精品解析：海南省海口市海南中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

海南中学2023-2024学年度第二学期期末考试 高一数学试题 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算结合模长公式进行求解. 【详解】由题意得， 所以， 故选：B. 2. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可. 【详解】构成空间的一组基底，则不共线， 假设共面，则存在不全为零的实数，使，即， 则，则，与不共线矛盾，故不共面； ，故共面； ，故共面； ，故共面. 故选：. 3. 若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直转化为向量的数量积为0，利用向量的数量积运算化简即可得出结果. 【详解】因为， 所以，即， 即，又， 结合已知条件可知， 故. 故选：C. 4. 已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】 对于A：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于B：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于C：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于D：记,则. 因为，所以点不在平面α上. 故选：D 5. 一帆船要从A处驶向正东方向200海里的B处，当时有自西北方向吹来的风，风速为海里/小时，如果帆船计划在5小时内到达目的地，则船速的大小应为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的合成法则和余弦定理，即可求出船速的大小． 【详解】如图所示， ，，， ， ； 又， 船速的大小应为海里小时． 故选：A 6. 设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【详解】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意． 易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C 7. 如图，在中，，，是棱的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平面时，三棱锥体积最大，把三棱锥补形为一个长方体，求出外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】在中，，是的中点，则有， ，， 当，即平面时，三棱锥体积最大，此时两两垂直， 可把三棱锥补形为一个长方体，且长方体长、宽、高分别为：， 所以三棱锥的外接球半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 8. 在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面为的中点，点在平面内，且平面，则点到面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，可设，再求出，根据平面，可求出点的坐标，即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ， 由点在平面内，则可设， 所以，故， 因为平面， 所以，解得， 所以， 又因平面与面重合， 所以点到面的距离为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知，是异面直线，，是两个不重合的平面，，，那么（ ） A. 当，或时， B. 当时，，或 C. 当，且时， D. 当，不平行时，与不平行，且与不平行 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】对于A：当，时，； 当，时，，故A正确； 对于B：当时，由，得或与相交； 当时，由，得或与相交，故B错误； 对于C：当，时，又为异面直线，所以，故C正确； 对于D：当，不平行时，可能或与相交，或与相交，故D错误. 故选：AC 10. 如图，正方体中，，点为的中点，点为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 与为异面直线 B. C. 与夹角的正弦值为 D. 三棱锥的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，直接观察判断即可；对B，根据平面判断即可；对C，定义法求异面直线的夹角；对D，利用等体积法求解即可. 【详解】对于A，由图可得，三点共面，且点不在平面内，点不在直线上，所以与为异面直线，故A正确； 对于B，由正方体性质可得平面，又平面，故，故B正确； 对于C，连接，正方体中平面，平面，则， 又，得与的夹角等于，，， 中，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC 11. 在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（    ） A. 若，则 B. 的最大值为 C. D. 角的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式判断ABD三个选项，利用向量的模的计算公式判断C选项. 【详解】选项A，若，由余弦定理，得，所以， 则三角形面积，A正确； 选项B，由基本不等式可得，即， 当且仅当时，等号成立， 由余弦定理可得， 则，B正确； 选项C，因为边上的中点为，所以， 而，即，则， 所以 ，故C正确； 选项D，因为，即， 所以由余弦定理得， 又，且函数在上单调递减，所以，D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设为的边的中点，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用向量的平行四边形法则，结合平面向量基本定理求出. 【详解】由为的边的中点，得，即， 又，不共线，所以，. 故答案为：1 13. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件，求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积． 【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 由，得， 又表面积， 所以，解得，则； 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故答案为：． 14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据线面角条件得出点在以为顶点的圆锥侧面上，再结合点P在正方体表面上的限制，找出轨迹在正方体表面上的具体形状，最后分段计算轨迹长度并求和. 【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，： （1）若中点为，求过点与的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出D点的坐标，再根据两点式方程求出直线AD 的方程； （2）根据截距等于0和不等于0，运用截距式方程求解. 【小问1详解】 由题意， 的中点 ，即 ，由两点式直线方程得直线AD的方程为： ，即 ； 【小问2详解】 当过B点，且在x，y轴上的截距为0时，直线方程为 ，即 ； 设当在x，y上截距m不等于0时直线方程为 ， 将B点坐标代入得 ，即 ； 综上，（1）AD直线方程为 ，（2）过B点并且在x， y轴上截距相等的直线方程为 或. 16. 如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. （1）试用，，表示向量； （2）若，，，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由空间线性运算即可求解； （2）由（1）平方即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ，， 即. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，则的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）由三角形面积公式求出，由余弦定理得到，从而得到，得到周长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 故， 由余弦定理得， 解得， 故，解得， 故，周长为6. 18. 四边形为菱形，平面，，，． （1）设中点为，证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 四边形为菱形，且，中点为，所以． 因为，所以， 因为平面，平面，所以． 又，，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质、平行线的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交于点，取中点，连接，所以，底面．以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得； ，，平面的一个法向量为， 则，令得； 所以， 所以平面与平面的夹角的大小为． 19. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点. （1）在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由； （2）设平面∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的取值范围. 【答案】（1） 取中点P，作直线，则直线即为所求， 取中点H，连接，则有，如图， 在等腰梯形中，，有， 则四边形为平行四边形， 即有，又平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点P，作直线，再利用线面平行的判定推理作答. （2）延长交于点O，作直线，再确定四棱锥体积最大时，点B的位置，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量建立线面角正弦的函数关系，求出其范围作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交于点O，作直线，则直线即为直线，如图， 过点B作于，因为平面平面，平面平面，平面， 因此平面，即为四棱锥的高， 在中，， ，当且仅当时取等号，此时点与重合， 梯形的面积为定值，四棱锥的体积， 于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，， 以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， 在等腰梯形中，， 此梯形的高， 显然为的中位线，则， ， 设，则 设平面的一个法向量，则， 令，得， 则有， 令，则，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上得， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2023-2024学年度第二学期期末考试 高一数学试题 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（ ） A. B. C. D. 5. 一帆船要从A处驶向正东方向200海里的B处，当时有自西北方向吹来的风，风速为海里/小时，如果帆船计划在5小时内到达目的地，则船速的大小应为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 6. 设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是棱的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面为的中点，点在平面内，且平面，则点到面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知，是异面直线，，是两个不重合的平面，，，那么（ ） A. 当，或时， B. 当时，，或 C. 当，且时， D. 当，不平行时，与不平行，且与不平行 10. 如图，正方体中，，点为的中点，点为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 与为异面直线 B. C. 与夹角的正弦值为 D. 三棱锥的体积为 11. 在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（    ） A. 若，则 B. 的最大值为 C. D. 角的最小值为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设为的边的中点，，则______. 13. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______． 14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，： （1）若中点为，求过点与的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 16. 如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. （1）试用，，表示向量； （2）若，，，求的长. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，则的面积为，求的周长． 18. 四边形为菱形，平面，，，． （1）设中点为，证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 19. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点. （1）在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由； （2）设平面∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $