精品解析：浙江省杭州市西湖区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试卷

2025学年第二学期七年级数学期终教学质量调研 试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连接”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 当时，分式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将给定的的值代入分式计算即可得到结果. 【详解】解：把代入分式，得： . 2. 某种病毒的长度约为0.000000109米，其中数据0.000000109用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】小于1的正数的科学记数法一般形式为，其中，等于原数小数点需向右移动的位数，也等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：． 3. 医用消毒酒精能溶解细菌细胞膜，并使菌体蛋白质变性凝固，从而杀灭常见细菌，它由的乙醇和蒸馏水混合而成，下列图中能正确表示其成分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分比求出所对应的圆心角度数即可． 【详解】解：∵医用消毒酒精是由的乙醇和蒸馏水混合而成， ∴乙醇所对应的圆心角为， 蒸馏水所对应的圆心角为． 4. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的法则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，故A选项错误； 选项B：，故B选项错误； 选项C：，故C选项错误； 选项D： 等式成立，故D选项正确． 5. 若关于，的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足所有方程，因此将已知的解代入多项式，计算结果为的即为正确选项． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴将，代入各选项验证： 选项A，，不符合题意； 选项B，，不符合题意； 选项C，，符合题意； 选项D，，不符合题意． 6. 如图，已知直线，一块含角的三角板的两个顶点分别在和上，若，则（ ） A. B. C. D. 角度无法计算 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）以及平角的定义，结合三角板的角度特征进行计算即可判断各选项． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴，故A选项正确； ∵， ∴， 故选项C错误； ∵， ∴， 故B选项错误． 7. 下列多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴A错误． ∵，分解正确， ∴B正确． ∵，且无法因式分解， ∴C错误． ∵，且无法进一步分解， ∴D错误． 8. 若，，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先展开所求代数式，整理后整体代入已知的和的值计算即可，运用整体思想简化计算，不需要单独求解和； 【详解】解： ， ， ， 代入得原式． 9. 照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的等式变形，掌握分式通分运算法则和等式变形方法即可求解，将原式移项整理得到对应表达式，对比选项得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 对右边通分得， 两边取倒数得，与选项C一致． 10. 如图①，仅通过折叠的方法检验纸带的两条边线，是否平行．进行如下操作： （1）把纸带沿着翻折（如图②），折痕与，分别交于点，，（点与点为对应点）与交于点； （2）再沿翻折（如图③），使与所在直线重合．小聪说：若，则；小敏说：若翻折后与相差（点与点为对应点），则直线，的夹角为，则（ ） A. 两种说法都对 B. 小聪的说法对，小敏的说法错 C. 两种说法都错 D. 小聪的说法错，小敏的说法对 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，结合平行线的判定定理判断小聪的说法；利用三角形的外角性质及折叠的性质推导直线夹角与角度差的关系，判断小敏的说法． 【详解】解：对于小聪的说法，由折叠可知，， ∵， ∴， ∴，故小聪的说法正确； 对于小敏的说法，由折叠可知，， ∵点在上， ∴ ∴， ∵翻折后与相差（点与点为对应点）， ∴ 由折叠可知，， ∴， 设直线与的夹角为， 若直线与不平行， 设它们相交于点，在中， 由三角形外角的性质可知， ， ∴， 即直线与的夹角为， 故小敏的说法正确 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，通过提取公因式的方法进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解一元一次方程后检验，即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 13. 如图，将三角形向右平移后得到三角形，已知，，则平移的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质说明即可求解． 【详解】解：根据平移的性质可知：， ， ，， ， ， 即平移的距离为1.5． 14. 市场监督管理局对32种矿泉水的进行检测，并把检测数据整理成如下频数表．根据我国2022年颁布的《生活饮用水卫生标准》，饮用水的应在的范围内，则被检测的矿泉水中符合这一标准的频率为_______． 各种矿泉水的频数表 组别（为） 频数 4 6 10 5 1 6 【答案】 【解析】 【分析】先确定符合标准的分组，计算符合标准的频数，再根据频率的定义，用符合标准的频数除以总检测数量，即可求出结果． 【详解】解：由题意可得，总检测矿泉水数量为， 符合标准的对应的分组为，，，，， ∴符合标准的频数为：， ∴符合标准的频率为． 15. 如图，某数学兴趣小组准备用如图①的长方形和正方形木板，做如图②的竖式和横式两种无盖木箱，现在共有100块正方形木板和200块长方形木板，则做竖式和横式木箱共_______个恰好把这些木板用完． 【答案】60 【解析】 【分析】设做竖式木箱x个，横式木箱y个，恰好把这些木板用完，根据竖式和横式两种无盖木箱与木板的数量关系列出方程组，求解即可． 【详解】解：设做竖式木箱x个，横式木箱y个，恰好把这些木板用完， 根据题意，得， 解得， 故， 故做竖式和横式木箱共60个恰好把这些木板用完． 16. 如图，已知直线，点，在直线上，点，在直线上，平分，平分，射线，交于点．若，且，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，从而推出，结合角平分线的定义和平行线的性质得出，再利用及已知条件求出的度数，最后过点作平行线，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，  ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， 过点作 ，如图： ∵，  ∴ ， ∴， ， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解决下列问题： （1）解二元一次方程组：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 得，， 解得， 将代入①得，， 解得， 方程组的解为； 【小问2详解】 解： ． 18. 以下是小明计算的解答过程． 解： …第①步 …第②步 …第③步 …第④步 小明的解答过程从第 步开始出现错误，请你写出正确的解答过程． 【答案】②， 解：， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【详解】解：第②步错在通分后错误地去掉了分母（违背分式基本性质）， 正确的解答过程：略． 19. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了航空航天展，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下不完整的频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）． 抽取的成绩的频数表 类别（表示成绩） 频数 频率 6 9 0.15 21 0.35 根据以上信息，解答下列问题： （1）频数表中， ， ， ； （2）补全频数直方图； （3）参加知识竞赛的学生共有600人，估算达到80分以上（包括80分）的学生人数． 【答案】（1）24，0.4，0.1 （2） （3）450人 【解析】 【分析】（1）根据第二组的频数和频率即可求抽取成绩的总个数，再减去其他三组的频数可得的值，根据频率频数总个数，可求出、的值； （2）根据的值补全频数直方图即可； （3）用总人数乘第三组和第四组的频率之和即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：达到80分以上（包括80分）的学生人数有450人． 20. 定义一种新运算：，例如：． （1）求的值； （2）若，化简并求代数式的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据新定义的运算法则求解即可； （2）根据新定义的运算法则得到，再化简所求代数式，最后利用整体代入即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， 当时，原式． 21. 方方在学校楼道上看到“安全出口”标志（如图①），他从中抽象出几何图形（如图②），已知，，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1），理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）可求，则可得，则题目可解； （2）作，利用平行线的性质可求得，则可解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：作， ， ， ∵， ∴， ， ，， ∴， ． 22. 综合与实践 【材料阅读】 杨辉（13世纪）是我国南宋时期杰出的数学家，钱塘（今杭州）人，与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他于1261年写下《九章算术》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，例如： “平方”对应的展开式：； “立方”对应的展开式：． 【理解应用】 阅读以上材料，解答下列问题： （1）填空： ； （2）已知，． ①求的值． ②求的值． 【答案】（1）， （2）①② 【解析】 【分析】（1）由图中信息可得的系数对应“四乘”那一行； （2）①把先用和表示出来，再代入值计算即可；②把先用和表示出来，再代入值计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① ． ② ． 23. 某商店销售，两种糖，其中种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，． （1）若小丽购买1千克种糖，3千克B种糖需支付51元；小红购买2千克种糖，1千克种糖需支付42元． ①分别求和的值． ②小红发现她买的糖的平均价格比小丽的平均价格高，于是又买了种糖千克，使最后的平均价格与小丽的平均价格一样，求的值； （2）商店为了促进销售，准备把，两种糖进行混合销售，现有甲、乙两种混合方法：甲为等质量混合，即将千克种糖和千克种糖混合；乙为等价格混合，即将元种糖和元种糖混合．请判断哪一种混合方法销售的单价较高，并说明理由． 【答案】（1）①，；② （2）甲种混合方法销售的单价较高 理由如下： 设甲混合后的单价为，乙混合后的单价为， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴甲种混合方法销售的单价较高． 【解析】 【分析】（1）①根据两人购买糖的质量和总价，列出二元一次方程组求解；②根据平均价格相等列出分式方程求解x； （2）分别表示出两种混合方法的单价，利用作差法比较大小，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①根据题意可得，， 解得， ②小丽购买糖的总质量为千克，平均价格为元/千克， 小红添加千克B种糖后，总质量为千克，总价格为元， 则， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意； 【小问2详解】 略 24. 如图，，是两个镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有，光线是由镜面反射得到． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，当入射光线与经两次反射后的光线平行时，两个平面镜的夹角是否为定值？若是定值，请求出该夹角的度数；若不是定值，请说明理由； （3）在（2）的条件下，设（），增添一个平面镜，放在恰当位置，使光线的反射光线平行于镜面，试求镜面与镜面的夹角（夹角为锐角），并说明理由． 【答案】（1） （2）是定值为，理由如下： 由题意， ∴， 则， 即， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用光线反射和平行线的性质求解即可； （2）利用光线反射和平行线的性质求解即可； （3）分两种情况进行讨论，根据光线反射知，结合平行线的性质进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由题意， ∴； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：如图，过点作， 反射光线， ∴， ∴，，， 由题意，且由（2）得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ； 如图，过点作， 反射光线， ∴， ∴，，， 由题意且由（2）得， 可知，，， ∵， ∴， ∴， ； 综上可知，镜面与镜面的夹角（夹角为锐角）为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期七年级数学期终教学质量调研 试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连接”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 当时，分式的值为（ ） A. B. C. D. 2. 某种病毒的长度约为0.000000109米，其中数据0.000000109用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 医用消毒酒精能溶解细菌细胞膜，并使菌体蛋白质变性凝固，从而杀灭常见细菌，它由的乙醇和蒸馏水混合而成，下列图中能正确表示其成分的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于，的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线，一块含角的三角板的两个顶点分别在和上，若，则（ ） A. B. C. D. 角度无法计算 7. 下列多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 9. 照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，仅通过折叠的方法检验纸带的两条边线，是否平行．进行如下操作： （1）把纸带沿着翻折（如图②），折痕与，分别交于点，，（点与点为对应点）与交于点； （2）再沿翻折（如图③），使与所在直线重合．小聪说：若，则；小敏说：若翻折后与相差（点与点为对应点），则直线，的夹角为，则（ ） A. 两种说法都对 B. 小聪的说法对，小敏的说法错 C. 两种说法都错 D. 小聪的说法错，小敏的说法对 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_______． 12. 分式方程的解为_______． 13. 如图，将三角形向右平移后得到三角形，已知，，则平移的距离为_______. 14. 市场监督管理局对32种矿泉水的进行检测，并把检测数据整理成如下频数表．根据我国2022年颁布的《生活饮用水卫生标准》，饮用水的应在的范围内，则被检测的矿泉水中符合这一标准的频率为_______． 各种矿泉水的频数表 组别（为） 频数 4 6 10 5 1 6 15. 如图，某数学兴趣小组准备用如图①的长方形和正方形木板，做如图②的竖式和横式两种无盖木箱，现在共有100块正方形木板和200块长方形木板，则做竖式和横式木箱共_______个恰好把这些木板用完． 16. 如图，已知直线，点，在直线上，点，在直线上，平分，平分，射线，交于点．若，且，则的度数为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解决下列问题： （1）解二元一次方程组：； （2）计算：． 18. 以下是小明计算的解答过程． 解： …第①步 …第②步 …第③步 …第④步 小明的解答过程从第 步开始出现错误，请你写出正确的解答过程． 19. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了航空航天展，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下不完整的频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）． 抽取的成绩的频数表 类别（表示成绩） 频数 频率 6 9 0.15 21 0.35 根据以上信息，解答下列问题： （1）频数表中， ， ， ； （2）补全频数直方图； （3）参加知识竞赛的学生共有600人，估算达到80分以上（包括80分）的学生人数． 20. 定义一种新运算：，例如：． （1）求的值； （2）若，化简并求代数式的值． 21. 方方在学校楼道上看到“安全出口”标志（如图①），他从中抽象出几何图形（如图②），已知，，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 22. 综合与实践 【材料阅读】 杨辉（13世纪）是我国南宋时期杰出的数学家，钱塘（今杭州）人，与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他于1261年写下《九章算术》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，例如： “平方”对应的展开式：； “立方”对应的展开式：． 【理解应用】 阅读以上材料，解答下列问题： （1）填空： ； （2）已知，． ①求的值． ②求的值． 23. 某商店销售，两种糖，其中种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，． （1）若小丽购买1千克种糖，3千克B种糖需支付51元；小红购买2千克种糖，1千克种糖需支付42元． ①分别求和的值． ②小红发现她买的糖的平均价格比小丽的平均价格高，于是又买了种糖千克，使最后的平均价格与小丽的平均价格一样，求的值； （2）商店为了促进销售，准备把，两种糖进行混合销售，现有甲、乙两种混合方法：甲为等质量混合，即将千克种糖和千克种糖混合；乙为等价格混合，即将元种糖和元种糖混合．请判断哪一种混合方法销售的单价较高，并说明理由． 24. 如图，，是两个镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有，光线是由镜面反射得到． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，当入射光线与经两次反射后的光线平行时，两个平面镜的夹角是否为定值？若是定值，请求出该夹角的度数；若不是定值，请说明理由； （3）在（2）的条件下，设（），增添一个平面镜，放在恰当位置，使光线的反射光线平行于镜面，试求镜面与镜面的夹角（夹角为锐角），并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $