第13讲 椭圆（知识详解+10典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选修第一册）

第13讲 椭圆（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：椭圆的定义 知识点02：椭圆的标准方程 知识点03：椭圆的几何性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：椭圆定义及辨析 题型02：椭圆中焦点三角形的周长、面积问题 题型03：求椭圆的标准方程 题型04：轨迹问题——椭圆 题型05：求椭圆的焦点、焦距 题型06：根据椭圆的有界性求范围或最值 题型07：椭圆的对称性 题型08：椭圆的顶点、长短轴 题型09：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型10：根据离心率求椭圆的标准方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． 【例1】已知平面内动点满足，两焦点间距，判断动点的轨迹，并说明理由。 【知识点02】椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上． 【例2】已知椭圆焦点在轴上，焦距为，长轴长为，求该椭圆的标准方程。 【知识点03】椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长等于2b，长轴长等于2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 注意点： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 椭圆的离心率： e＝∈(0,1)． 注意点： (1)e＝. (2)离心率的范围为(0,1)． (3)e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆． 【例3】已知椭圆方程，求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标。 【题型01】椭圆定义及辨析 【典例1-1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（   ） A．3 B．13 C．5 D．7 【变式1-1】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（24-25高二上·陕西西安·期中）下列说法中正确的是（   ） A．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 【变式1-3】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是是该椭圆上一点，则________________． 【题型02】椭圆中焦点三角形的周长、面积问题 【典例2-1】（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 【变式2-1】（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式2-2】（25-26高二上·云南昆明·期中）若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为__________. 【变式2-3】已知、是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且，求的面积. 【题型03】求椭圆的标准方程 【典例3-1】（24-25高二上·河南·阶段检测）已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）已知F，A分别为椭圆C的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是8，（O是坐标原点），则C的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆经过点，，则的标准方程为______． 【变式3-3】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【题型04】轨迹问题——椭圆 【典例4-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·贵州遵义·期末）设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系中，点到两定点，的距离之和为8，则点的轨迹方程为______. 【变式4-3】点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求M的轨迹方程； 【题型05】求椭圆的焦点、焦距 【典例5-1】（25-26高二上·山东济南·期末）椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】若椭圆的一个焦点是，则实数___________. 【变式5-2】若椭圆（）长轴长为4，则焦距为________ 【变式5-3】（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知椭圆C：的焦距为2，则m的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型06】根据椭圆的有界性求范围或最值 【典例6-1】（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·湖北荆州·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为______. 【变式6-2】（多选）（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【变式6-3】如果点是椭圆上一个动点，点是椭圆的左焦点，求的最大值和最小值． 【题型07】椭圆的对称性 【典例7-1】设椭圆：的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，若，那么___________. 【变式7-1】已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【变式7-2】（24-25高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【变式7-3】经过椭圆C：的中心作直线l，与椭圆C交于P，Q两点，设椭圆C的右焦点为F，已知，求的面积． 【题型08】椭圆的顶点、长短轴 【典例8-1】（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·山东青岛·期中）椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】椭圆的长轴长为______，短轴长为______，焦点坐标为______，顶点坐标为______． 【变式8-3】（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆1， ，则下列说法不正确的是（　　） A．与顶点相同 B．与长轴长相等 C．与短轴长相等 D．与焦距相等 【题型09】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【典例9-1】（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，点P是C上一点，若，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是______ 【变式9-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 【题型10】根据离心率求椭圆的标准方程 【典例10-1】（25-26高二上·广东江门·期末）已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026高二·全国·专题练习）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高二上·广西·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，且离心率为，则椭圆的标准方程为__________. 【变式10-3】求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在轴上，，； (2)长轴长等于，离心率等于. 知识点01椭圆的定义（核心本源） 1. 文字定义 平面内到两个定点（焦点）的距离之和为定值，且该定值大于两焦点间距的动点轨迹称为椭圆。 2. 数学定义公式 设动点，定长和为，焦距，则椭圆满足： 3. 定义临界辨析（必考陷阱） 1. 若 ：轨迹为线段，不是椭圆； 2. 若 ：无轨迹； 3. 若 ：轨迹为标准椭圆。 知识点02椭圆的标准方程（计算核心） 1. 两大标准方程 （1）焦点在 x 轴（长轴在x轴）： 焦点坐标： （2）焦点在 y 轴（长轴在y轴）： 焦点坐标： 2. 椭圆核心恒等式 说明：为长半轴，为短半轴，为半焦距。 3. 焦点快速判定法则 方程中分母更大的那一项对应长轴方向、对应，焦点落在对应坐标轴上。 知识点03椭圆的几何性质（高频考点） 以标准椭圆 为例 1. 取值范围 2. 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称。 3. 顶点与轴长 长轴顶点：，长轴长： 短轴顶点：，短轴长： 4. 离心率（形状控制参数） 1. 越小，越小，椭圆越圆； 2. 越大，越大，椭圆越扁。 5. 离心率常用推导公式 知识点04本节必背公式清单（考场速查） 1. 椭圆定义式： 2. 核心关系： 3. 离心率定义： 4. 离心率推导式： 知识点05高频易错点总结 1. 忽略 条件，误将线段、无轨迹判定为椭圆； 2. 混淆 关系，记错公式（区别双曲线）； 3. 看错分母大小，焦点轴方向判断错误； 4. 离心率范围记错：椭圆离心率严格满足 。 一、单选题 1．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知椭圆，则其焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 2．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江金华·期末）方程 表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东广州·期末）已知，为椭圆的两个焦点，点M在C上，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 5．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线交椭圆C于M，N两点，且，若四边形的面积为16，则（    ） A．2 B． C．4 D． 6．（25-26高二上·吉林长春·期末）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的长轴长为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆和椭圆，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 10．（25-26高二上·广西百色·期末）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的离心率为 C． 的周长为8 D．的最大值为9 11．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 三、填空题 12．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆方程，求两焦点坐标为___________ 13．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）椭圆的离心率为，则实数的所有可能取值为___． 14．（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课前预习）观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 16．（25-26高二上·陕西西安·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的倍； (2)焦点在轴上，且经过两点、. 17．（25-26高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点P在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求的面积； 18．（25-26高二上·广东惠州·期中）（1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 19． （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆：（）的离心率为，且过点． (1)求的方程． (2)设的左、右焦点分别为，，若为上位于轴上方的两个动点，且． （ⅰ）若为的上顶点，求直线的方程； （ⅱ）求四边形的面积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 椭圆（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：椭圆的定义 知识点02：椭圆的标准方程 知识点03：椭圆的几何性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：椭圆定义及辨析 题型02：椭圆中焦点三角形的周长、面积问题 题型03：求椭圆的标准方程 题型04：轨迹问题——椭圆 题型05：求椭圆的焦点、焦距 题型06：根据椭圆的有界性求范围或最值 题型07：椭圆的对称性 题型08：椭圆的顶点、长短轴 题型09：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型10：根据离心率求椭圆的标准方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． 【例1】已知平面内动点满足，两焦点间距，判断动点的轨迹，并说明理由。 解：步骤1：提取已知条件 ， 步骤2：验证椭圆成立条件 满足 ，符合椭圆定义要求。 结论：动点的轨迹是以为焦点的椭圆。 【知识点02】椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上． 【例2】已知椭圆焦点在轴上，焦距为，长轴长为，求该椭圆的标准方程。 解：步骤1：根据题意求参数 焦距，长轴长 步骤2：利用核心公式求 步骤3：代入标准方程 焦点在x轴，方程形式为 结论：椭圆标准方程为 。 【知识点03】椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长等于2b，长轴长等于2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 注意点： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 椭圆的离心率： e＝∈(0,1)． 注意点： (1)e＝. (2)离心率的范围为(0,1)． (3)e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆． 【例3】已知椭圆方程，求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标。 解：步骤1：确定参数 ， 步骤2：计算 步骤3：求解各项几何量 长轴长： 短轴长： 焦点坐标： 离心率： 结论：长轴长，短轴长，焦点，离心率。 【题型01】椭圆定义及辨析 【典例1-1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（   ） A．3 B．13 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】因为椭圆C的方程为，所以，由椭圆的定义可得，且，所以. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】根据椭圆的定义可知，， 又， 解得，． 故选：A． 【变式1-2】（多选）（24-25高二上·陕西西安·期中）下列说法中正确的是（   ） A．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义逐项分析点的轨迹. 【详解】待求轨迹的点记为， A：因为，所以的轨迹是线段，故正确； B：因为，此时的轨迹不存在，故错误； C：因为，所以的轨迹是线段的垂直平分线，故错误； D：因为，所以， 所以的轨迹是以为焦点的椭圆，故正确； 故选：AD. 【变式1-3】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是是该椭圆上一点，则________________． 【答案】 【分析】由题可得，再根据椭圆的定义即可求解． 【详解】对于椭圆，则，即， 由椭圆的定义得． 故答案为：． 【题型02】椭圆中焦点三角形的周长、面积问题 【典例2-1】（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为椭圆，则，， 所以的周长为， 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理计算即可. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即或， . 故选：C 【变式2-2】（25-26高二上·云南昆明·期中）若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为__________. 【答案】 【分析】由椭圆方程定义即可求出的周长. 【详解】由椭圆可得，，由椭圆的定义可得， 所以的周长是 ， 故答案为：. 【变式2-3】已知、是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且，求的面积. 【答案】. 【分析】根据余弦定理和椭圆的几何性质可求，从而可求焦点三角形的面积. 【详解】解：由题得，， 所以，解得. 故. 【题型03】求椭圆的标准方程 【典例3-1】（24-25高二上·河南·阶段检测）已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义判断得曲线为椭圆，进而求得，从而得解. 【详解】因为点都满足， 所以到两定点的距离之和为，且， 所以曲线为椭圆，焦点为，则， 且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，即， 故， 所以曲线的标准方程为. 故选：C 【变式3-1】（多选）已知F，A分别为椭圆C的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是8，（O是坐标原点），则C的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由椭圆的性质列式求解， 【详解】由题意得，得，，则为短轴顶点， 在直角三角形中，，故，则， 当椭圆的焦点在轴时，椭圆方程为， 当椭圆的焦点在轴时，椭圆方程为， 故选：AB 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆经过点，，则的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程待定系数法可得解. 【详解】设，则， 解得， 所以的标准方程为， 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知椭圆的焦点在轴上，且，，进而可得以及椭圆方程； （2）设椭圆方程为，代入点运算求解即可. 【详解】（1）根据题意可知：椭圆的焦点在轴上，且，， 则，所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆方程为， 代入点，可得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 【题型04】轨迹问题——椭圆 【典例4-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 【变式4-1】（24-25高二上·贵州遵义·期末）设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆定义即可求解. 【详解】由题可得， 所以点的轨迹是以，为焦点长轴长为6的椭圆， 则，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 【变式4-2】（24-25高二上·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系中，点到两定点，的距离之和为8，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】依题意可得点为以两定点为焦点的椭圆，即可求出，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点到点，的距离之和为8， 即， 所以点的轨迹为以点，为焦点的椭圆， 且，解得，所以， 所以椭圆方程为. 故答案为：. 【变式4-3】点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求M的轨迹方程； 【答案】 【分析】把已知条件用方程表示出来化简即得. 【详解】因为点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数， 所以，整理得．即， 则M的轨迹方程为； 【题型05】求椭圆的焦点、焦距 【典例5-1】（25-26高二上·山东济南·期末）椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点在轴，可得,，根据，即可求得焦点坐标. 【详解】由椭圆，可得椭圆焦点在轴，且,， 由，则， 所以椭圆的焦点坐标为， 故选：A 【变式5-1】若椭圆的一个焦点是，则实数___________. 【答案】1 【分析】由题可得，求出即可. 【详解】由题可得椭圆的焦点在轴上， ， 解得. 故答案为：1. 【变式5-2】若椭圆（）长轴长为4，则焦距为________ 【答案】 【分析】根据椭圆方程得到，根据长轴长求出，利用求出，进而得到焦距. 【详解】由椭圆，得，又长轴长， 所以，所以，焦距为， 故答案为：. 【变式5-3】（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知椭圆C：的焦距为2，则m的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】根据题意分焦点在轴和轴两种情况求解即可． 【详解】当焦点在轴时，焦距为2，则， ，解得， 当焦点在轴时，，解得， 故选：AB． 【题型06】根据椭圆的有界性求范围或最值 【典例6-1】（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由方程可得，根据椭圆的性质即可得结果. 【详解】由题意知，则， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为． 故选：A． 【变式6-1】（24-25高二上·湖北荆州·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据题意，利用椭圆的性质得到的范围，再利用椭圆的定义将转化为关于的二次函数，从而得解. 【详解】由题意知，，所以， 设，则，即， 由，得， 故， 所以当时，取得最大值9， 当或时，取得最小值5， 故的取值范围为. 故答案为：. 【变式6-2】（多选）（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用椭圆的定义可判断A选项；分析可知当点为短轴顶点时，的面积最大，求其最大值，可判断B选项；利用平面向量数量积的坐标运算并结合椭圆的范围可判断C选项；求得，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】由可得，，，. 对于A选项，的周长为，A错； 对于B选项，设，，则， 所以当点为短轴顶点时，的面积最大，最大面积为，B对； 对于C选项，设，，、， 则，，则. 因为，所以，所以， 又，所以， 所以的取值范围为，C对； 对于D选项，由可得，， 由C知， ， 所以， 当时，有最大值， 当或时，的值为， 但是且，所以的取值范围为，D对. 故选：BCD. 【变式6-3】如果点是椭圆上一个动点，点是椭圆的左焦点，求的最大值和最小值． 【答案】， 【分析】根据椭圆方程求出，设，利用两点间的距离公式求出，再根据椭圆的范围可求出结果. 【详解】由得，，所以，， 所以， 设，则， 所以 ， 因为，所以当时，，当时，. 【题型07】椭圆的对称性 【典例7-1】设椭圆：的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，若，那么___________. 【答案】 【分析】根据椭圆的对称性以及平行四边形的判定，可得四边形是平行四边形，得，再由椭圆的定义得，即可计算出. 【详解】根据题意，直线过原点，由椭圆的对称性可知，，如图所示，已知，所以四边形是平行四边形，则，由椭圆的定义可知，，，所以. 故答案为：. 【变式7-1】已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围. 【详解】椭圆的长半轴长，半焦距， 由椭圆的对称性，不妨令为右焦点，是左焦点，连接，又关于原点对称， 则四边形为平行四边形或为左右顶点，则， 由，则， 故，则 ， 而，所以. 故选：D 【变式7-3】经过椭圆C：的中心作直线l，与椭圆C交于P，Q两点，设椭圆C的右焦点为F，已知，求的面积． 【答案】. 【分析】由题可得，然后利用椭圆的定义及余弦定理可得，再利用三角形的面积公式即求. 【详解】设椭圆C的左焦点为，由椭圆的对称性可知四边形为平行四边形， 所以，又， ∴，由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得，， ∴， ∴. 【题型08】椭圆的顶点、长短轴 【典例8-1】（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 【变式8-1】（25-26高二上·山东青岛·期中）椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程有，即可得左顶点坐标. 【详解】由椭圆标准方程为，则，故左顶点的坐标为. 故选：B 【变式8-2】椭圆的长轴长为______，短轴长为______，焦点坐标为______，顶点坐标为______． 【答案】 10 ， 【分析】将椭圆方程化为标准方程即可得到，进而可求长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标. 【详解】由题意知：椭圆标准方程为， ∴， 即长轴长为10，短轴长为，焦点坐标，顶点坐标，. 故答案为：10；；；，. 【变式8-3】（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆1， ，则下列说法不正确的是（　　） A．与顶点相同 B．与长轴长相等 C．与短轴长相等 D．与焦距相等 【答案】ABC 【分析】通过椭圆的标准方程得到的值，即可判断各个选项. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 由题意得，，. A. 的顶点坐标为，，的顶点坐标为，，选项A错误. B. 的长轴长为，的长轴长为，选项B错误. C. 的短轴长为，的短轴长为，选项C错误. D. 和的焦距都为，选项D正确. 故选：ABC. 【题型09】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【典例9-1】（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由离心率定义即可求解. 【详解】将原方程，整理得标准形式： ， 因此，，得； 根据椭圆关系，代入得，即， 离心率. 【变式9-1】（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，点P是C上一点，若，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合离心率公式即可求得范围. 【详解】由题可知，所以． 又因为，所以，， 所以C的离心率的取值范围是， 故选：D． 【变式9-2】已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据椭圆的性质，只需保证为椭圆上下顶点时即可，应用余弦定理列不等式，结合椭圆离心率范围求离心率取值范围. 【详解】由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大， 所以椭圆上存在点使， 只需最大的情况下，有， 又椭圆离心率，故. 故答案为： 【变式9-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，分别求出B点和点坐标，可得b和c的值，根据的关系，可得a值，代入离心率公式，即可得答案. （2）由（1）得椭圆的方程，与直线l联立，可得A点横坐标，代入面积公式，即可得答案. 【详解】（1）因为直线过椭圆的左焦点和一个顶点B， 令，解得，则上顶点，即， 令，解得，则左焦点，即， 所以，则离心率 （2）由（1）得，椭圆的方程为，与直线联立 ，消去y得， 解得或，则A点的横坐标， 所以的面积.    【题型10】根据离心率求椭圆的标准方程 【典例10-1】（25-26高二上·广东江门·期末）已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意得到基本量，进而求出椭圆的方程即可. 【详解】因为椭圆的长轴长为4，所以， 因为椭圆的离心率为，所以，解得，可得， 则的方程为，故B正确. 故选：B 【变式10-1】（2026高二·全国·专题练习）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求得，根据焦点所在坐标轴代入标准方程即可求解. 【详解】因为中心在原点的椭圆的右焦点为， 所以椭圆焦点在轴，设标准方程为， 由题意可得，，得到，， 故椭圆的方程是. 故选：D 【变式10-2】（25-26高二上·广西·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，且离心率为，则椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【分析】由长轴长为6得到，从而得到，由离心率为得到，从而得到，由计算出，继而得到椭圆的方程. 【详解】长轴长为6，，， 离心率为，，，， ，，椭圆的方程为. 故答案为：. 【变式10-3】求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在轴上，，； (2)长轴长等于，离心率等于. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设所求椭圆的标准方程为，求出、的值，即可得出所求椭圆的标准方程； （2）求出、、的值，对所求椭圆的焦点的位置进行分类讨论，即可得出所求椭圆的标准方程. 【详解】（1）解：因为椭圆的焦点在轴上，设所求椭圆的标准方程为, 令，则，则，所以，， 因此，所求椭圆的标准方程为. （2）解：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、， 由题意可得，则，，则，所以，， 当椭圆的焦点在轴上时，则椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，则椭圆的标准方程为. 知识点01椭圆的定义（核心本源） 1. 文字定义 平面内到两个定点（焦点）的距离之和为定值，且该定值大于两焦点间距的动点轨迹称为椭圆。 2. 数学定义公式 设动点，定长和为，焦距，则椭圆满足： 3. 定义临界辨析（必考陷阱） 1. 若 ：轨迹为线段，不是椭圆； 2. 若 ：无轨迹； 3. 若 ：轨迹为标准椭圆。 知识点02椭圆的标准方程（计算核心） 1. 两大标准方程 （1）焦点在 x 轴（长轴在x轴）： 焦点坐标： （2）焦点在 y 轴（长轴在y轴）： 焦点坐标： 2. 椭圆核心恒等式 说明：为长半轴，为短半轴，为半焦距。 3. 焦点快速判定法则 方程中分母更大的那一项对应长轴方向、对应，焦点落在对应坐标轴上。 知识点03椭圆的几何性质（高频考点） 以标准椭圆 为例 1. 取值范围 2. 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称。 3. 顶点与轴长 长轴顶点：，长轴长： 短轴顶点：，短轴长： 4. 离心率（形状控制参数） 1. 越小，越小，椭圆越圆； 2. 越大，越大，椭圆越扁。 5. 离心率常用推导公式 知识点04本节必背公式清单（考场速查） 1. 椭圆定义式： 2. 核心关系： 3. 离心率定义： 4. 离心率推导式： 知识点05高频易错点总结 1. 忽略 条件，误将线段、无轨迹判定为椭圆； 2. 混淆 关系，记错公式（区别双曲线）； 3. 看错分母大小，焦点轴方向判断错误； 4. 离心率范围记错：椭圆离心率严格满足 。 一、单选题 1．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知椭圆，则其焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由可得椭圆焦点在轴上，且， 则，则其焦距为. 2．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 3．（24-25高二上·浙江金华·期末）方程 表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程及焦点所在的位置列不等式求参数范围即可. 【详解】由题意，，可得. 故选：B 4．（25-26高二上·广东广州·期末）已知，为椭圆的两个焦点，点M在C上，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】先根据椭圆方程可得，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 则的周长为. 故选：C 5．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线交椭圆C于M，N两点，且，若四边形的面积为16，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由椭圆的对称性以及得四边形是矩形，然后利用勾股定理和椭圆的定义进而求解结论． 【详解】因为直线过原点，根据椭圆的对称性得M，N两点关于原点对称， 又，且被点O平分，所以四边形为矩形， 对角线长为2c，即，且， 所以， 即， 而矩形的面积为，得， 故选：B. 6．（25-26高二上·吉林长春·期末）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题意可得，所以，结合椭圆的定义可求解. 【详解】由椭圆，可得，所以， 因为点在椭圆上，且为椭圆的两个焦点，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：A. 7．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的长轴长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用椭圆知识得到三边与的关系，然后将的面积用表示，从而得到的值，进而得到长轴长. 【详解】由椭圆的定义可知，又，可得，. 已知椭圆的离心率为，故. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以. 则， 于是，解得， 故椭圆的长轴长为12. 8．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率之积为，得出，再由直线的斜率为4，结合椭圆的定义，得，从而，再由，建立关于的等式求解. 【详解】因为直线的斜率之积为， 所以， 由直线的斜率为4，可知，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆和椭圆，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【分析】由椭圆方程可知：椭圆的焦点在x轴上，椭圆的焦点在y轴上，且，，进而逐项分析判断. 【详解】由椭圆方程可知：椭圆的焦点在x轴上，椭圆的焦点在y轴上， 且，， 则两椭圆的焦点、顶点均不相同，故AC错误； 两椭圆的离心率均为，即离心率相等，故B正确； 两椭圆有相同的对称轴（为坐标轴）和对称中心（为坐标原点），故D正确； 故选：BD. 10．（25-26高二上·广西百色·期末）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的离心率为 C． 的周长为8 D．的最大值为9 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程得到椭圆的的值，即可求得AB选项，C选项中的周长应为，结合椭圆的定义即可求解，D选项使用基本不等式求解即可. 【详解】由椭圆方程可知，，∴，则，，， 对于A，焦距，故A错误； 对于B，离心率，故B正确； 对于C，，， 则的周长为，故C正确； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程求出、、，根据椭圆的性质判断A、B、C，根据椭圆的定义及基本不等式判断D. 【详解】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆方程，求两焦点坐标为___________ 【答案】和 【详解】由，得，所以方程表示焦点在轴上的椭圆，且， 所以，所以，所以两焦点坐标和. 13．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）椭圆的离心率为，则实数的所有可能取值为___． 【答案】 【分析】按照焦点在轴上或焦点在轴上讨论求解即可. 【详解】由题可知，当焦点在轴上时，，，而，所以， 因为，所以，即：，解得. 当焦点在轴上时，得， ，，， ， 又因为，所以， 即：，解得满足，成立. 故答案为：. 14．（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 【答案】 【分析】利用圆心距与半径之差的关系式可判断出圆和圆为内含关系，根据圆与圆的位置关系可得出，根据椭圆的定义可确定动点的轨迹是椭圆，根据焦点和长轴求出标准方程即可. 【详解】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课前预习）观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 【答案】答案见解析 【详解】范围：，；对称性：对称轴为轴，轴，对称中心为原点； 顶点：，，，． 16．（25-26高二上·陕西西安·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的倍； (2)焦点在轴上，且经过两点、. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设椭圆的方程为，将点、的坐标代入椭圆的方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出椭圆的标准方程. 【详解】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为， 所以由题设有，解得，故椭圆的标准方程为. （2）根据题意可设椭圆的方程为， 将点、的坐标代入椭圆方程得，解得， 故椭圆的标准方程为. 17．（25-26高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点P在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求的面积； 【答案】(1)答案见解析 (2)9 【分析】（1）由椭圆方程可求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积. 【详解】（1）由椭圆方程得：，，则， 椭圆的长轴长为；短轴长为； 焦点坐标为，，离心率. （2）由椭圆的定义知：， ，， 即，解得：， . 18．（25-26高二上·广东惠州·期中）（1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 【答案】（1） ；（2）. 【分析】（1）连接，根据题意，，由椭圆的定义知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆即可求解； （2）根据，利用向量坐标运算，得出坐标间的关系，由转移法求出点的轨迹方程即可. 【详解】（1）连接，根据题意可得：， 则， 故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为， 可知，，则， 所以点Q的轨迹的方程为； （2）由题意可知：，， 设点，，则，， 因为，则，可得， 而点在椭圆C上运动，则，即， 所以点N的轨迹方程为. 19． （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆：（）的离心率为，且过点． (1)求的方程． (2)设的左、右焦点分别为，，若为上位于轴上方的两个动点，且． （ⅰ）若为的上顶点，求直线的方程； （ⅱ）求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）由离心率得，再根据点在椭圆上，解出即得方程； （2）（ⅰ）结合题意和图象可得直线的方程为，再联立椭圆方程求得交点坐标，根据对称性求点坐标，进而求解直线的方程. （ⅱ）设直线与的另一个交点为．根据题意得四边形的面积，设直线的方程为，联立椭圆方程可得，结合韦达定理和弦长公式代入可得可得，再结合基本不等式求解范围即可. 【详解】（1）设的半焦距为（）． 由离心率，得，整理得． 因为过点，所以，故， 解得，所以，故的方程为． （2）（ⅰ）如图，设直线与的另一个交点为． 当为的上顶点时，， 又，所以直线的方程为． 由，得，由，得， 所以，则． 由及椭圆的对称性可知，点，关于原点对称， 所以．所以， 故直线的方程为，即. （ⅱ）连接，，，由及对称性可知， 四边形的面积． 设直线的方程为． 由，得， 所以，． 所以． 令，则，， 当且仅当，即时等号成立． 所以四边形的面积的最大值为．    1 学科网（北京）股份有限公司 $