专题04 运用数量关系解决问题及工程问题（解决问题专项训练）数学苏教版六年级上册（新教材）

**基本信息** 聚焦分数应用题与工程问题，通过线段图分析与方程建模，系统训练数量关系解决能力，体现几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分数应用题|15题（如1-15题）|结合生活情境，需画线段图分析部分与整体、比多比少关系，部分列方程|从具体数量关系（如红气球与黄气球数量）抽象出分数模型，通过线段图直观呈现数量关系，培养抽象能力与推理意识| |工程问题|10题（如16-25题）|涉及工作效率、合作时间，需计算工作总量与效率关系|以工作总量为“1”构建工程模型，通过独立与合作效率计算，发展应用意识与运算能力，体现数学思维的逻辑性|

专题04 运用数量关系解决问题及工程问题（解决问题专项训练） 1．临平万达广场永辉超市举行迎“五一”送气球活动，购物满100元就可送气球1个。永辉超市里有红气球和黄气球一共300个，红气球送出，黄气球送出39个，剩下的红气球和黄气球的个数相等。永辉超市原来有红气球和黄气球各多少个？（先画线段图再解决问题） 2．某学校组织学生到刘启耀纪念馆开展研学活动，五年级去了150人，六年级去的人数比五年级多，六年级去了多少人？（先画线段图，再列式解答） 线段图： 列式计算： 3．一桶油，用去后还剩60千克，这桶油有多少千克？（先画线段图分析数量关系，再解答） 4．一列高铁从青岛开往北京，已经行了全程的，再行驶45.5千米，就正好行驶了全程的一半。求全程是多少千米。（画线段图分析数量关系，并列方程解答） 5．某学校2024年一年级新生500人，__________________，2025年新生有多少人？（根据线段图，先将题中的数学信息补充完整，再列方程解答）。 6．某修路队修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第二天比第一天多修了12千米，问这条公路全长多少千米？（先画线段图分析，再解答） 7．一段公路需要施工，第一天完成了总量的，第二天完成了剩下部分的，这时还剩下210米未施工，需要施工的这段公路有多少米？（建议你先画线段图，再解决这个问题） 8．根据题意先把线段图补充完整，再列式计算。 某市开展小学生英语线上朗读比赛，参加的男生有12000人，女生人数比男生人数多。参加小学生英语线上朗读比赛的女生有多少人？ 9．李阿姨家养了一些白兔和黑兔，一共45只。其中，白兔只数是黑兔只数的。黑兔有多少只？（先画出线段图分析题意，再列方程解答。） 10．某区要大力发展全域旅游，去年接待了28万名游客，预计今年游客数量比去年增加，今年将接待游客多少万名？（先画出线段图，再列式解答） 11．2026年5月，国产高端AI芯片“天元”实现技术突破。但由于工艺复杂，生产中还存在一定比例的瑕疵品（次品）。某芯片厂生产了一批“天元”AI芯片，经质量检测，合格芯片的数量是次品的。已知合格芯片比次品多4500个。这批芯片的总产量是多少个？ 12．大熊猫是我国特有的珍稀动物。截止到2025年3月，全国野生大熊猫约为1900只，数量比20世纪80年代增加。20世纪80年代全国野生大熊猫约有多少只？（用列方程解决问题） 13．首届世界人形机器人运动会在北京盛大举行，“具身天工Ultra”机器人以近22秒的成绩摘得百米短跑桂冠，这一成绩仅比普通成年男性百米跑的平均用时多，普通成年男性百米跑的平均用时是多少秒？（列方程解答） 14．《四物汤》是一个著名的中医药方，被誉为“养血第一方”。它是由当归、熟地黄、川芎、白芍四味中药组成。有一副普通的《四物汤》配方是这样的：当归10克，是熟地黄的，川芎比当归少，当归比白芍多。请写出计算过程，并把这副普通的《四物汤》配方填写在下表中。 《四物汤》配方统计表 成分 当归 熟地黄 川芎 白芍 质量/g 10 熟地黄：    川芎：    白芍： 15．实验小学在为灾区捐款活动中，六年级同学共捐款1000元，比五年级同学多捐了，五年级同学捐了多少钱？ 16．修一条60千米长的路，甲队单独修30天完成，乙队单独修20天完成。两队合作，多少天能修完这条路的？ 17．植树队接到一项种树任务。甲队单独种，种完需要15天，乙队单独种，种完需要10天。如果两队合种，几天可以种完？ 18．笑笑想在暑假去地铁口卖手工吉祥布偶，现需要妈妈和奶奶制作一批手工吉祥布偶，奶奶单独完成需要12个小时，妈妈单独完成需要15个小时，若妈妈和奶奶两人合作，几小时就可以完成这批手工吉祥布偶的？ 19．为弘扬非遗技艺，某店铺计划赶制100件“招财进宝”黄杨木雕摆件。据测算，李师傅单独完成需要20天，陈师傅单独完成需25天。若两位师傅携手合作，共需要多少天完成？ 20．新野县上港乡小五村千亩洋葱大丰收。一块试验田，甲队单独挖，需要8小时挖完，乙队单独挖，需要10小时挖完。如果乙队先挖其中的，剩下的由甲乙合作，还需要几小时才能挖完？ 21．一批机器零件有1800个，甲单独做需8天完成，乙单独做需12天完成。如果两人同时加工，需几天才能加工完成这批零件的？ 22．一项工程，甲队单独做20天可以完成它的，乙队单独做9天可以完成它的，甲、乙两队合作多少天可以完成这项工程的一半？ 23．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做12天完成，丙单独做15天完成。若先由甲独做5天，然后由乙和丙合做，还需要几天完成？ 24．一项软件开发项目。小张单独完成需要10天时间，而小王单独完成需要20天时间。小张先独立工作了4天，剩下的部分由小张和小王合作完成。他们还需要多少天才能完成这个项目？ 25．风筝制作工厂接到一份制作1200个传统风筝的订单，甲车间单独做需要15天完成，乙车间单独做需要20天完成。现因生产调度需要，安排乙车间先单独完成，剩下的风筝由甲、乙两个车间共同制作，还需要合作多少天才能完成这份订单？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 运用数量关系解决问题及工程问题（解决问题专项训练） 1．临平万达广场永辉超市举行迎“五一”送气球活动，购物满100元就可送气球1个。永辉超市里有红气球和黄气球一共300个，红气球送出，黄气球送出39个，剩下的红气球和黄气球的个数相等。永辉超市原来有红气球和黄气球各多少个？（先画线段图再解决问题） 【答案】；红气球145个；黄气球155个 【分析】把原来红气球的数量看作单位“1”，红气球送出，把单位“1”平均分成5份，送出的气球数量占其中的1份，剩下的气球数量占（5－1）份，画出一条和红气球剩下部分长度相等的线段表示黄气球剩下的数量，然后在前面添加一条线段表示黄气球送出的数量，整条线段的长度就表示黄气球原来的数量；根据“剩下的红气球和黄气球的个数相等”得出等量关系式：原来红气球的数量×（1－）＝原来黄气球的数量－送出的数量，据此列方程解答。 【解答】画线段图略。 解：设永辉超市原来有红气球个，则黄气球有个。 300－145＝155（个） 答：永辉超市原来有红气球145个，黄气球有155个。 2．某学校组织学生到刘启耀纪念馆开展研学活动，五年级去了150人，六年级去的人数比五年级多，六年级去了多少人？（先画线段图，再列式解答） 线段图： 列式计算： 【答案】图见详解；180人 【分析】先画一条线段，标出五年级人数，平均分成5份；再画一条线段，比五年级多一份，表示比五年级多的，标出六年级人数是“？”。 把五年级人数看作单位“1”，六年级人数是五年级的（1＋），求六年级人数，单位“1”已知，用五年级人数×（1＋）即可解答。 【解答】如图： 150×（1＋） ＝150× ＝180（人） 答：六年级去了180人。 3．一桶油，用去后还剩60千克，这桶油有多少千克？（先画线段图分析数量关系，再解答） 【答案】画图见详解；100千克 【分析】先画一条代表这桶油总质量的线段，将其平均分成5等份，把前2份标注为“用去”，剩下的3份标注为“还剩60千克”，线段下方标注“？千克”表示总质量。 把这桶油原来的质量看作单位“1”，用去，还剩下（1－），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算”，用还剩下的质量除以它所对应的分率，即可求出这桶油原来的质量。 【解答】 这桶油原来千克数＝剩下的千克数÷（1－用去的分率） 60÷（1－） ＝60÷ ＝60× ＝100（千克） 答：这桶油有100千克。 4．一列高铁从青岛开往北京，已经行了全程的，再行驶45.5千米，就正好行驶了全程的一半。求全程是多少千米。（画线段图分析数量关系，并列方程解答） 【答案】图见详解；819千米 【分析】已经行了全程的，再行驶45.5千米，就正好行驶了全程的一半，全程的一半也就是，全程的－全程的＝45.5，设青岛到北京全程是x千米。则：x－x＝45.5，求出x即可解答本题，据此先画图分析数量关系再列方程解答。 【解答】画线段图分析数量关系，如下图所示： 解：设青岛到北京全程是x千米。 x－x＝45.5 x－x＝45.5 x＝45.5 x÷＝45.5÷ x＝45.5×18 x＝819 答：青岛到北京全程是819千米。 5．某学校2024年一年级新生500人，__________________，2025年新生有多少人？（根据线段图，先将题中的数学信息补充完整，再列方程解答）。 【答案】补充条件见详解；400人 【分析】补充信息：2024年一年级新生比2025年一年级新生多。设2025年新生有x人，2025年一年级新生的人数×（1＋）＝2024年一年级新生500人，列出方程，解出方程，即可求得2025年新生有多少人。 【解答】补充信息：2024年一年级新生比2025年一年级新生多。 解：设2025年新生有x人。 （1＋）x＝500 x＝400 答：2025年新生有400人。 6．某修路队修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第二天比第一天多修了12千米，问这条公路全长多少千米？（先画线段图分析，再解答） 【答案】 ；40千米 【分析】把这条公路的长度看作单位“1”，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第二天比第一天多修了12千米，那第二天比第一天多修了全长的几分之几，用－＝，即多修的12千米对应的分率为，也就是说这条公路总长度的是12千米，那求这条公路全长需要用除法，列式为12÷（－），最后计算出结果即可。 【解答】线段图略。 12÷（－） ＝12÷ ＝12× ＝40（千米） 答：这条公路全长40千米 【点睛】对于此类题目，首先要找到单位“1”，然后找到多修的12千米所对应的分率。最后根据已知比一个数多或少几分之几是多少求这个数用除法来进行解答。 7．一段公路需要施工，第一天完成了总量的，第二天完成了剩下部分的，这时还剩下210米未施工，需要施工的这段公路有多少米？（建议你先画线段图，再解决这个问题） 【答案】线段图见详解；350米 【分析】把这段公路的总长看作单位“1”，第一天完成了总长的，则还剩下总长的（1－）；第二天完成了剩下部分的，根据分数乘法的意义可知，第二天完成了总长的（1－）×；用“1”减去这两天完成的分率，就是剩下的210米占总长的分率，单位“1”未知，用除法计算，用剩下的长度除以对应的分率即可求出这段公路的总长。 【解答】如图： （米） 答：需要施工的这段公路有350米。 8．根据题意先把线段图补充完整，再列式计算。 某市开展小学生英语线上朗读比赛，参加的男生有12000人，女生人数比男生人数多。参加小学生英语线上朗读比赛的女生有多少人？ 【答案】 线段图见详解；人 【分析】由题意可知，把男生人数看作单位“1”，女生人数占，根据分数的意义，把男生人数平均分为6份，女生比男生多，即比男生多了1份，据此把线段图补充完整。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用男生人数乘女生对应的分率，即可得解。 【解答】把线段图补充完整，如下图： （人） 答：参加小学生英语线上朗读比赛的女生有14000人。 9．李阿姨家养了一些白兔和黑兔，一共45只。其中，白兔只数是黑兔只数的。黑兔有多少只？（先画出线段图分析题意，再列方程解答。） 【答案】图见详解；25只 【分析】把黑兔只数看作单位“1”，白兔只数是黑兔只数的，再结合白兔和黑兔的总数量是45只，画出线段图；假设黑兔有x只，则白兔有x只，从线段图可以看出黑兔的数量＋白兔的数量＝45，据此列出方程，解方程即可求出黑兔的数量。 【解答】如图：    解：设黑兔有x只，则白兔有x只。 x＋x＝45 x＋x＝45 x＝45 x＝45÷ x＝45× x＝25 答：黑兔有25只。 【点睛】此题属于典型的和倍问题，解答此类题的关键是利用题目中的数量关系，通过列方程求解。 10．某区要大力发展全域旅游，去年接待了28万名游客，预计今年游客数量比去年增加，今年将接待游客多少万名？（先画出线段图，再列式解答） 【答案】线段图见详解；35万名 【分析】根据题意，把去年接待的游客数量看作单位“1”， 用一条线段表示；预计今年游客数量比去年增加，则把去年的游客数量平均分成4份，今年的游客数量比去年多1份，据此画线段表示今年的游客数量，最后标上已知信息完成线段图。 把去年接待的游客数量看作单位“1”，则今年的游客数量是去年的（1＋），用去年的游客数量乘（1＋）即可求出今年的游客数量。 【解答】 28×（1＋） ＝28× ＝35（万名） 答：今年将接待游客35万名。 【点睛】求比一个数多（或少）几分之几的数是多少，先求出未知数占单位“1”的几分之几，再用乘法计算。 11．2026年5月，国产高端AI芯片“天元”实现技术突破。但由于工艺复杂，生产中还存在一定比例的瑕疵品（次品）。某芯片厂生产了一批“天元”AI芯片，经质量检测，合格芯片的数量是次品的。已知合格芯片比次品多4500个。这批芯片的总产量是多少个？ 【答案】8100个 【分析】把次品的数量看作单位“1”，合格芯片的数量是次品的，则合格芯片比次品多的数量占次品数量的。已知合格芯片比次品多4500个，利用除法求出次品的数量，再根据总产量是次品数量的，用乘法求出这批芯片的总产量。 【解答】 （个） 答：这批芯片的总产量是8100个。 12．大熊猫是我国特有的珍稀动物。截止到2025年3月，全国野生大熊猫约为1900只，数量比20世纪80年代增加。20世纪80年代全国野生大熊猫约有多少只？（用列方程解决问题） 【答案】1100 只 【分析】将20世纪80年代野生大熊猫数量看作单位“1”，已知截止到2025年3月，全国野生大熊猫约为1900只，数量比20世纪80年代增加，2025 年的数量相当于20 世纪80年代数量的，可列方程为：，求解即可。 【解答】解：设20世纪80年代全国野生大熊猫约有只。 答：20世纪80年代全国野生大熊猫约有1100只。 13．首届世界人形机器人运动会在北京盛大举行，“具身天工Ultra”机器人以近22秒的成绩摘得百米短跑桂冠，这一成绩仅比普通成年男性百米跑的平均用时多，普通成年男性百米跑的平均用时是多少秒？（列方程解答） 【答案】15秒 【分析】设普通成年男性百米跑的平均用时为x秒，则机器人用时是普通成年男性的（1＋），根据等量关系“普通成年男性用时×（1＋）＝机器人用时”，列出方程（1＋）x＝22，解方程即可解答。 【解答】解：设普通成年男性百米跑的平均用时为x秒。 （1＋）x＝22 x＝22 x÷＝22÷ x＝22× x＝15 答：普通成年男性百米跑的平均用时是 15 秒。 14．《四物汤》是一个著名的中医药方，被誉为“养血第一方”。它是由当归、熟地黄、川芎、白芍四味中药组成。有一副普通的《四物汤》配方是这样的：当归10克，是熟地黄的，川芎比当归少，当归比白芍多。请写出计算过程，并把这副普通的《四物汤》配方填写在下表中。 《四物汤》配方统计表 成分 当归 熟地黄 川芎 白芍 质量/g 10 熟地黄：    川芎：    白芍： 【答案】表见详解 熟地黄：12克；川芎：8克；白芍：9克 【分析】把熟地黄的质量看作单位“1”，它的对应的是当归的质量10克，求单位“1”，用除法，用10÷，求出熟地黄的质量。 把当归的质量看作单位“1”，川芎质量是当归的（1－），求川芎的质量，单位“1”已知，用乘法，用当归的质量×（1－），即10×（1－），求出川芎的质量。 把白芍的质量看作单位“1”，当归的质量是白芍的（1＋），对应的是当归的质量，求单位“1”，用除法，用当归的质量÷（1＋），即10÷（1＋），求出白芍的质量，完成表格，即可解答。 【解答】熟地黄：10÷ ＝10× ＝12（克） 川芎：10×（1－） ＝10× ＝8（克） 白芍：10÷（1＋） ＝10÷ ＝10× ＝9（克） 表如下： 成分 当归 熟地黄 川芎 白芍 质量/g 10 12 8 9 熟地黄：12克    川芎：8克    白芍：9克 15．实验小学在为灾区捐款活动中，六年级同学共捐款1000元，比五年级同学多捐了，五年级同学捐了多少钱？ 【答案】800元 【分析】把五年级捐款数看作单位“1”，六年级捐款数比五年级多，即六年级捐款数是五年级的1＋＝。依据求单位“1”的量用除法来计算，因此用1000除以即可求出五年级的捐款数。 【解答】1000÷（1＋） ＝1000÷ ＝1000× ＝800（元） 答：五年级同学捐了800元钱。 【点睛】确定单位“1”为五年级捐款数，通过分数除法求出单位“1”的量。 16．修一条60千米长的路，甲队单独修30天完成，乙队单独修20天完成。两队合作，多少天能修完这条路的？ 【答案】8天 【分析】把整条路工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可以求出各自每天的工作效率，用合作工作效率＝甲工作效率＋乙工作效率，求出合作工作效率，再根据“工作时间＝对应工作量÷合作工作效率”，用除以合作效率，求出完工总天数。 【解答】1÷30＝ 1÷20＝ ＝ ＝8（天） 答：8天能修完这条路的。 17．植树队接到一项种树任务。甲队单独种，种完需要15天，乙队单独种，种完需要10天。如果两队合种，几天可以种完？ 【答案】6天 【分析】把工作总量看作单位“1”。已知甲队单独种需要15天，乙队单独种需要10天，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，可以分别表示出甲队和乙队的工作效率。两队合种，工作效率之和为两队效率相加。最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率和”，列式计算即可求出合种需要的天数。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝6（天） 答：6天可以种完。 18．笑笑想在暑假去地铁口卖手工吉祥布偶，现需要妈妈和奶奶制作一批手工吉祥布偶，奶奶单独完成需要12个小时，妈妈单独完成需要15个小时，若妈妈和奶奶两人合作，几小时就可以完成这批手工吉祥布偶的？ 【答案】4小时 【分析】首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，把这批布偶的总数看作单位“1”，分别用1除以两人单独加工需要的时间，求出两人的工作效率各是多少； 然后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用这批布偶的除以两人的工作效率之和，求出两人合作，多长时间完成这批手工吉祥布偶的。 【解答】 （小时 答：4小时就可以完成这批手工吉祥布偶的。 19．为弘扬非遗技艺，某店铺计划赶制100件“招财进宝”黄杨木雕摆件。据测算，李师傅单独完成需要20天，陈师傅单独完成需25天。若两位师傅携手合作，共需要多少天完成？ 【答案】天 【分析】把100件“招财进宝”黄杨木雕摆件看作单位“1”，根据工作效率工作总量工作时间，分别计算出李师傅、陈师傅的工作效率； 若两位师傅携手合作，则每天的工作效率和李师傅的工作效率陈师傅的工作效率，最后根据工作时间工作总量工作效率和，即可求出两位师傅携手合作多少天能完成这批“招财进宝”黄杨木雕摆件。 【解答】根据分析可知， 李师傅的工作效率：（件/天）； 陈师傅的工作效率：（件/天）； 两人合作的工作效率和：（件/天）； 两位师傅携手合作，共需要的天数：（天） 答：若两位师傅携手合作，共需要天完成。 20．新野县上港乡小五村千亩洋葱大丰收。一块试验田，甲队单独挖，需要8小时挖完，乙队单独挖，需要10小时挖完。如果乙队先挖其中的，剩下的由甲乙合作，还需要几小时才能挖完？ 【答案】小时 【分析】把这块试验田看作单位“1”，表示出甲队、乙队的工作效率，如果乙队先挖其中的，则还剩下（），用剩下的工作量除以甲乙两队的工作效率之和即可求出还需要几小时才能挖完。 【解答】 （小时） 答：还需要小时才能挖完。 21．一批机器零件有1800个，甲单独做需8天完成，乙单独做需12天完成。如果两人同时加工，需几天才能加工完成这批零件的？ 【答案】4天 【分析】将总工作量看作单位“1”，因为已知甲、乙单独完成工作的总时长，所以可根据“工作效率1单独完成时间”分别求出甲、乙的工作效率。甲乙合作的工作效率为两人效率之和，根据“工作时间待完成工作量合作总效率”即可求出所需时间。 【解答】工作总量看作单位“1”。 甲工作效率： 乙工作效率： （天） 答：如果两人同时加工，需4天才能加工完成这批零件的。 22．一项工程，甲队单独做20天可以完成它的，乙队单独做9天可以完成它的，甲、乙两队合作多少天可以完成这项工程的一半？ 【答案】30天 【分析】把整个工程的总工作量看作单位“1”，利用公式：工作效率＝工作量÷工作时间，先分别算出甲、乙两队的工作效率，再算甲、乙两队的效率和； 利用公式：工作时间＝工作量÷效率和，计算两队合作完成工程一半的时间。 【解答】 （天） 答：甲、乙两队合作30天可以完成这项工程的一半。 23．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做12天完成，丙单独做15天完成。若先由甲独做5天，然后由乙和丙合做，还需要几天完成？ 【答案】5 天 【分析】把这项工作总量看作单位“1”，由题意，甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，用单位“1”减去甲做5天完成的工作量，用剩下的工作量除以乙、丙合作的工作效率和即可。 【解答】根据分析，列式如下： （天） 答：还需要 5 天完成。 24．一项软件开发项目。小张单独完成需要10天时间，而小王单独完成需要20天时间。小张先独立工作了4天，剩下的部分由小张和小王合作完成。他们还需要多少天才能完成这个项目？ 【答案】4天 【分析】将工作总量看作单位“1”，工作效率＝1÷单独完成需要的天数，首先计算小张先工作4天完成的工作量，进而求出剩余工作量；最后根据“合作时间＝剩余工作总量÷工作效率和”，求出合作所需的天数。 【解答】 （天） 答：他们还需要4天才能完成这个项目。 25．风筝制作工厂接到一份制作1200个传统风筝的订单，甲车间单独做需要15天完成，乙车间单独做需要20天完成。现因生产调度需要，安排乙车间先单独完成，剩下的风筝由甲、乙两个车间共同制作，还需要合作多少天才能完成这份订单？ 【答案】天 【分析】先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”分别求出甲、乙车间的工作效率；再用总工作量减去乙完成的工作量求出剩余工作量；然后把甲、乙的工作效率相加，求出两人的合作效率；最后根据“工作时间＝工作量÷合作效率”求出甲、乙合作还需要的时间。 【解答】1÷15＝ 1÷20＝ （1－）÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（天） 答：还需要合作天才能完成这份订单。 学科网（北京）股份有限公司 $