山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假7对数运算与对数函数

**基本信息** 暑假作业聚焦对数运算与对数函数，分层设计从基础概念到综合应用，强化运算能力与推理意识，适配假期知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|对数运算、函数概念|单选题1（集合与对数）、填空题9（运算），夯实基础| |能力提升|函数性质、大小比较|单选题3（比较大小）、填空题10（最值），培养推理能力| |综合应用|图像变换、实际应用|解答题12（不等式）、单选题2（航天背景），发展模型意识|

山西大学附中高中数学（必修一）暑假作业 编号7 对数运算与对数函数 一、单选题 1． 【答案】A 【分析】根据分式不等式以及对数函数的性质化简两个集合，即可根据交集和补集的定义求解. 【详解】已知集合，不等式等价于，解得，因此集合， 集合，根据对数函数的性质，，解得，因此集合， 所以，则，故A正确. 2．【答案】C 【详解】（m/s）． 3． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 4． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 5． 【答案】A 【分析】若函数的图象关于点对称，则对定义域内任意满足，结合函数定义域先确定对称中心横坐标的可能值，再代入验证即可. 【详解】∵ 要使函数有意义，则，即，解得，故函数定义域为. 若函数存在对称中心，则横坐标为区间中点，接下来验证的值： ， ， ∴ ， 即对任意定义域内的，都满足，故函数的图象的对称中心为. 【点睛】方法点睛：求解函数对称中心时，若函数定义域为对称区间，可先猜想对称中心横坐标为区间中点，再利用对称中心的性质代入验证，计算时可结合对数运算、奇偶函数的性质简化运算. 6． 【答案】B 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 二、多选题 7． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用二次函数、对数函数的单调性求出单调区间及最值. 【详解】函数中，，解得， 令，函数在上单调递减， 而函数在上单调递减，因此函数在上单调递增，A错误，B正确； 当时，取得最大值9，所以有最小值，C错误，D正确. 故选：BD 8． 【答案】ACD 【分析】对于A，分别作出函数、和的图象，易得点，关于直线对称，进而得到；对于B，联立，结合零点存在定理得到，结合图象得到，结合的单调性及放缩法证明即可；对于C，利用基本不等式证明即可；对于D，联系，结合零点存在定理得到，构造函数，结合导数与单调性证明即可. 【详解】对于A，作出函数、和的图象， 因为和互为反函数，所以它们的图象关于直线对称. 直线与垂直，即关于直线对称， 所以交点，关于直线对称，所以，， 又在直线上，所以，即，故A正确； 对于B，由，得，设，则单调递增， 因为，，所以由零点存在定理知，的零点在上， 所以，所以. 结合图象可知，，则，. 所以，故B错误. 对于C，易知，所以，故C正确； 对于D，由，得，设，， 则在上单调递增， 又，，所以. 因为，设，，则， 所以在上单调递增，所以，故D正确. 三、填空题 9．【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 10．最小值为. 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 四、解答题 11．【答案】(1)(2)(3) 12． 【答案】(1)（i）0；（ii）或；(2) 【分析】（1）（i）由解析式即可求解，（ii）结合对数函数单调性即可求解； （2）由对数的运算性质，结合分离参数法得到，再令，结合基本不等式求得范围即可求解. 【详解】（1）当时， （i），所以； （ii）由题知． 由对数函数的单调性可得： 化简得：，解得或； （2）由， 设，使得且， 即， 所以， 设，所以， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 故的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $山大附中（必修一）暑假作业7 对数运算与对数函数 一、单选题 .已蜘家合4-8--b0-:can8- A.（-o,-2U[1,+o) B.[-2,1] C.（-o0,-2） D.[1,+) 2.2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成 功发射，这标志着我国航天技术实现了新的突破.已知某型运载火箭在理想状态下的喷 900 流相对速度· n50-n400(单位：m/s),则的近似值为()（参考数据： 3 ln2≈0.7，ln5≈1.6) A.1200m/s B.1500m/s C.1800m/s D.2100m/s 3.设a=422,b=4.22,c=log420.2,则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 4.已知(x,》),(x2,2)是函数y=2的图象上两个不同的点，则( ) A.1og,当+2<5+5 2 2 B.1og,当+2>+s 2 2 C.1og,4业<x+x 2 D.10g,4业>x+x3 2 反、已知西数)=h文++a心x-,则函数了的图象的对称中心的坐标为 () A.(1,m) B.(1,0) c.(1,n) D.(0,1) 6.己知2+log2x=3+log3y=5+l0g,2,则x,乃z的大小关系不可能是( ) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 二、多选题 7.设函数f国=1og!←r+4r+5),则f( A.在2,5)上单调递减 B.在[2,5)上单调递增 C.有最大值-2 D.有最小值-2 8.已知直线y=-x+2分别与函数y=e和y=lx的图象交于点A(x,),B(x,2), 则下列结论正确的是() A.x+x2=2 B.x Inx2 +x2Inx >0 C.e+e>2e D.XX2< 2 三、填空题 11 5 9.己知a>1且1oga1og.452,则a=-· 10.设函数f()=(x+a)n(cx+b),若f(w)20,则a2+b2的最小值为一 四、解答题 11.计算下列各题： og,2-1og,号45 32 (2)(1g2)2+(1g5)2+(1-lg5)x(1g25) 3)1og,2+lg20-lg2+e5-V-2y. 2.已知函数()=bg:1 (1)设a=2,(i)求f(0)的值；(ii)解不等式f(r+)>f(ax): (2)若3x∈(0，+0)，f(x+1)=f(x)+f(),求a的取值范围.