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 598 摸到红球的频率 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299 （1）上表中的_____； （2）通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为_____（结果精确到0.01）； （3）若先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则_____； （4）若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为．求的值． 【答案】（1）0.28 （2）0.30 （3）9 （4）3 【解析】 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）根据表中的数据计算即可； （2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3，从而得出摸到红球的概率； （3）根据盒子里有9个红球，再根据“摸出黑球”为必然事件，从而得出； （4）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： ． 故答案为：0.28； 【小问2详解】 解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：摸到红球的概率估计为0.3， 盒子里红球的数量为（个）， “摸出黑球”为必然事件， ． 故答案为：9； 【小问4详解】 解：由（3）知红球9个，黑球21个，根据题意得： ， 解得：， 答：的值为3． 20. 小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买，已知两超市的标价都是每本2元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙超市的优惠条件是每本都按标价的卖． （1）当小明要买20本时，到哪家超市购买便宜？ （2）求出在甲超市购买，总价（元）与购买本数x（本）（）的关系式； （3）小明现有56元，最多可以买多少本练习本？ 【答案】（1）买20本到乙超市买便宜 （2） （3）56元最多可以买35本练习本（在乙超市购买） 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的值，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据所给优惠方案分别计算出两超市的费用即可得到答案； （2）根据所给优惠方案列出对应的函数关系式即可； （3）先求出，再求出当时，当时自变量的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：买20本时，在甲超市购买需用（元）， 在乙超市购买需用（元）， ∵， ∴买20本到乙超市买便宜； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：由题意可知在乙超市购买，总价（元）与购买本数x（本）的关系式为． ∴当时，，解得， 当时，，解得． ∴56元最多可以买35本练习本（在乙超市购买）． 21. 教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，积累了研究运算的经验． 现定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：． 例如：． （1）求的值． （2）若，求x的值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据题意将变形为，再结合平方差公式进行运算，即可解题； （2）根据题意将变形为，再结合完全平方公式，以及整式的混合运算求解上式，即可解题． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ， 整理得， 解得． 22. 某学习小组同学利用三块木板摆成如图1所示的滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化关系，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． （1）在小球的滑行过程中，自变量是________，因变量是________； （2）林涵同学记录小球速度与时间的关系如下表，并根据表中数据，将速度与时间的关系用图象表示如图2． 时间 0 0.5 1 2 3 3.5 4 4.5 5 6 速度 0 1 2 4 6 5.5 5 4.5 4 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为________； ②点表示的实际意义是________； （3）若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端．（在同一段路程中，路程，） 【答案】（1）小球滑行的时间 ，小球滑行的速度 （2）①2；②点E表示的实际意义是当小球滑行到时，速度为 （3）达不到斜板顶端 【解析】 【分析】（1）熟悉函数的概念，小球滑行速度随着时间的变化而变化，得出自变量和因变量． （2）①由图象及表格可知小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为，即可求解；②根据图象即可求解； （3）当小球上坡至速度为0时，求出平均速度，进而求出路程与比较即可． 【小问1详解】 解：在小球的滑行过程中，滑行的速度随滑行的时间的变化而变化． 故自变量是小球滑行的时间，因变量是小球滑行的速度． 【小问2详解】 解：①由图象及表格可知，小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为， ∴小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为； ②根据图象可得，点表示的实际意义是当小球滑行到时，速度为； 【小问3详解】 解：由图象知，当小球到达点C时速度为，； 速度为0时， 运动了， 故段中． 第一次在段运动时的路程为． ， 达不到斜板顶端． 23. 数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】 （1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）60 【解析】 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $