精品解析：浙江省杭州市西湖区2024-2025学年下学期七年级期末考数学试卷

浙江省杭州市西湖区2024−2025学年第二学期七年级期末教学质量调研数学试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算：等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂．根据（p为正整数），进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 2. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 要使分式有意义，分母不能为零．即可确定的取值范围． 【详解】分式有意义的条件是分母， 因此当时，分母不为零，分式有意义． 故选：B． 3. 要了解某地三个片区共2.7万名初中生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（ ） A. 抽取某一片区的七年级学生进行调查 B. 抽取三个片区的九年级学生进行调查 C. 抽取某所学校的所有学生进行调查 D. 按片区各抽取3所学校，对9所学校的所有学生进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抽样调查合理性，需确保样本具有代表性和广泛性．合理的抽样需满足分层抽样原则，即按片区（分层）随机抽取多所学校，确保各片区、各年级均有覆盖． 【详解】A：仅抽取某一片区的七年级学生，样本范围过窄，无法代表三个片区所有年级的情况． B：抽取三个片区的九年级学生，虽覆盖三个片区，但仅针对单一年级，样本缺乏年级多样性． C：仅抽取某所学校的所有学生，样本局限于单一学校，无法反映三个片区的整体情况． D：按片区各抽取3所学校（共9所），覆盖所有片区，且调查所有学生，样本具有广泛性和代表性． 选项D能有效减少偏差，提高调查结果的准确性． 故选D． 4. 如图，直线，被直线所截，若要使，则需具备条件（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，应该在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的关系上入手，满足三者中的任一个都能使，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．与是一对对顶角，它们相等对于证明两直线平行没有帮助，故A不符合题意； B．与是一对邻补角，它们互补对于证明两直线平行没有帮助，故B不符合题意； C．与是一对同旁内角，但并不互补，所以不能推出两直线平行，故C不符合题意； D．，同旁内角互补，两直线平行，可得，故D符合题意 故选D ． 5. 下列各式中，运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘除法，合并同类项以及积的乘方，根据同类项的定义以及合并同类项法则、积的乘方法则、单项式乘除法法则通过计算各选项的结果，判断哪个等于即可． 【详解】选项A：，符合要求． 选项B：，不符合要求． 选项C：，不符合要求． 选项D：，不符合要求． 综上，只有选项A的运算结果为． 故选A． 6. 若，，则的值为（ ） A. B. C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用整体思想代入求值是解题关键． 将原式提取公因式并利用完全平方公式分解因式得，结合已知条件代入计算． 【详解】解： 代入已知条件 和 ，得： ， 故选C． 7. 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．第一个条件为绳子剩余4.5尺，第二个条件为对折绳子后量木头不足1尺，需转化为对应的方程． 【详解】解：设绳子长x尺，木头长y尺，依题意得： 故选A． 8. 如图，直线，与直线分别交于点，，的平分线交于点，于点H．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及“平行线+角平分线”的经典组合，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线定义可得，由，根据同角或等角的余角相等即可判断选项B正确． 详解】解：∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴，故B符合题意； A、C、D均没有条件可证明，不符合题意． 故答案为： B． 9. 近年来，我国新能源汽车产业实现高质量发展．上图是2018−2023年我国汽车销量和新能源汽车销量折线统计图，则（ ） A 2018−2023年新能源汽车销量一直保持增长 B. 2020−2023年新能源汽车销量的年增长率持续增大 C. 2020−2021年新能源汽车销量的年增长率最大 D. 2022年新能源汽车销量占当年汽车销量的比例最大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查学生对折线统计图的理解能力，线条的攀高或走低能反映出数据的变化趋势，而线条的陡峭程度反映数据的增长率大小，在某些情况下还需要通过计算来比较不同的结果才能得出答案． 【详解】解：A．2018−2019年新能源汽车销量下降，A错误； B．年增长率反映在折线统计图中就是图形的陡峭程度，线条越陡，增长率越大，反之越小．图中可以看出2020−2021年的增长率比2021−2022年的增长率大，所以2020−2023年的增长率并没有持续增大，B错误； C．由图可以看出2020−2021年新能源汽车的年增长率最大，C正确； D．每一年新能源汽车销量占当年汽车销量的比例计算方法是用这一年的新能源汽车销量除以两种汽车销量之和，经过计算可知，D错误． 故答案为：C ． 10. 如图，正方形与正方形的面积和为，点在线段上，点在线段上，延长交于点．若，则长方形的面积为（ ） A. 21 B. 24 C. 34 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式及运用，解题关键是运用整体思维求解，虽然不能将两个正方形的边长分别求出来，但可以利用它们之间的和与平方和的关系，根据，巧妙变形从而得到整体的值，而这个整体就是要求的长方形的面积，问题得解． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则． ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴长方形的面积为 故选A ． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 如图，将长方形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到长方形，若，，则重合部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，由平移可知重合部分是个矩形，利用平移的性质求出它的长和宽，进而即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：如图, 由平移可得，，， ∴重合部分矩形的面积为， 故答案为：． 13. 如图，是某市今年连续30天中晴天、阴天、雨天天数的扇形统计图，则晴天有____天． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查学生对扇形统计图的认识，根据图中各个扇形的圆心角占周角的比例与这一项占总体的比例相等，可以先计算占的比例是多大，再用这个比例乘以30天就可以求出晴天的天数． 【详解】解：（天） 故答案为：14 ． 14. 已知，则分式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式的约分；分式的化简求值−整体代入，注意到题目所给的条件和要求的代数式之间在形式上似乎很有联系，故先将要求的代数式向条件的形式变形，然后将条件式整体代换进来，最后通过约分得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： ． 15. 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入_________个大铁球和_________个小铁球．（写出一组符合要求的值即可） 【答案】 ①. 3（答案不唯一） ②. 2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案． 【详解】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y， 依题意可列方程组 解得 另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21， 则依题意有 这个二元一次方程的整数解有，，， 故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） ． 16. 如图，将长方形纸片沿折叠得到图1，再沿PM折叠得到图2，已知，． ①如图1，若，则的度数为_________； ②如图2，若，则的度数为_________（用含k的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了平行线的应用−折叠问题； ①首先由平行线的性质求出∠AMP的度数，再结合折叠的性质可求出∠AMN度数； ②需要灵活运用平行线的性质以及两次折叠的关系找出相关角的等量关系，建立方程求解，同时，多个字母参与运算考查学生的代数运算能力． 【详解】解：①∵ ∴ 由折叠的性质可知 ②∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， 由折叠的性质可知 ∴ 解得 ∴ 故答案为：①25；②． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 解方程或方程组． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程 （1）解二元一次方程组的核心思想是消元（包括代入消元和加减消元），本题采用加减消元法先消去未知数y，解出x之后再求y； （2）解分式方程第一步就是去分母，得到相应的整式方程后，就能很快解出未知数的值，但一定要记得验根． 【小问1详解】 （1）解： ①+②，得：， 解得， 将代入①得，， ∴原方程组的解为． 【小问2详解】 解：去分母得 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是方程的解． 18. （1）计算：． （2）当时，求代数式的值． 【答案】（1）（2）14 【解析】 【分析】题目主要考查分式的混合运算及整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）根据分式的化简，同分母分式相减，分母不变，分子相减计算求解即可． （2）根据整式的乘法、加法与减法的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 当时，原式． 19. 为了解某校七年级男生的耐力情况，某兴趣小组随机抽取了该年级部分男生的跑成绩，将所得数据进行整理，分成，，，，五组，并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）． 抽取的男生跑成绩频数表 组别 频数 频率 A 3 a B 6 0.1 C 12 0.2 D b c E 15 0.25 请根据所给信息，解答下列问题： （1）填空：=_____，=_____，=_____． （2）补全频数分布直方图． （3）若该校七年级有800名男生，请根据样本估计跑成绩在（不含）内的男生人数． 【答案】（1）0.05；24；0.4 （2）见解析 （3）280人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）先根据A组频数及频率求出样本容量，再根据频率频数总数、频数之和等于总数求解即可； （2）根据所求b的值即可补全图形； （3）总人数乘以样本中A、B、C组频率之和即可． 【小问1详解】 解：样本容量， 则， ， ， 故答案为：0.05；24；0.4； 【小问2详解】 补全图形如下： ​​ 【小问3详解】 （人） 答：在内的男生人数有280人． 20. 如图，已知直线l与直线分别交于点E，F，于点G，与互余． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质、角度的计算，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，，得出，再由平行线的判定即可证明； （2）根据题意得出，，然后利用平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：； 理由如下： ∵， ∴， ∵ 与 互余， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 定义关于*的一种运算：是整数），例如：． （1）求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1）8 （2）2 【解析】 【分析】题目主要考查新定义运算，负整数指数幂，有理数的混合运算，理解题意是解题关键． （1）根据题意代入计算求解即可． （2）首先根据得出，接着变形为，然后整理原式变形求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 综合与实践 【问题情境】 自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理．最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的． 【数学探究】 如图，入射光线经过两次反射后，得到光线，已知，． （1）如图1，是两个互相垂直的平面镜，， ①若，求的度数． ②试判断入射光线和反射光线是否平行，并说明理由． （2）如图2，改变镜子位置，设平面镜的夹角，，，求的值（用含有或的代数式表示）． 【答案】（1）①20° ②平行，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查平行线的应用−求角度；平行线的应用−证明问题 （1）①要求就是要求，那么放在中来看，只要知道即可，而，问题就迎刃而解了． ②这一问利用两个平角的和减去四个小角得到同旁内角（）互补，从而说明两直线平行； （2）本题是在第（1）问的基础上对条件作一些改变，使相关的角的度数一般化，解题思路并不复杂，只需要用含字母的代数式分别表示出，再将两者相加即可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②； 理由如下：∵， ， ∴， ∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 23. 为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元． （1）求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价． （2）甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）． ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系． 【答案】（1）羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个 （2）①甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元 ② 【解析】 【分析】题目主要考查二元一次方程组的实际应用−销售问题，理解题意，列出方程是解题关键． （1）这里根据题意设两个未知数，建立相应的二元一次方程组模型，求解即可； （2）①这一问考查学生的文字理解能力，对于打折销售类问题，不仅要知道，还要充分考虑到两个商场不同的促销方式，列出符合题意的代数式，然后能准确化简结果；②在第①问的基础上做这一问就很简单了，直接建立起关于a、b的一个等式，化简就得到它们之间应满足的关系． 【小问1详解】 解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个， 由题意得：， 解得：， 答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个； 小问2详解】 解：①甲：元， 乙： 元， 答：甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元； ②由题意得：， 整理得：． 24. 将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为． （1）若，，，直接写出的值． （2）若，，求的值． （3）已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值． 【答案】（1）40 （2）10 （3）8 【解析】 【分析】题目主要考查整式的加减运算及求值，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）图1中的阴影部分周长可以转化为长方形的周长，它的长与宽都很容易找到，只要套用长方形的周长公式计算即可； （2）两个图形中的阴影部分的面积都可以转化为两个不同的矩形面积之和，再分别用相应的代数式表示出来，通过运算化简得到，而，，整体代入就能得出答案． （3）同样设长方形的宽为x，长为y，由（2）可知，结合这一问给出的条件可以变形得到，同时利用可以求出，代入计算即可． 【小问1详解】 解：作辅助线如图所示 ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作辅助线如下图 设， ∴，， ∴， 由题意得：，， ∴ 【小问3详解】 解：设，且（） 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市西湖区2024−2025学年第二学期七年级期末教学质量调研数学试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算：等于（ ） A. B. C. D. 2 2. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 3. 要了解某地三个片区共2.7万名初中生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（ ） A. 抽取某一片区的七年级学生进行调查 B. 抽取三个片区的九年级学生进行调查 C. 抽取某所学校所有学生进行调查 D. 按片区各抽取3所学校，对9所学校的所有学生进行调查 4. 如图，直线，被直线所截，若要使，则需具备条件（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则的值为（ ） A. B. C. 12 D. 6 7. 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，与直线分别交于点，，的平分线交于点，于点H．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 近年来，我国新能源汽车产业实现高质量发展．上图是2018−2023年我国汽车销量和新能源汽车销量折线统计图，则（ ） A. 2018−2023年新能源汽车销量一直保持增长 B. 2020−2023年新能源汽车销量的年增长率持续增大 C. 2020−2021年新能源汽车销量的年增长率最大 D. 2022年新能源汽车销量占当年汽车销量的比例最大 10. 如图，正方形与正方形的面积和为，点在线段上，点在线段上，延长交于点．若，则长方形的面积为（ ） A. 21 B. 24 C. 34 D. 42 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 如图，将长方形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到长方形，若，，则重合部分的面积为______． 13. 如图，是某市今年连续30天中晴天、阴天、雨天天数的扇形统计图，则晴天有____天． 14. 已知，则分式的值为_________． 15. 一个圆柱形容器中装有一定量水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入_________个大铁球和_________个小铁球．（写出一组符合要求的值即可） 16. 如图，将长方形纸片沿折叠得到图1，再沿PM折叠得到图2，已知，． ①如图1，若，则度数为_________； ②如图2，若，则的度数为_________（用含k的代数式表示）． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 解方程或方程组． （1） （2） 18. （1）计算：． （2）当时，求代数式的值． 19. 为了解某校七年级男生的耐力情况，某兴趣小组随机抽取了该年级部分男生的跑成绩，将所得数据进行整理，分成，，，，五组，并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）． 抽取的男生跑成绩频数表 组别 频数 频率 A 3 a B 6 0.1 C 12 0.2 D b c E 15 0.25 请根据所给信息，解答下列问题： （1）填空：=_____，=_____，=_____． （2）补全频数分布直方图． （3）若该校七年级有800名男生，请根据样本估计跑成绩在（不含）内的男生人数． 20. 如图，已知直线l与直线分别交于点E，F，于点G，与互余． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 21. 定义关于*的一种运算：是整数），例如：． （1）求的值． （2）若，求的值． 22. 综合与实践 【问题情境】 自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理．最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的． 【数学探究】 如图，入射光线经过两次反射后，得到光线，已知，． （1）如图1，是两个互相垂直的平面镜，， ①若，求的度数． ②试判断入射光线和反射光线否平行，并说明理由． （2）如图2，改变镜子位置，设平面镜的夹角，，，求的值（用含有或的代数式表示）． 23. 为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元． （1）求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价． （2）甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）． ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系． 24. 将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为． （1）若，，，直接写出的值． （2）若，，求值． （3）已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $