海南文昌中学、嘉积中学等七校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 高一下学期期末数学试卷，以复数、立体几何、统计等模块为核心，通过海南自贸港旅游调查（17题）、向量旋转创新情境（19题），考查数学眼光观察现实世界、数学思维解决问题的能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数共轭、分层抽样、面面关系|基础概念与空间想象结合| |多选|3/18|复数性质、三角函数图像|多角度辨析，考查推理意识| |填空|3/15|中位数、解三角形、二面角|实际测量情境，体现数据观念| |解答|5/77|立体几何证明、三角函数最值、统计分析、解三角形综合、向量旋转|17题结合自贸港统计，19题向量旋转创新，综合考查数学语言表达与创新意识|

2025—2026学年度第二学期高一期考答案 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C A D C B B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 BCD AD ABD 【选择题解析】 1．∵，∴，故选D． 2．由向量加法的三角形法则得，，故A错误； 由向量的减法法则得，，，故BD错误； 由向量加法的平行四边形法则得，，故C正确；故选：C. 3．省外游客有3000人，省内游客有2000人，则省外游客与省内游客的人数比为 3000∶2000=3∶2，则抽取的样本中，省外游客有. 故选：C 4．在中，，所以， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 因为，所以， 因为，所以， 所以在中，，可得， 因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：A. 5．注意到与的关系， 因此 因为代入，， ， 又因为，所以，. 故选D． 6．对于A，直线，可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，平面，可能相交或平行，故B错误； 对于C，由直线与平面平行性质，可得C正确； 对于D，平面，可能相交或平行，故D错误． 故选：C． 7．因为，，，， 所以，，得， 显然，所以．故选B． 8．因为上、下底面边长分别是2和4，所以正三棱台上、下底面的面积分别是和， 如图所示，、分别是上、下底面的中心，连接，，， 在梯形内作于， ，， ， 在中，. 所以三棱台的高， 因为棱台的体积，所以. 故选：B. 9．对于A，因为，当时，所以，不符合纯虚数(实部为，虚部不为的复数)的定义，所以是纯虚数，故A错误； 对于B，若，则，故B正确; 对于C，因为复数能比大小的充要条件是两数均为实数，若复数，所以，必为实数，故C正确； 对于D，在复平面内关于实轴对称的复数时，故D正确. 10．函数， 其图象向右平移个单位后得到的图象， 则， 的最小正周期为，且，则，得， 所以，. ，是函数的最大值，函数的图象关于对称， A选项正确； 由，解得，对称中心， 当时，, 所以B选项错误； 函数的图象向右平移个单位， 即，C选项错误； 时，有， 若，则， 由，则有， 即，则，D选项正确. 故选：AD. 11．A：由题意面，面， 故平面平面，A选项正确； 当P是线段的中点时，到平面所成角的平面角为， ,,，所以，B选项正确； C：若平行于侧棱，交于，连接，显然为矩形， 所以，故直线与所成角，即为直线与所成角，为， 由，而， 令且， 则，，， 所以，可得， 整理得，可得或（舍），C选项错误； 当最短时，点P与点重合，三棱锥外接球即是三棱锥外接球， 即是正方体外接球，外接球半径为，所以， 所以外接球体积为，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．5 13． 14． 【部分解析】 13．在中，， 由正弦定理，，，， 在中，，所以米. 14．如图所示：过作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面 ， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角三角形中，因为， 所以,， 在直角三角形中，. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解： （1）取的中点，连接． ……1分 在中，分别为的中点， 所以，且． ……3分 由已知，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， ……5分 又因为平面，且平面， 所以平面． ……6分 （2）在矩形中，， ……7分 因为平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以． ……10分 在直角梯形中，，，可得． 在中，，， 因为，所以． ……12分 因为，平面， 所以平面． ……13分 16．解： （1）因为图像的相邻的两个对称中心之间的距离为； 所以，则； ……1分 因为，所以； ……2分 因为，所以； ……3分 又， ……4分 因为，得 ……5分 函数. ……6分 （2）由（1）可知， 所以 ……7分 ……10分 因为，所以 ……11分 当时，，取得最大值，； ……13分 当时，，取得最小值， ……15分 17．解： （1）由题知，，则 ……3分 （2）由图样本平均数 ……7分 ……9分 （3）由题知，年龄在的频率为0.9，年龄在的频率为0.6，……11分 则年龄的第75百分位数在之内，设第75百分位数为x， 则， ……13分 解得． ……15分 18．解： （1）展开已知等式，得： ， 移项化简得. 设外接圆的半径为R，由正弦定理 可将上式中的角化边，得：. 根据余弦定理可得，代入得. 又，故. ……3分 ，， ，，均小于， 是锐角三角形． ……5分 （2），， ……6分 又， ……7分 在中，由正弦定理得，即， ，， ……9分 的周长为． ……10分 （3）由（2）知，的面积， ……11分 由题意知，为定值， ， ……12分 当且仅当时取到等号，取得最小值，所以， 所以，， ……14分 在中，由余弦定理： ， ……16分 ，所以. ……17分 19．解： （1）已知点，点， ……1分 旋转， ， 旋转后的， ……3分 设，所以， 所以，即，则. ……4分 （2）（i）已知，在单位圆上，，设， 所以， 旋转，得到， 所以 ……9分 （ii）由（i）知，， 所以 ……11分 最大值出现在，即时，此时， 令，且（因为）. 于是： ……12分 令，则，得 ……13分 代入： ……14分 ，，由对勾函数，当，， 所以取到最大值为1， ……16分 即，，所以点坐标为. ……17分 高一数学期考题参考答案 第2页 （共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高一期考试题 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2．如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．为调查海南某旅游景点“五一”假期游客的满意度，计划从3000名省外游客和2000名省内游客中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为250的样本。则样本中省外游客的人数为（ ） A．100 B．120 C．150 D．180 4．在中，点在边上，且，，，的面积为，则的长为（ ） A． B． C． D． 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．已知平面向量,,满足，，，若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知正三棱台上、下底面的边长分别是2，4，侧棱长为，则正三棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．有关复数，为虚数单位，下列命题中正确的是（ ） A．是纯虚数 B．若，则 C．若复数，则, D．在复平面内关于实轴对称的复数为 10．已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，的最小正周期为，则下列选项正确的是（ ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 D．若且，则 11．如图所示，在棱长为1的正方体中，P是线段上动点，则下列说法正确的是（ ） A．平面平面 B．若P是线段的中点，则与平面所成角 的正弦值 C．若直线与所成角的余弦值为，则 D．取最小值时，三棱锥外接球的体积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若一组数据为2, 3, 5, 5, 7, 8，则该组数据的中位数为_______． 13．如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面的两点C, D ，测得 ，，米，在 C点测得塔顶A的仰角为，求塔高AB＝________米. 14．已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分） 如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为的中点．求证： （1）平面； （2）平面． 16.（本小题满分15分） 已知函数，又且图像的相邻的两个对称中心之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）设函数，，求函数的最值及取最值时x的值. 17.（本小题满分15分） 随着海南自由贸易港建设的蓬勃发展，某旅游网站为了解游客对“三亚一日游”的满意度，现统计参与调查的游客年龄层次，将这200人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为 ，并得到频率分布直方图如下： （1）求实数a的值； （2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）估计这200人年龄的第75百分位数． 18.（本小题满分17分） 在△ABC中，内角A, B, C的对边分别为，已知，且 ． （1）证明：△ABC是锐角三角形； （2）若，求△ABC的周长； （3）在（2）的条件下，点是边上的一点，记△ABD的面积为，△BCD的面积为，求当取得最小值时，的长. 19.（本小题满分17分） 已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，称点为点绕点沿逆时针方向旋转角得到的点. （1）已知点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，求点的坐标； （2）已知点为坐标原点，点，点在单位圆:上，点是点绕点沿逆时针方向旋转得到的点. (i) 设，试用表示; (ii) 若点在圆上运动时，与 的夹角为，求的最大值及此时点的坐标. 高一数学 第3页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $