第01讲 平面向量的概念与运算（6.1平面向量的概念+6.2平面向量的运算)（复习温故）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025年高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第01讲 平面向量的概念与运算（复习温故） 目录 高频考点1：向量平行与共线定义 1 高频考点2：向量加法（减法）及其几何意义 3 高频考点3：平面向量共线定理 6 高频考点4：三点共线充要条件 8 高频考点5：向量的数乘运算 12 高频考点6：平面向量的数量积 15 ①平面向量的数量积（定义法） 15 ②求模 17 ③求夹角 19 ④投影 22 高频考点1：向量平行与共线定义 1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的模相等 B．若，则 C．共线向量是在同一条直线上的向量 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 【答案】A 【分析】根据向量的基本概念，包括向量的模、平行向量、共线向量等，逐一分析每个选项. 【详解】对于A选项,对于向量与向量，它们的大小是相等的，只是方向相反.根据向量模的定义，向量的模与向量的模是相等的，所以A选项正确. 对于B选项，当时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行，B选项错误. 对于C选项，共线向量也叫平行向量，是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量共线.共线向量不一定在同一条直线上，只要它们的方向相同或相反即可，所以C选项错误. 对于D选项，两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同. 向量不仅有大小还有方向，只有当两个向量的大小和方向都相同时，它们才相等. 所以即使起点相同且长度相等，方向不同时，终点也不相同，D选项错误. 故选： 2．（23-24高三上·安徽·期中）已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 3．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 【答案】D 【分析】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断. 【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误； 对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误； 对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误； 对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确； 故选：D. 4．（多选）（24-25高一下·甘肃张掖·期中）下列能使成立的充分条件是（   ） A． B． C．与方向相反 D．或 【答案】ACD 【分析】根据共线向量的定义，以及与任意向量共线，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，所以A符合题意； 对于B中，由时，向量与的方向不一定相同或相反，所以与不一定共线，所以B不符合题意； 对于C中，由与方向相反，则向量与共线，所以，所以C符合题意； 对于D中，由或，得到或，即向量与至少有一个为， 根据与任意向量共线，可得，所以D符合题意. 故选：ACD. 5．（2024高三·全国·专题练习）若，，则．( ) 【答案】错误 【分析】根据向量共线定义判断即可. 【详解】因为,满足，，但是不一定平行． 故答案为：错误. 核心知识点 （1）方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（又称平行向量）. （2）规定：与任何向量共线. 在遇到平行（共线）向量时特别注意，考试容易忽略而导致错误. 高频考点2：向量加法（减法）及其几何意义 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的加法法则求解. 【详解】根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得. 故选：B. 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形和题设条件，逐一判断各选项即可. 【详解】 对于A，如图，与方向不同，故A错误； 对于B，与方向相反，故B错误； 对于C，因在边上，满足， 则，，由A项知与不相等，故C错误； 对于D，由图知，， 因，故有，即D正确. 故选：D. 3．（2025高二下·天津南开·学业考试）如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质，运用向量的加法法则，即可得到答案. 【详解】由六边形是正六边形，可知， 故. 故选:C. 4．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）下列各向量运算的结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据向量加、减法的运算法则逐项判断即可. 【详解】如图，以，为临边作平行四边形， 则，，，， 所以与相等的是. 故选：C 5．（多选）（24-25高一下·河北承德·阶段练习）如图，在正六边形中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量与向量是平行向量 【答案】AD 【分析】由平面向量加、减法的运算，结合平行向量的定义以及向量模的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，，由正六边形的性质可知，即，故A正确； 对于B，设正六边形每条边长为，则，故B错误； 对于C，根据平行四边形法则有，与共线但方向相反，故C错误； 对于D，根据平行四边形法则有，与方向相同，故D正确. 故选：AD. 核心知识点（向量的加减，注意向量的指向） （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. （3）向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量 高频考点3：平面向量共线定理 1．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理即可求解. 【详解】向量，是两个不共线的向量，， ，存在唯一实数使得，即， ，. 故选：A. 2．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据两个向量共线，且方向相同，列出方程组，求出参数值. 【详解】由题意知，即，解得， 故选：B. 3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组. 【详解】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 4．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则实数k的值是 . 【答案】 【分析】利用向量共线的充要条件建立方程组进行计算求解. 【详解】因为与是共线向量，所以存在实数，使得， 所以，即， 又因为是两个不共线的向量，所以， 解得 故答案为：. 5．（24-25高一下·四川成都·期中）已知向量，，满足，，与的夹角为． (1)求的值； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用数量积的运算即可求解； （2）由，即存在实数，使得，对应系数相等解出即可. 【详解】（1）由题意有 ， 所以； （2）由有存在实数，使得， 即，解得. 核心知识点 （1）向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. （3）、、三点共线 规律：已知三向量起点相同，则终点共线系数和为1. (4)、、三点共线(是直线外任意一点）() 高频考点4：三点共线充要条件 1．（24-25高一下·云南文山·期中）如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E的直线分别与边AB、AC交于P、Q两点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由可得，根据三点共线向量性质可得，再结合均值不等式即可求出结果． 【详解】∵， ，∴， 又∵，， ∴， 又∵E，P，Q三点共线，∴， ， 当且仅当时取等号. 故选：A． 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，得到，由，得到，结合三点共线，即可求解. 【详解】在中，因为，即为的中点，所以， 又因为，所以， 因为三点共线，可得，所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的最小值为16. 故选：B. 4．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）在中，点在边上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 5．（25-26高一·全国·假期作业）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ． 【答案】3 【分析】连接AG并延长，交BC于F，结合已知有，再由三点共线即可得. 【详解】连接AG并延长，交BC于F，如图所示， 由题意得，F为BC中点，所以，又G为重心，所以， 所以，即， 因为D、G、E三点共线，所以，即. 故答案为：3 6．（24-25高二·全国·假期作业）在平行四边形中，为的三等分点，为与的交点，为边上一动点，为内一点（含边界），若，则的取值范围是 【答案】 【详解】 如图，作，则，过点作直线的平行线，交于，过点作直线的平行线，交于， 已知，相似比，所以， 设，因为三点共线，所以， 设，则，即， 因为为内一点（含边界），所以在线段之间（含端点），则， 所以，由，得. 故答案为：. 核心知识点 （1）、、三点共线 规律：已知三向量起点相同，则终点共线系数和为1. (2)、、三点共线(是直线外任意一点）() 高频考点5：向量的数乘运算 1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A 3．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面的线性运算法则求解即可. 【详解】由题意得 ． 故选：C 4．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（   ） A．+ B．+ C．+ D．- 【答案】A 【分析】根据向量基本定理得到. 【详解】点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)， 故， 所以. 故选：A 5．（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】， 所以，即，即, 即. 故选：D 核心知识点 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. （2）向量数乘的几何意义 对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． 实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． 高频考点6：平面向量的数量积 ①平面向量的数量积（定义法） 1．（2025高二上·北京·学业考试）已知菱形的边长为2，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义求解. 【详解】. 故选：B 2．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知正六边形ABCDEF的边长为1，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由正六边形的几何性质，利用数量积的定义式，可得答案. 【详解】 在边长为1的正六边形ABCDEF中，是边长为的正三角形， 所以 故选：C. 3．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用平面向量的数量积的概念与运算，即可求解. 【详解】如图所示，由向量的数量积的定义， 可得. 故选：A. 4．（24-25高一下·云南文山·期中）已知非零向量，，其中，，且满足，则 . 【答案】2 【分析】根据向量垂直的充要条件和数量积的定义即可求解. 【详解】∵， ∴，即， 则. 又∵，， ∴，解得：． 故答案为：. 5．（2025·广西柳州·模拟预测）已知与的夹角，则 . 【答案】6 【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由与的夹角， 则. 故答案为：6. 核心知识点 向量的数量积： (1)定义法 (2)几何意义法 (3)坐标法 （4）用基底表示向量 ②求模 1．（24-25高一下·浙江·期末）若，，与的夹角为，则（   ） A． B． C．2 D．28 【答案】A 【分析】利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解. 【详解】. 故选：A. 2．（24-25高一下·上海宝山·期末）若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】由向量均是单位向量，且， 则， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知向量，满足，，，则的值为（    ） A．16 B．4 C．10 D． 【答案】B 【分析】由可得，从而可得，然后由可得答案. 【详解】，则. 则. 故选：B 4．（云南省部分校2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题）已知单位向量满足，则 ， . 【答案】 【分析】根据单位向量的定义及公式可求出，再根据公式即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：；. 5．（24-25高二下·上海·期末）已知向量，的夹角为，，，则 . 【答案】1 【分析】根据平面向量数量积的定义先求出的值，将，，代入计算即可. 【详解】因为向量，的夹角为，，， 所以， 所以 . 故答案为：1 核心知识点 向量求模 (1)，. (2)坐标法， ③求夹角 1．（2025高一下·全国·专题练习）已知，且向量在向量方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的定义以及两个向量的夹角即可求得结果. 【详解】设，由向量在向量上投影向量计算公式：，得， 又，，，， ，又， 故选：D． 2．（江苏省镇江市2024-2025学年高一下学期6月期末质量监测数学试卷）已知，是单位向量，若，则向量，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【分析】由向量垂直、数量积的运算律以及定义求得即可得解. 【详解】设向量，的夹角为， 已知，是单位向量，若， 则，解得， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出向量的数量积，然后求出向量的模，最后根据向量夹角的余弦公式即可求出答案. 【详解】因为是两个垂直的单位向量，所以. 因为， 所以. 而，. 所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量、满足，，且. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面向量数量积的运算性质结合题干中的等式可得出的值，由已知条件得，结合平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，结合向量夹角的取值范围可得结果. 【详解】（1）因为向量、满足，，且， 即，解得， 因为，即, 解得. （2）因为， ， 因此. 因为，因此，即与的夹角为. 5．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知向量满足，，，向量满足． (1)求实数的值； (2)求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由数量积的运算律求出，再由向量垂直的条件可得； （2）先由数量积和模长的运算求出，再由夹角的计算求出即可. 【详解】（1）因为，即，则， 又，所以. （2）由（1）可得，则， 所以， 所以， 因为，所以，即与的夹角为. 核心知识点 计算向量数量积的三种方法 （1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即（是与的夹角）． （2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解． （3）坐标法：若向量用坐标形式表示，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． ④投影 1．（新疆乌鲁木齐地区2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可知是中点，再结合即投影向量的概念可得. 【详解】   ，是中点， 又，所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 则向量在上的投影向量为. 故选：D. 3．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角公式求出，再结合投影向量公式求解即可. 【详解】由向量的夹角公式得， 由投影向量公式得在上的投影向量为，故D正确. 故选：D 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为单位向量，，，则在上的投影向量的长度为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算律由条件推得，再根据投影向量的定义即得. 【详解】由，可得， 因，代入解得， 于是在上的投影向量的长度为. 故选：A. 5．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知向量，满足，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的公式直接计算. 【详解】在方向上的投影向量为， 故选：C. 6．（浙江省绍兴市2024-2025学年高二下学期期末调测数学试卷）已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的长度为 . 【答案】/ 【分析】根据投影向量的计算，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可得长度为. 故答案为：. 核心知识点 （1）注意求投影向量，还是投影数量； （2）投影数量可正，可负，可为0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念与运算（复习温故） 目录 高频考点1：向量平行与共线定义 1 高频考点2：向量加法（减法）及其几何意义 2 高频考点3：平面向量共线定理 3 高频考点4：三点共线充要条件 5 高频考点5：向量的数乘运算 6 高频考点6：平面向量的数量积 7 ①平面向量的数量积（定义法） 7 ②求模 8 ③求夹角 8 ④投影 10 高频考点1：向量平行与共线定义 1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的模相等 B．若，则 C．共线向量是在同一条直线上的向量 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 2．（23-24高三上·安徽·期中）已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 4．（多选）（24-25高一下·甘肃张掖·期中）下列能使成立的充分条件是（   ） A． B． C．与方向相反 D．或 5．（2024高三·全国·专题练习）若，，则．( ) 核心知识点 （1）方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（又称平行向量）. （2）规定：与任何向量共线. 在遇到平行（共线）向量时特别注意，考试容易忽略而导致错误. 高频考点2：向量加法（减法）及其几何意义 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·天津南开·学业考试）如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）下列各向量运算的结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一下·河北承德·阶段练习）如图，在正六边形中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量与向量是平行向量 核心知识点（向量的加减，注意向量的指向） （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. （3）向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量 高频考点3：平面向量共线定理 1．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则实数k的值是 . 5．（24-25高一下·四川成都·期中）已知向量，，满足，，与的夹角为． (1)求的值； (2)若，求实数k的值． 核心知识点 （1）向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. （3）、、三点共线 规律：已知三向量起点相同，则终点共线系数和为1. (4)、、三点共线(是直线外任意一点）() 高频考点4：三点共线充要条件 1．（24-25高一下·云南文山·期中）如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E的直线分别与边AB、AC交于P、Q两点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 4．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）在中，点在边上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 5．（25-26高一·全国·假期作业）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ． 6．（24-25高二·全国·假期作业）在平行四边形中，为的三等分点，为与的交点，为边上一动点，为内一点（含边界），若，则的取值范围是 核心知识点 （1）、、三点共线 规律：已知三向量起点相同，则终点共线系数和为1. (2)、、三点共线(是直线外任意一点）() 高频考点5：向量的数乘运算 1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 3．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（   ） A．+ B．+ C．+ D．- 5．（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 核心知识点 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. （2）向量数乘的几何意义 对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． 实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． 高频考点6：平面向量的数量积 ①平面向量的数量积（定义法） 1．（2025高二上·北京·学业考试）已知菱形的边长为2，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 2．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知正六边形ABCDEF的边长为1，则（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南文山·期中）已知非零向量，，其中，，且满足，则 . 5．（2025·广西柳州·模拟预测）已知与的夹角，则 . 核心知识点 向量的数量积： (1)定义法 (2)几何意义法 (3)坐标法 （4）用基底表示向量 ②求模 1．（24-25高一下·浙江·期末）若，，与的夹角为，则（   ） A． B． C．2 D．28 2．（24-25高一下·上海宝山·期末）若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知向量，满足，，，则的值为（    ） A．16 B．4 C．10 D． 4．（云南省部分校2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题）已知单位向量满足，则 ， . 5．（24-25高二下·上海·期末）已知向量，的夹角为，，，则 . 核心知识点 向量求模 (1)，. (2)坐标法， ③求夹角 1．（2025高一下·全国·专题练习）已知，且向量在向量方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（江苏省镇江市2024-2025学年高一下学期6月期末质量监测数学试卷）已知，是单位向量，若，则向量，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量、满足，，且. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角. 5．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知向量满足，，，向量满足． (1)求实数的值； (2)求与的夹角． 核心知识点 计算向量数量积的三种方法 （1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即（是与的夹角）． （2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解． （3）坐标法：若向量用坐标形式表示，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． ④投影 1．（新疆乌鲁木齐地区2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为单位向量，，，则在上的投影向量的长度为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知向量，满足，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（浙江省绍兴市2024-2025学年高二下学期期末调测数学试卷）已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的长度为 . 核心知识点 （1）注意求投影向量，还是投影数量； （2）投影数量可正，可负，可为0. 学科网（北京）股份有限公司 $$