山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假14平面向量应用

**基本信息** 聚焦平面向量几何应用，以线性运算、数量积为核心，覆盖三角形、平行四边形等载体，整合不同难度题型，体现数学抽象与逻辑推理素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线性运算应用|3（单选1,2,5）|用基底表示向量、三点共线参数求解|向量加法/减法法则→平面向量基本定理→几何图形中线性表示| |数量积与夹角|2（单选3,4）|向量模与夹角计算、三角形形状判断|数量积定义→运算律→模长与夹角关系推导| |三角形性质应用|3（单选6,多选7,填空10）|重心、外心性质，动点数量积范围|三角形五心向量表示→正弦定理/余弦定理→几何最值问题| |综合解答|2（解答11,12）|解三角形与向量综合、参数范围求解|向量工具化→代数运算与几何性质融合→数学建模应用|

山西大学附中高中数学（必修二）暑假作业 编号14 平面向量的应用 一、单选题 1．（25-26高一下·新疆伊犁·期中）在三角形中，点是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【详解】由题意可知：， ∴， 又因为，，所以． 2．（25-26高二下·天津红桥·期末）在平行四边形中，，，点E满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【详解】 3．（25-26高一下·四川攀枝花·期末）非零向量满足，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、向量夹角的计算 【分析】利用向量加法的平行四边形法则作图，即可得. 【详解】如图，， 由，则四边形为菱形且， 所以，则向量与向量的夹角为. 4．（25-26高一下·北京·期末）在中，若，则的形状描述最符合的是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【知识点】向量减法的运算律、数量积的运算律 【分析】考查向量的减法法则，将已知等式移项后转化为三角形边长模的关系式即可. 【详解】由条件， 可得， 即，即，故为等腰三角形. 5．（2026高二下·浙江·学业考试）已知G是的重心，过点G的一条直线分别交边于点M，交边于点N，满足，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】首先利用重心的性质得到关于和的表达式，再结合已知条件将和用和表示，最后根据三点共线的性质列出等式求解. 【详解】设的中点为，因为是的重心，根据重心的性质可知， 又因为是的中点，所以，则， 代入条件可得：， 根据三点共线，则，故. 6．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】由条件等式及外接圆圆心性质可得直线是线段的垂直平分线，进而求解. 【详解】设，连接交于，设， 则，因为三点共线，所以，又， 所以，即，所以为中点，又是外接圆圆心，所以， 在中，，，所以.    二、多选题 7．（23-24高一下·福建三明·阶段检测）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等边三角形 C．若，则为的垂心 D．若，则点的轨迹经过的重心 【答案】CD 【知识点】正弦定理解三角形、用向量证明线段垂直、向量在几何中的其他应用、根据向量关系判断三角形的心 【分析】对于A，设线段的中点为点，在线段上取点，使得，根据向量加法的平行四边形法则及三角形的面积公式即可判断；对于B，由题意可得，再根据数量积的定义即可判断；对于C，根据数量积的运算律即可判断；对于D，设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断. 【详解】对于A，设线段的中点为点，在线段上取点，使得， 因为，所以， 连接，则四边形为平行四边形， 故， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 即， 所以，所以， 又，所以， 所以为等腰三角形，故B错误； 对于C，由，得，所以， 由，得，所以， 由，得，所以， 所以为的垂心，故C正确； 对于D，设的中点为，则， 由正弦定理可得， 所以（为中边上的高）， 所以， 所以，所以， 又为公共起点，所以三点共线， 所以点的轨迹经过的重心，故D正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理得出是解决D选项的关键. 8．（21-22高三上·辽宁·开学考试）给出下列命题，其中正确的选项有（    ） A．非零向量、满足，则与的夹角为 B．若，则△为等腰三角形． C．等边△的边长为，则 D．已知向量，且，则 【答案】AB 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、用向量证明线段垂直、利用向量垂直求参数 【分析】A应用向量数量积的运算律得、，进而求与的夹角；B利用向量加法、数量积的几何意义判断即可；C应用向量数量积的定义计算；D应用向量垂直的坐标表示求参数k. 【详解】A：由可得，则，， ，易知与的夹角为，正确； B：若为边上的中线，则，结合已知有，即，所以△中，正确； C：由题意，，错误； D：，由题意有，即，错误. 故选：AB 三、填空题 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 【答案】 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】以为基底，表示出和，根据，可求的值，再求即可. 【详解】设，，则，． 因为， 所以．所以． 又． 所以，即． 故答案为： 10．（22-23高三·全国·中职高考）已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为______. 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、用向量解决线段的长度问题、向量与几何最值 【分析】依题意作图并建立坐标系，如图，可设，利用数量积和模的坐标运算得，利用余弦函数值域求解. 【详解】依题意作图并建立坐标系，如图，， 可设， 则，， 则， 由， 得，，， 又因为，所以，故. 故答案为： 四、解答题 11．（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、向量在几何中的其他应用 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 12．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量在几何中的其他应用 【分析】（1）先利用二倍角公式进行化简，然后结合余弦定理求解. （2）利用已知条件和余弦定理求得，然后根据列出关于的方程求解. （3）根据，然后两边平方，用来表示，然后根据的范围求解的范围. 【详解】（1），， ，. . 又，. （2）周长为19，，①. 中，由余弦定理，即②. 联立①②可得. 设，为的角平分线， 则，即，解得. （3）是边上靠近的一个三等分点，. 两边平方可得. 又，. 由正弦定理可得， . ，. ， 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（必修二）暑假作业 编号14 平面向量的应用 一、单选题 1．（25-26高一下·新疆伊犁·期中）在三角形中，点是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津红桥·期末）在平行四边形中，，，点E满足，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川攀枝花·期末）非零向量满足，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·北京·期末）在中，若，则的形状描述最符合的是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．（2026高二下·浙江·学业考试）已知G是的重心，过点G的一条直线分别交边于点M，交边于点N，满足，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（    ）.    A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·福建三明·阶段检测）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等边三角形 C．若，则为的垂心 D．若，则点的轨迹经过的重心 8．（21-22高三上·辽宁·开学考试）给出下列命题，其中正确的选项有（    ） A．非零向量、满足，则与的夹角为 B．若，则△为等腰三角形． C．等边△的边长为，则 D．已知向量，且，则 三、填空题 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 10．（22-23高三·全国·中职高考）已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为______. 四、解答题 11．（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 12．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $