山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假13平面向量的运算

**基本信息** 平面向量运算专项训练，通过分层题型系统覆盖线性运算、共线条件及三角形应用，注重几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6|基础运算与共线条件|从向量方向、共线参数到三角形性质判断，构建概念应用链条| |多选题|2|共线与几何性质|结合中点、重心考查向量关系，强化空间观念| |填空题|2|面积与内心|通过向量系数关联面积比，体现数学语言表达| |解答题|2|综合运算与证明|垂心外心性质证明及重心内心综合，发展推理能力|

山西大学附中高中数学（必修二）暑假作业 编号13 平面向量的运算 一、单选题 1．（25-26高三下·河北秦皇岛·开学考试）已知向量 与 的方向相反，，，则 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖北随州·期末）设，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河南商丘·期末）在中，，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．（25-26高一下·贵州贵阳·期末）在中，，若，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·新疆伊犁·期中）在三角形中，点是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在中，，点是的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一下·广东深圳·期末）设O为内一点，已知，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（   ） A．E，O，F三点共线 B．O为E，F的中点 C． D． 8．（25-26高一下·山东东营·期末）下列说法正确的有（  ） A．已知中，内角、、所对的边分别为、、，若，，，则 B．已知复数，复数满足，则的最小值为 C． D．中，若，，则动点的轨迹一定通过的内心 三、填空题 9．（25-26高一下·山东东营·期末）已知点是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则__________． 10．（25-26高一下·湖北武汉·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，且为的内心，且，则________． 四、解答题 11．（25-26高一下·江西吉安·期末）已知向量， (1)设，若，求实数u的值； (2)若与共线，求实数的值． 12．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，的垂心为，外心为． (1)证明：； (2)若． ①求； ②设的重心为，内心为，且，，求． 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（必修二）暑假作业 编号13 平面向量的运算 一、单选题 1．（25-26高三下·河北秦皇岛·开学考试）已知向量 与 的方向相反，，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模 【详解】由题可知向量与的方向相反，且，， 设，则，解得， 即. 2．（25-26高一下·湖北随州·期末）设，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【详解】由于向量，共线，则存在实数，使得， 由于，是两个不共线的向量，故且，故 3．（25-26高一下·河南商丘·期末）在中，，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】向量减法的法则、平面向量的混合运算、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】首先由条件，经过化简可得出为等腰三角形，由条件，经过三角形边角关系的推导，可得出边长关系，最后可求出为等边三角形. 【详解】取的中点为，则， 即为的边的中垂线，即为等腰三角形； 可化简为，即，则， 则为等边三角形. 4．（25-26高一下·贵州贵阳·期末）在中，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法的法则、用基底表示向量 【详解】如图， ． 5．（25-26高一下·新疆伊犁·期中）在三角形中，点是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【详解】由题意可知：， ∴， 又因为，，所以． 6．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在中，，点是的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【详解】． 二、多选题 7．（25-26高一下·广东深圳·期末）设O为内一点，已知，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（   ） A．E，O，F三点共线 B．O为E，F的中点 C． D． 【答案】AD 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】根据向量的线性运算可得，故可判断AB的正误，根据可得、，从而可得诸面积关系，故可判断CD的正误. 【详解】因为，并且E，F分别为AB，AC中点， 所以，， 则，所以， 所以，又O为公共点，所以E，O，F三点共线但O不是E、F的中点， 故A正确；B错误； 对于C，由，得，， 则，， 所以，故C错误； 对于D，由选项C得，故D正确． 8．（25-26高一下·山东东营·期末）下列说法正确的有（  ） A．已知中，内角、、所对的边分别为、、，若，，，则 B．已知复数，复数满足，则的最小值为 C． D．中，若，，则动点的轨迹一定通过的内心 【答案】BD 【知识点】正弦定理解三角形、数量积的运算律、与复数模相关的轨迹（图形）问题、根据向量关系判断三角形的心 【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用复数模的三角不等式可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量的线性运算以及数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，由正弦定理可得，则， 因为，，故或，故A错误； 对于B选项，由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故B正确； 对于C选项，设，，则、， 所以表示与共线的一个向量， 表示与共线的一个向量， 但与不一定共线，所以与不一定相等，故C错误； 对于D选项，由题意可知是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， 作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示： 易知，所以四边形为菱形，则直线平分， ，故点在的角平分线所在直线上， 故动点的轨迹一定通过的内心，故D正确. 三、填空题 9．（25-26高一下·山东东营·期末）已知点是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则__________． 【答案】/ 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】取线段的中点，连接，可得出，代入等式，推导出为线段的中点，据此可求得的值. 【详解】因为点是内部一点，并且满足， 取线段的中点，连接，如下图所示： 因为为的中点，所以，即，所以， 所以，即，故为线段的中点， 所以，，故. 10．（25-26高一下·湖北武汉·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，且为的内心，且，则________． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、向量的线性运算的几何应用 【详解】由可得， 可得，化简得， 解得，又，即；    如图所示，延长，交于，过作， 设， 因为为的角平分线，所以， 可知，所以， 所以，同理， 可知， 可知，所以， 可得，化简得， 设内切圆半径为，可得， 所以，化简得， 由得，所以，即， 因为，所以， 由得， 所以， 所以，解得. 四、解答题 11．（25-26高一下·江西吉安·期末）已知向量， (1)设，若，求实数u的值； (2)若与共线，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量数乘的有关计算 【详解】（1）， ，得，得 （2）与共线，且与不共线， ，， 得：． 12．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，的垂心为，外心为． (1)证明：； (2)若． ①求； ②设的重心为，内心为，且，，求． 【答案】(1)如图延长交的外接圆于点，连接，． ∵为圆直径，∴，. ∵，， ∴，． ∴四边形为平行四边形． ∴. ∵，， ∴. ∴. (2)①；②. 【知识点】平面向量的混合运算、三角形的心的向量表示、数量积的运算律 【分析】（1）作出的外接圆，延长交圆于点，可得四边形为平行四边形，通过向量转换即可证明结果. （2）通过计算出外接圆半径，把，转换成向量，，的线性运算可求得结果. 【详解】（1）略. （2）①由（1）知，，所以，即. 设外接圆半径为，则. 因为，，所以. 所以，即，所以. 因为，所以.所以. ②如图，延长交于，连接， 由角平分线性质可得：，， 在中，由余弦定理得， ∴，. 在中，由角平分线性质可得，， ∵为的重心，∴，. 由（1）知. ∴ . ∴. ∵， ∴ . 同理可得 ， ∴ ， ， ， . . 答案第2页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $