专题02 周长与面积（解决问题专项讲义）数学苏教版四年级上册（新教材）

该小学数学“周长与面积解决问题专项讲义”通过分题型构建知识体系，将周长与面积问题分为5大题型，每个题型以“核心要点”梳理基础逻辑、速算技巧、边长规律及核验方法，形成清晰知识脉络，突出公式应用与实际问题的内在联系。 讲义亮点在于“问题情境化”练习设计，如用航模支架、公园沙池等实例培养几何直观，通过“长和宽差值最小求最短周长”等技巧提升运算能力与推理意识。典例与分层训练结合，基础生掌握方法，优秀生深化思维，助力教师实施精准复习教学。

专题02 周长与面积（解决问题专项讲义） 题型01 运用长方形和正方形的周长解决问题 题型02 最短周长问题 题型03 运用长方形和正方形的面积解决问题 题型04 含长方形和正方形的组合面积问题 题型05 铺砖问题 题型01 运用长方形和正方形的周长解决问题 一、解决周长问题核心要点 ‌基础解题逻辑‌：先明确图形的长、宽或边长的已知数值，代入对应周长公式计算，长方形周长=（长+宽）×2，正方形周长=边长×4，遇到组合图形可通过平移边的方法转化为基础图形计算。例如长8米、宽5米的长方形花坛，代入公式算出周长为26米。 ‌特殊速算技巧‌：已知长方形周长和其中一条边的长度，可直接用周长除以2再减去已知边长，快速算出另一条边的长度，不用反向列方程推导。 ‌边长变化规律‌：长方形的长和宽同时扩大到原来的n倍，周长也会同步扩大到原来的n倍，可利用这个规律直接口算变化后的周长，省去重复计算步骤。 ‌核验校准要点‌：算出结果后反向代入，用周长除以算出的边长，核对是否和题目给出的已知条件完全匹配，排查公式套用错误。 【典例1】学校航模社团开展了制作火箭模型的活动。贝贝用铁丝制作模型支架，她先做了一个长方形支架（如下图）。如果把这根铁丝改围成一个正方形支架，这个正方形支架的边长是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】根据题意，围成长方形和正方形用的同一根铁丝，也就是两个图形的周长相等。先根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，计算出长方形的周长，再根据正方形边长＝正方形周长÷4，求出边长，据此解答。 【解答】（5＋3）×2 ＝8×2 ＝16（厘米） 16÷4＝4（厘米） 答：这个正方形支架的边长是4厘米。 【专项训练1】一个正方形的周长是一个长方形的4倍，长方形的长是6厘米，比宽多4厘米，正方形的边长是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】根据长方形的长以及长与宽的关系求出长方形的宽；其次利用长方形周长＝（长＋宽）×2，计算出长方形的周长；然后根据正方形周长是长方形周长的4倍，求出正方形的周长；最后根据正方形周长＝边长×4，求出正方形的边长。 【解答】（厘米） （厘米） （厘米） （厘米） 答：正方形的边长是16厘米。 【专项训练2】 一个长方形和一个正方形的周长相等，又知正方形的边长是5分米，长方形的长比宽多2分米，长方形的长和宽各是多少分米？ 【答案】6分米；4分米 【分析】根据题意可知，正方形的边长是5分米，根据正方形的周长公式求出正方形的周长；因为长方形和正方形的周长相等，从而得到长方形的周长。再根据长方形的周长公式求出长与宽的和，已知长比宽多2分米，利用和与差的关系求出长方形的宽，进而求出长。 【解答】（分米） （分米） （分米） （分米） 答：长方形的长是6分米，宽是4分米。 【专项训练3】公园要规划一块长方形的儿童沙池，沙池的长是27米，长是宽的3倍。施工队要沿沙池边缘铺防滑胶条，至少需要准备多少米的防滑胶条？ 【答案】72米 【分析】已知长方形的长是米，且长是宽的倍，根据倍数关系，先用除法求出宽，再利用长方形周长公式“周长（长宽）"列式计算即可。 【解答】（米） ＝36×2 （米） 答：至少需要准备米的防滑胶条。 【专项训练4】两根同样长的铁丝，一根围成长方形，一根围成正方形。长方形的长是35厘米，宽是15厘米。正方形的边长是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】根据题意，两根铁丝同样长，说明围成的长方形周长和正方形周长相等。根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出一根铁丝的总长度，然后再根据正方形周长＝边长×4，用铁丝的总长度除以4，求出正方形的边长。 【解答】长方形的周长为： （厘米） 正方形的边长为： （厘米） 答：正方形的边长是25厘米。 【专项训练5】宁津康宁湖杂技文化公园，湖光潋滟、杂技元素交融，是国家3A级景区，兼具生态与文化魅力。园林匠人打造户外景观，用实木围栏圈出长方形花坛，花坛宽4米，长是宽的3倍。 （1）围这个长方形花坛一共用了多少米的木栅栏？ （2）园艺师用同样长度的木栅栏围一个正方形花坛，这个花坛的边长是多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【分析】（1）先根据“求一个数的几倍是多少，用乘法计算”求出长方形花坛的长。再根据长方形周长的公式“”求出围这个长方形花坛一共用木栅栏的长度。 （2）根据题意先确定正方形花坛的周长，根据“”可得正方形的边长＝周长÷4。 【解答】（1）（米） （米） 答：围这个长方形花坛一共用了米的木栅栏。 （2）根据题意可知：用同样长度的木栅栏围一个正方形花坛，所以正方形的周长是米。 （米） 答这个花坛的边长是米。 题型02 最短周长问题 一、解决最短周长问题核心要点 ‌基础解题逻辑‌：先明确给定的固定总面积/固定小图形数量，把图形的长和宽调整到尽可能接近的数值，代入周长公式计算，长和宽的差值越小，最终得到的周长就越短。例如用12个边长1厘米的小正方形拼长方形，拼成长4厘米、宽3厘米的图形时，周长最短为14厘米。 ‌特殊速算技巧‌：用固定数量的小正方形拼图形时，优先拼成最接近正方形的形状，不用逐一列举所有拼接方案，直接锁定最短周长的目标图形，大幅减少运算量。 ‌边长变化规律‌：面积固定的长方形，长和宽的差值为0（即拼成正方形）时，周长达到理论最小值，可利用这个规律直接判断最优拼接方案。 ‌核验校准要点‌：算出结果后反向列举其他拼接方案的周长，对比确认当前结果确实是所有方案里的最小值，排查漏看更优拼接方式的问题。 【典例2】某展厅准备靠着外墙铺设一块长50米、宽35米的长方形草坪，然后给这块草坪围上一圈护栏，至少要准备多少米长的护栏？（外墙足够长）（先画图再列式计算） 【答案】画图见详解；120米 【分析】根据题意，草坪是长方形，因为靠着外墙铺设，所以有一面不需要围护栏。要使护栏最短，草坪的长边靠墙，然后求出长和两个宽的和即可。画图时，画一个长方形，将较长的一条边画在墙壁线上，表示长边靠墙。 【解答】作图如下： 50＋35×2 ＝50＋70 ＝120（米） 答：至少要准备120米长的护栏。 【专项训练1】一块靠墙的长方形菜地，长6米，宽3米，另外三面用篱笆围上，哪种围法篱笆用的少一些？需要多少米？ 【答案】第1种，12米 【分析】第1种：长边靠墙，需要篱笆的长度等于一条长加上两条宽的长度；第二种：宽边靠墙，需要篱笆的长度等于两条长加上一条宽的长度；比较结果即可得出哪种围法用的篱笆少。 【解答】第1种： 6＋3＋3 ＝9＋3 ＝12（米） 第2种： 6＋6＋3 ＝12＋3 ＝15（米） 12＜15 答：第1种围法篱笆用的少一些，需要12米。 【专项训练2】张大爷要围一块长方形地，长45米、宽24米。这块地一边靠墙，另外三边围篱笆，下面哪种围法用的篱笆少一些？至少需要多少米篱笆？ 【答案】第一种；93米 【分析】第一种：长边靠墙，需要篱笆的长度等于一条长加上两条宽的长度；第二种：宽边靠墙，需要篱笆的长度等于两条长加上一条宽的长度；比较结果得出哪种围法用的篱笆少；据此解答。 【解答】第一种： （米） 第二种： （米） 答：第一种围法用的篱笆少一些，至少需要93米篱笆。 【专项训练3】三年级同学要在学校种植园里用篱笆围一个长13米，宽9米的小菜园。班级里部分同学的圈法见下图。徐老师看了同学们的围法后，提出了一个问题：已知篱笆的成本是每米8元，要想节约采购篱笆的成本，这个菜园应该如何设计呢？（靠墙的一边不围）请你在下图2中画一画，再算出你设计的小菜园的篱笆需要花费多少元。 【答案】图见详解；248元 【分析】根据题意分析，已知图一中的围法是将宽靠墙，还可以将长靠墙作为另一种围法，把长靠墙的围法画出，再将画出的两个宽与一个长的长度相加，即可求出需要多少的篱笆。 【解答】设计图如下： 9×2＋13 ＝18＋13 ＝31（米） 31×8＝248（元） 答：设计的小菜园的篱笆需要花费248元。 【专项训练4】苟坝红色文化旅游景区成功创建为国家AAAA级旅游景区，同学们去景区顺然农场研学实践，看到李叔叔用木栅栏围了一块长方形菜地，一面靠墙，菜地宽6米，长是宽的2倍，围这块菜地最少要用多少米木栅栏？ 【答案】24米 【分析】根据题意，要想求最少要用多少米木栅栏，应该让长方形的长的一边靠墙来节省木栅栏，那么用6乘2求出一条长，再加上两条宽的边的和，列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 6×2＋6＋6 ＝12＋6＋6 ＝18＋6 ＝24（米） 答：围这块菜地最少要用24米木栅栏。 【专项训练5】乐乐想将自己在不同年龄时拍的4张照片拼成一个长方形，然后在外面围上装饰带，怎样拼最节省装饰带？先画图表示出这种拼法，再计算这种拼法约需多长的装饰带。 【答案】；124厘米 【分析】根据题意，四张照片都是长方形，这四个小长方形拼成一个大长方形有三种拼法。再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，算出三种拼法后的长方形的周长。即可知道周长最短是多少厘米，也就是最节省的装饰方式。 【解答】拼法一： 长：18×4＝72（厘米），宽：13厘米 周长：（72＋13）×2 ＝85×2 ＝170（厘米） 拼法二： 长：18×2＝36（厘米），宽：13×2＝26（厘米） 周长：（36＋26）×2 ＝62×2 ＝124（厘米） 拼法三： 长：13×4＝52（厘米），宽：18厘米 周长：（52＋18）×2 ＝70×2 ＝140（厘米） 124厘米＜140厘米＜170厘米 答：拼成长36厘米、宽26厘米的长方形最节省装饰带，这种拼法约需124厘米长的装饰带。 题型03 运用长方形和正方形的面积解决问题 一、解决面积问题核心要点 ‌基础解题逻辑‌：先明确图形的长、宽或边长的已知数值，代入对应面积公式计算，长方形面积=长×宽，正方形面积=边长×边长，遇到组合图形可拆分为基础图形分别算面积再求和。例如长8米、宽5米的长方形菜地，直接代入公式算出面积为40平方米。 ‌特殊速算技巧‌：已知长方形面积和其中一条边的长度，可直接用面积除以已知边长，快速算出另一条边的长度，不用反向列方程推导。 ‌边长变化规律‌：长方形的长和宽同时扩大到原来的n倍，面积会扩大到原来的n²倍，可利用这个规律直接口算变化后的面积，省去重复计算步骤。 ‌核验校准要点‌：算出结果后反向代入，用面积除以算出的边长，核对是否和题目给出的已知边长完全匹配，排查公式套用错误。 【典例3】手工社团专门划分长方形区域摆放做的缩小屋成品，晾晒区长10米、宽6米，为方便大家参观，在区域四周铺设1米宽观光步道，这条步道的面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】长方形面积＝长×宽，步道面积＝大长方形面积−内部晾晒区面积；步道在四周向外拓宽米，外面大长方形的长＝，外面大长方形的宽＝。 【解答】 （米） （米） （平方米） 答：这条步道的面积是平方米。 【专项训练1】有一块长方形菜地，一面靠墙（如下图），长24米，宽15米，它的面积是多少？如果给菜地围上篱笆，篱笆的长是多少？ 【答案】360平方米；63米 【分析】长方形面积＝长×宽；由图可知长方形菜地的宽边靠墙，篱笆包含两条长与一条宽。 【解答】24×15＝360（平方米） 24×2＋15 ＝48＋15 ＝63（米） 答：菜地的面积是360平方米，篱笆的长是63米。 【专项训练2】某景区有一块长方形空地，长12米，宽5米。如果在它的四周安装护栏，护栏长多少米？如果在空地上铺满草坪，需要铺多少平方米的草坪？ 【答案】护栏长34米；需要铺60平方米的草坪 【分析】求护栏的长度，即是求长方形的周长，根据长方形周长公式计算；求草坪的大小，即是求长方形的面积，根据长方形面积公式计算。已知长方形的长是米，宽是米，代入数据计算即可。 【解答】护栏的长度： （米） 草坪的面积： （平方米） 答：护栏长34米，需要铺60平方米的草坪。 【专项训练3】阳光社区计划扩建一块正方形的口袋花园，将其中一组对边各增加8米，这样花园的面积就增加了320平方米。扩建后的花园总面积是多少平方米？（先画示意图，再解答） 【答案】 1920平方米 【分析】根据题意先画一个正方形，再把正方形的一组对边（上下边）各延长8米，这时增加的长方形的面积是320平方米。据此作图。 已知正方形花园一组对边各增加8米，这样花园的面积就增加了320平方米。增加的面积÷增加的长度＝原花园的边长，原花园的边长×原花园的边长＝原花园的面积。计算出原花园的面积后再加上增加的面积即是扩建后花园的面积。据此作答。 【解答】图略 320÷8＝40（米） 40×40＋320 ＝1600＋320 ＝1920（平方米） 答：扩建后的花园总面积是1920平方米。 【专项训练4】小亚用3米长的铁丝围长12厘米，宽8厘米的长方形框架，最多可以围多少个？如果用剩下的铁丝围正方形框架，这个正方形框架的面积是多少平方厘米？ 【答案】7个；25平方厘米 【分析】明确单位间的进率，1米＝100厘米，先进行单位换算，将铁丝总长度换算成厘米。根据长方形周长＝（长＋宽）×2，计算单个长方形周长；用铁丝总长度除以单个长方形框架的周长，商为最多可以围的个数，余数为剩下的铁丝长度。剩下的铁丝长度即为正方形框架的周长，根据正方形周长公式求出边长，最后根据正方形面积公式计算出面积。 【解答】1米＝100厘米 3米＝300厘米 （12＋8）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） 300÷40 ＝ 7（个）……20（厘米） 20÷4＝5（厘米） 5×5＝25（平方厘米） 答：最多可以围7个，这个正方形框架的面积是25平方厘米。 【专项训练5】一个正方形桌面的周长是28分米。 （1）那么这个桌面的面积是多少平方分米？ （2）如果要给这个桌子配一个正方形桌布，要求四边都能垂下1分米，这块桌布的面积至少是多少平方分米？ 【答案】（1）49平方分米 （2）81平方分米 【分析】（1）明确正方形周长＝边长×4，正方形面积＝边长×边长。先用28除以4，求正方形桌面的边长，再根据正方形面积公式，用7乘7，计算桌面面积。 （2）桌布四边都垂下1分米，说明桌布边长比桌子的边长多出2分米，因此用7加上2，求出桌布边长；再计算桌布最小面积；列式计算即可。 【解答】（1）28÷4＝7（分米） 7×7＝49（平方分米） 答：这个桌面的面积是49平方分米。 （2）7＋2＝9（分米） 9×9＝81（平方分米） 答：这块桌布的面积至少是81平方分米。 题型04 含长方形和正方形的组合面积问题 一、组合面积问题核心要点 ‌基础解题逻辑‌：先把不规则组合图形拆成若干个独立的长方形或正方形，分别代入基础面积公式算出每个小图形的面积，再把所有结果相加得到总面积。比如大正方形角落挖去一个小长方形，也可以用大图形面积减去空缺部分面积来计算。 ‌特殊速算技巧‌：如果组合图形是多个相同小正方形拼接而成，可直接数出小正方形的总个数，用单个小正方形面积乘总个数，不用逐个拆分计算，大幅简化运算。 ‌边长关联规律‌：组合图形的公共边长度相等，可通过已知图形的边长，推导未知部分的缺失边长，不用额外测量就能补全计算所需的所有参数。 ‌核验校准要点‌：算出结果后，用另一种拆分/补全的方法重新计算一次，两次结果一致就能确认答案正确，避免拆分图形时漏算或重复计算区域。 【典例4】两个正方形部分重叠，小正方形边长6厘米，大正方形边长9厘米，重叠长方形长4厘米、宽2厘米，整个图形面积是多少平方厘米？ 【答案】109平方厘米 【分析】用大正方形面积加上小正方形的面积，因为有重叠部分，多算了一个重叠部分的面积，需要再减去一个重叠部分的长方形面积即可；正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽，据此作答。 【解答】9×9＋6×6－4×2 ＝81＋36－8 ＝117－8 ＝109（平方厘米） 答：整个图形面积是109平方厘米。 【专项训练1】下图是海狮表演馆的平面图，它的长是24米，宽是9米。 （1）表演区是边长为8米的正方形，它的面积是多少平方米？ （2）观众区的面积是多少平方米？ 【答案】（1）64平方米 （2）152平方米 【分析】（1）表演区是边长为8米的正方形，正方形面积＝边长×边长，代入数据计算即可； （2）海狮表演馆是由观众区和表演区组成的，要求观众区，用海狮表演馆总面积减去表演区面积即可；海狮表演馆的平面图是长方形，利用长方形面积＝长×宽计算，表演区面积在（1）中已算出，最后二者相减即可。 【解答】（1）8×8＝64（平方米） 答：它的面积是64平方米。 （2）24×9－64 ＝216－64 ＝152（平方米） 答：观众区的面积是152平方米。 【专项训练2】街道花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路。如果水泥路的总面积是28平方米，花坛的面积是多少平方米？ 【答案】36平方米 【分析】将水泥路分成四个相同的长方形，根据长方形面积公式以及已知宽为1米求出长，再减去空白的部分宽度，即可求出正方形花坛的边长，再根据正方形面积公式求出花坛面积，据此作答。 【解答】花坛边长：28÷4÷1－1 ＝7÷1－1 ＝7－1 ＝6（米） 花坛面积：6×6＝36（平方米） 答：花坛的面积是36平方米。 【专项训练3】（如图）公园里有一个鱼池。 （1）这个鱼池占地多少平方米？ （2）为了安全，管理员给鱼池的周围装上护栏，一共需要多少米护栏？ 【答案】（1）304平方米 （2）92米 【分析】（1）鱼池可拆分成两个长方形，一个长方形的长为18m，宽为8m，另一个长方形的长为20m，宽为8m，再根据长方形的面积＝长×宽，分别求出两个长方形的面积，再求和即可。 （2）通过平移线段，可将鱼池的周长转化为一个长（18＋8）m，宽20m的长方形的周长。根据长方形周长＝（长＋宽）×2，即可计算出一共需要多少米护栏。 【解答】（1）18×8＝144（平方米） 8×20＝160（平方米） 144＋160＝304（平方米） 答：这个鱼池占地304平方米。 （2）18＋8＝26（米） （26＋20）×2 ＝46×2 ＝92（米） 答：一共需要92米护栏。 【专项训练4】洗菜、炒菜中的水、油等容易溅落在厨房地面上，在操作台面下的地面铺上地垫，可以防止对生活区造成污染。下图是妙妙家的厨房地面，妈妈打算铺上5分米宽的地垫（图中阴影部分）。铺地垫的面积是多少平方分米？ 【答案】325平方分米 【分析】根据题意，明确1米＝10分米，阴影部分可看作由“顶端的长方形”和“右侧的长方形”组成，如图所示，但右上角的5分米×5分米的正方形会被重复计算一次；长方形的面积＝长×宽，分别计算出两个长方形的面积，再减去边长是5分米的小正方形的面积；列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 4米＝40分米 3米＝30分米 40×5＋30×5－5×5 ＝200＋150－25 ＝325（平方分米） 答：铺地垫的面积是325平方分米。 【专项训练5】在一张边长10厘米的正方形纸中，剪去一个长6厘米，宽4厘米的长方形，淘气想到三种方法，剩下部分第几种面积最大？是多少平方厘米？ 【答案】一样大； 76平方厘米 【分析】剪去的3个长方形的长与宽都相同，先算出正方形的面积，10乘10即可求出面积，再算出剪去的长方形的面积，把4与6相乘，最后用正方形的面积把长方形的面积减去即可解答。 【解答】10×10＝100（平方厘米） 6×4＝24（平方厘米） 100－24＝76（平方厘米） 答：三种剪法剩下部分的面积一样大，剩下的面积是76平方厘米。 【点睛】正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽。 题型05 铺砖问题 一、铺砖问题核心要点 ‌基础解题逻辑‌：先算出地面的总面积和单块地砖的面积，用地面总面积除以单块地砖面积，得到所需地砖总块数。例如长6米、宽3米的客厅，用边长3分米的地砖铺设，先统一单位算出客厅面积1800平方分米，单块地砖面积9平方分米，总块数为1800÷9=200块。 ‌特殊速算技巧‌：先分别算出长和宽方向能铺的地砖数量，两个方向的数量直接相乘得到总块数，遇到地面边长不是地砖边长整数倍的场景，这个方法比大面积除以小面积更严谨。 ‌边界适配规律‌：地面的长和宽都不是地砖边长的整数倍时，要用“进一法”保留整数块数，不能用小数块数计算，避免地砖数量不够。 ‌核验校准要点‌：算出总块数后反向代入，用单块地砖面积乘总块数，核对结果是否和地面总面积匹配，排查单位换算错误。 【典例5】小珍家装修客厅，客厅地面长5米、宽4米。 （1）小珍家客厅的占地面积是多少平方分米？ （2）如果用边长2分米的正方形地砖铺满客厅地面，至少需要多少块这样的地砖？ 【答案】（1） 2000平方分米 （2）500块 【分析】（1）客厅长5米、宽4米，利用长方形面积＝长×宽，计算出客厅的总面积，并根据“1平方米＝100平方分米”，将占地面积转换为平方分米； （2）在计算地砖数量时，已知每块正方形地砖的边长为2分米，利用“总面积÷单块面积＝块数”的方法，即可得出至少需要的地砖数量。 【解答】（1）5×4＝20（平方米） 20平方米＝2000平方分米 答：小珍家客厅的占地面积是2000平方分米。 （2）2000÷（2×2） ＝2000÷4 ＝500（块） 答：至少需要500块这样的地砖。 【专项训练1】学校准备给长9米，宽6米的舞蹈房用铝塑板吊顶（指与地面相对的上面）装修，装修师傅为学校提供了以下两种规格的铝塑板（如图），学校准备选择其中的一种铝塑板吊顶装修。 （1）请你算算这两种规格的铝塑板各需要多少块？ （2）若正方形规格的铝塑板每块8元，长方形规格的铝塑板每块6元，请问选择哪种规格的铝塑板更省钱？ 【答案】（1）①规格铝塑板：600块，②规格铝塑板：900块 （2）选择①规格 【分析】（1）统一单位后，先计算出舞蹈房吊顶的面积和两种规格铝塑板的面积，再用舞蹈房吊顶的面积除以单个铝塑板的面积，即可求出铝塑板的块数；长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长。 （2）用不同规格铝塑板的块数乘各自单价，求出两种规格铝塑板的钱数，再进行比较；据此解答。 【解答】（1）9米＝90分米，6米＝60分米 舞蹈房吊顶的面积：90×60＝5400（平方分米） ①铝塑板块数： 5400÷（3×3） ＝5400÷9 ＝600（块） ②铝塑板块数： 5400÷（3×2） ＝5400÷6 ＝900（块） 答：①规格铝塑板需要600块，②规格铝塑板需要900块。 （2）①铝塑板钱数：600×8＝4800（元） ②铝塑板钱数：900×6＝5400（元） 4800＜5400 答：选择①规格的铝塑板更省钱。 【专项训练2】给一块长6米，宽4米的长方形空地地面铺地砖。 （1）如果用面积是4平方分米的正方形地砖铺满这块空地的地面，一共需要多少块地砖？ （2）如果每块地砖5元，一共需要多少元？ 【答案】（1）600块 （2）3000元 【分析】（1）首先根据长方形面积公式计算出空地的面积，单位是平方米；然后根据1平方米＝100平方分米将平方米换算成平方分米，以便与地砖面积单位一致；接着用空地总面积除以每块地砖的面积求出地砖块数。 （2）由第一问可得地砖的数量，根据“总价＝单价×数量”计算出总费用。 【解答】（1）6×4＝24（平方米） 24平方米＝2400平方分米 2400÷4＝600（块） 答：一共需要600块地砖。 （2）5×600＝3000（元） 答：一共需要3000元。 【专项训练3】单位宿舍的卫生间地面是长方形，长6米，宽3米。单位想重新装修卫生间，选中了下面两种质量相同的防滑地砖，请你帮单位算一算，买哪一种地砖更省钱？ 【答案】边长为3分米的大地砖；1600元 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出卫生间地面面积。根据正方形的面积＝边长×边长，分别求出两种地砖的面积。用卫生间地面面积除以地砖面积，分别求出需要的两种地砖块数。用地砖块数乘每块地砖价钱，分别求出两种地砖花费的钱数，再找出需要钱数最少的那种地砖即可。 【解答】6×3＝18（平方米） 18平方米＝1800平方分米 3×3＝9（平方分米） 1800÷9×8 ＝200×8 ＝1600（元） 2×2＝4（平方分米） 1800÷4×5 ＝450×5 ＝2250（元） 1600＜2250 答：用边长为3分米的大地砖更省钱，需要1600元。 【专项训练4】李叔叔家的卫生间长3米，宽18分米，准备铺上地砖。李叔叔选中了下面两种质量相当的地砖，你能帮李叔叔算一算，买哪一种方砖便宜？需要多少元？ 【答案】买第一种方砖便宜，需要240元。 【分析】将长3米换单位成分米，1米＝10分米，根据“长方形的面积＝长×宽”先计算卫生间地面的面积，然后分别计算两种地砖所需的数量和总价，最后比较哪种地砖更划算。 【解答】3米＝30分米 30×18＝540（平方分米） 3×3＝9（平方分米） 540÷9＝60（块） 60×4＝240（元） 2×2＝4（平方分米） 540÷4＝135（块） 135×2＝270（元） 240元＜270元 答：买第一种方砖便宜，需要240元。 【专项训练5】某老年活动中心大厅长14米、宽8米，现计划在大厅内规划出两个区域：最大的正方形区域作为会客区，剩下的部分作为茶水间。 （1）请你在图中画出并标出规划的两个区域，再算出会客区的面积是多少平方米？ （2）茶水间的地面用长是3分米，宽2分米的长方形地砖进行铺设，一共需要购买多少块这种地砖？ 【答案】（1）64平方米；图见详解 （2）800块 【分析】（1）在一个长方形区域中规划一个最大的正方形区域，正方形的边长为原长方形的宽，据此画出并标出规划的两个区域，正方形的面积＝边长×边长，据此求出会客区的面积； （2）长方形的面积＝长×宽，茶水间的长为8米，宽为14－8＝6（米），据此求出茶水间的面积；根据长方形的面积公式，计算出每块地砖的面积，1平方米＝100平方分米，将单位进行统一，求需要多少块地砖，用茶水间的面积除以地砖的面积进行计算。 【解答】（1）规划的两个区域如图所示： （平方米） 答：会客区的面积是64平方米。 （2） ＝6×8 ＝48（平方米） 48平方米平方分米 （平方分米） （块） 答：一共需要购买800块这种地砖。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 周长与面积（解决问题专项讲义） 题型01 运用长方形和正方形的周长解决问题 题型02 最短周长问题 题型03 运用长方形和正方形的面积解决问题 题型04 含长方形和正方形的组合面积问题 题型05 铺砖问题 题型01 运用长方形和正方形的周长解决问题 一、解决周长问题核心要点 ‌基础解题逻辑‌：先明确图形的长、宽或边长的已知数值，代入对应周长公式计算，长方形周长=（长+宽）×2，正方形周长=边长×4，遇到组合图形可通过平移边的方法转化为基础图形计算。例如长8米、宽5米的长方形花坛，代入公式算出周长为26米。 ‌特殊速算技巧‌：已知长方形周长和其中一条边的长度，可直接用周长除以2再减去已知边长，快速算出另一条边的长度，不用反向列方程推导。 ‌边长变化规律‌：长方形的长和宽同时扩大到原来的n倍，周长也会同步扩大到原来的n倍，可利用这个规律直接口算变化后的周长，省去重复计算步骤。 ‌核验校准要点‌：算出结果后反向代入，用周长除以算出的边长，核对是否和题目给出的已知条件完全匹配，排查公式套用错误。 【典例1】学校航模社团开展了制作火箭模型的活动。贝贝用铁丝制作模型支架，她先做了一个长方形支架（如下图）。如果把这根铁丝改围成一个正方形支架，这个正方形支架的边长是多少厘米？ 【专项训练1】一个正方形的周长是一个长方形的4倍，长方形的长是6厘米，比宽多4厘米，正方形的边长是多少厘米？ 【专项训练2】 一个长方形和一个正方形的周长相等，又知正方形的边长是5分米，长方形的长比宽多2分米，长方形的长和宽各是多少分米？ 【专项训练3】公园要规划一块长方形的儿童沙池，沙池的长是27米，长是宽的3倍。施工队要沿沙池边缘铺防滑胶条，至少需要准备多少米的防滑胶条？ 【专项训练4】两根同样长的铁丝，一根围成长方形，一根围成正方形。长方形的长是35厘米，宽是15厘米。正方形的边长是多少厘米？ 【专项训练5】宁津康宁湖杂技文化公园，湖光潋滟、杂技元素交融，是国家3A级景区，兼具生态与文化魅力。园林匠人打造户外景观，用实木围栏圈出长方形花坛，花坛宽4米，长是宽的3倍。 （1）围这个长方形花坛一共用了多少米的木栅栏？ （2）园艺师用同样长度的木栅栏围一个正方形花坛，这个花坛的边长是多少米？ 题型02 最短周长问题 一、解决最短周长问题核心要点 ‌基础解题逻辑‌：先明确给定的固定总面积/固定小图形数量，把图形的长和宽调整到尽可能接近的数值，代入周长公式计算，长和宽的差值越小，最终得到的周长就越短。例如用12个边长1厘米的小正方形拼长方形，拼成长4厘米、宽3厘米的图形时，周长最短为14厘米。 ‌特殊速算技巧‌：用固定数量的小正方形拼图形时，优先拼成最接近正方形的形状，不用逐一列举所有拼接方案，直接锁定最短周长的目标图形，大幅减少运算量。 ‌边长变化规律‌：面积固定的长方形，长和宽的差值为0（即拼成正方形）时，周长达到理论最小值，可利用这个规律直接判断最优拼接方案。 ‌核验校准要点‌：算出结果后反向列举其他拼接方案的周长，对比确认当前结果确实是所有方案里的最小值，排查漏看更优拼接方式的问题。 【典例2】某展厅准备靠着外墙铺设一块长50米、宽35米的长方形草坪，然后给这块草坪围上一圈护栏，至少要准备多少米长的护栏？（外墙足够长）（先画图再列式计算） 【专项训练1】一块靠墙的长方形菜地，长6米，宽3米，另外三面用篱笆围上，哪种围法篱笆用的少一些？需要多少米？ 【专项训练2】张大爷要围一块长方形地，长45米、宽24米。这块地一边靠墙，另外三边围篱笆，下面哪种围法用的篱笆少一些？至少需要多少米篱笆？ 【专项训练3】三年级同学要在学校种植园里用篱笆围一个长13米，宽9米的小菜园。班级里部分同学的圈法见下图。徐老师看了同学们的围法后，提出了一个问题：已知篱笆的成本是每米8元，要想节约采购篱笆的成本，这个菜园应该如何设计呢？（靠墙的一边不围）请你在下图2中画一画，再算出你设计的小菜园的篱笆需要花费多少元。 【专项训练4】苟坝红色文化旅游景区成功创建为国家AAAA级旅游景区，同学们去景区顺然农场研学实践，看到李叔叔用木栅栏围了一块长方形菜地，一面靠墙，菜地宽6米，长是宽的2倍，围这块菜地最少要用多少米木栅栏？ 【专项训练5】乐乐想将自己在不同年龄时拍的4张照片拼成一个长方形，然后在外面围上装饰带，怎样拼最节省装饰带？先画图表示出这种拼法，再计算这种拼法约需多长的装饰带。 题型03 运用长方形和正方形的面积解决问题 一、解决面积问题核心要点 ‌基础解题逻辑‌：先明确图形的长、宽或边长的已知数值，代入对应面积公式计算，长方形面积=长×宽，正方形面积=边长×边长，遇到组合图形可拆分为基础图形分别算面积再求和。例如长8米、宽5米的长方形菜地，直接代入公式算出面积为40平方米。 ‌特殊速算技巧‌：已知长方形面积和其中一条边的长度，可直接用面积除以已知边长，快速算出另一条边的长度，不用反向列方程推导。 ‌边长变化规律‌：长方形的长和宽同时扩大到原来的n倍，面积会扩大到原来的n²倍，可利用这个规律直接口算变化后的面积，省去重复计算步骤。 ‌核验校准要点‌：算出结果后反向代入，用面积除以算出的边长，核对是否和题目给出的已知边长完全匹配，排查公式套用错误。 【典例3】手工社团专门划分长方形区域摆放做的缩小屋成品，晾晒区长10米、宽6米，为方便大家参观，在区域四周铺设1米宽观光步道，这条步道的面积是多少平方米？ 【专项训练1】有一块长方形菜地，一面靠墙（如下图），长24米，宽15米，它的面积是多少？如果给菜地围上篱笆，篱笆的长是多少？ 【专项训练2】某景区有一块长方形空地，长12米，宽5米。如果在它的四周安装护栏，护栏长多少米？如果在空地上铺满草坪，需要铺多少平方米的草坪？ 【专项训练3】阳光社区计划扩建一块正方形的口袋花园，将其中一组对边各增加8米，这样花园的面积就增加了320平方米。扩建后的花园总面积是多少平方米？（先画示意图，再解答） 【专项训练4】小亚用3米长的铁丝围长12厘米，宽8厘米的长方形框架，最多可以围多少个？如果用剩下的铁丝围正方形框架，这个正方形框架的面积是多少平方厘米？ 【专项训练5】一个正方形桌面的周长是28分米。 （1）那么这个桌面的面积是多少平方分米？ （2）如果要给这个桌子配一个正方形桌布，要求四边都能垂下1分米，这块桌布的面积至少是多少平方分米？ 题型04 含长方形和正方形的组合面积问题 一、组合面积问题核心要点 ‌基础解题逻辑‌：先把不规则组合图形拆成若干个独立的长方形或正方形，分别代入基础面积公式算出每个小图形的面积，再把所有结果相加得到总面积。比如大正方形角落挖去一个小长方形，也可以用大图形面积减去空缺部分面积来计算。 ‌特殊速算技巧‌：如果组合图形是多个相同小正方形拼接而成，可直接数出小正方形的总个数，用单个小正方形面积乘总个数，不用逐个拆分计算，大幅简化运算。 ‌边长关联规律‌：组合图形的公共边长度相等，可通过已知图形的边长，推导未知部分的缺失边长，不用额外测量就能补全计算所需的所有参数。 ‌核验校准要点‌：算出结果后，用另一种拆分/补全的方法重新计算一次，两次结果一致就能确认答案正确，避免拆分图形时漏算或重复计算区域。 【典例4】两个正方形部分重叠，小正方形边长6厘米，大正方形边长9厘米，重叠长方形长4厘米、宽2厘米，整个图形面积是多少平方厘米？ 【专项训练1】下图是海狮表演馆的平面图，它的长是24米，宽是9米。 （1）表演区是边长为8米的正方形，它的面积是多少平方米？ （2）观众区的面积是多少平方米？ 【专项训练2】街道花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路。如果水泥路的总面积是28平方米，花坛的面积是多少平方米？ 【专项训练3】（如图）公园里有一个鱼池。 （1）这个鱼池占地多少平方米？ （2）为了安全，管理员给鱼池的周围装上护栏，一共需要多少米护栏？ 【专项训练4】洗菜、炒菜中的水、油等容易溅落在厨房地面上，在操作台面下的地面铺上地垫，可以防止对生活区造成污染。下图是妙妙家的厨房地面，妈妈打算铺上5分米宽的地垫（图中阴影部分）。铺地垫的面积是多少平方分米？ 【专项训练5】在一张边长10厘米的正方形纸中，剪去一个长6厘米，宽4厘米的长方形，淘气想到三种方法，剩下部分第几种面积最大？是多少平方厘米？ 题型05 铺砖问题 一、铺砖问题核心要点 ‌基础解题逻辑‌：先算出地面的总面积和单块地砖的面积，用地面总面积除以单块地砖面积，得到所需地砖总块数。例如长6米、宽3米的客厅，用边长3分米的地砖铺设，先统一单位算出客厅面积1800平方分米，单块地砖面积9平方分米，总块数为1800÷9=200块。 ‌特殊速算技巧‌：先分别算出长和宽方向能铺的地砖数量，两个方向的数量直接相乘得到总块数，遇到地面边长不是地砖边长整数倍的场景，这个方法比大面积除以小面积更严谨。 ‌边界适配规律‌：地面的长和宽都不是地砖边长的整数倍时，要用“进一法”保留整数块数，不能用小数块数计算，避免地砖数量不够。 ‌核验校准要点‌：算出总块数后反向代入，用单块地砖面积乘总块数，核对结果是否和地面总面积匹配，排查单位换算错误。 【典例5】小珍家装修客厅，客厅地面长5米、宽4米。 （1）小珍家客厅的占地面积是多少平方分米？ （2）如果用边长2分米的正方形地砖铺满客厅地面，至少需要多少块这样的地砖？ 【专项训练1】学校准备给长9米，宽6米的舞蹈房用铝塑板吊顶（指与地面相对的上面）装修，装修师傅为学校提供了以下两种规格的铝塑板（如图），学校准备选择其中的一种铝塑板吊顶装修。 （1）请你算算这两种规格的铝塑板各需要多少块？ （2）若正方形规格的铝塑板每块8元，长方形规格的铝塑板每块6元，请问选择哪种规格的铝塑板更省钱？ 【专项训练2】给一块长6米，宽4米的长方形空地地面铺地砖。 （1）如果用面积是4平方分米的正方形地砖铺满这块空地的地面，一共需要多少块地砖？ （2）如果每块地砖5元，一共需要多少元？ 【专项训练3】单位宿舍的卫生间地面是长方形，长6米，宽3米。单位想重新装修卫生间，选中了下面两种质量相同的防滑地砖，请你帮单位算一算，买哪一种地砖更省钱？ 【专项训练4】李叔叔家的卫生间长3米，宽18分米，准备铺上地砖。李叔叔选中了下面两种质量相当的地砖，你能帮李叔叔算一算，买哪一种方砖便宜？需要多少元？ 【专项训练5】某老年活动中心大厅长14米、宽8米，现计划在大厅内规划出两个区域：最大的正方形区域作为会客区，剩下的部分作为茶水间。 （1）请你在图中画出并标出规划的两个区域，再算出会客区的面积是多少平方米？ （2）茶水间的地面用长是3分米，宽2分米的长方形地砖进行铺设，一共需要购买多少块这种地砖？ 学科网（北京）股份有限公司 $