摘要:
**基本信息**
聚焦小数除法在实际问题中的应用,涵盖行程、经济、工程等多场景题型,通过真实情境培养运算能力与模型意识。
**专项设计**
|模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑|
|----|-----------|----------|----------|
|行程问题|1,3,4,5,6|涉及速度、时间、路程关系,含追及、相遇、相背|基于“速度=路程÷时间”,抽象数量关系解决实际运动问题|
|经济与购物|7,8,14,15,19,23|含单价计算、预算分配、价格比较|通过“总价=单价×数量”模型,运用小数除法解决成本与消费问题|
|工程与归总|10,11,12,13|涉及材料总量、工作效率,含方案优化|围绕“总量=单量×数量”,通过除法实现资源分配与效率比较|
|有余数除法|17,18,20,21,22|需用“进一法”“去尾法”处理结果|结合实际需求,理解小数除法结果的取舍逻辑,发展应用意识|
内容正文:
专题02 小数除法解决问题(解决问题专项训练)
1.如图,从青岛上高速公路途经淄博到天津,全程大约为540千米,其中青岛到淄博大约为260千米。一辆汽车从青岛出发沿这条路开往天津,到淄博时用了3.25小时。按照这个速度,青岛到天津全程需要多少小时?
【答案】6.75小时
【分析】利用行驶速度=路程÷行驶时间,即用260除以3.25求出速度,再利用行驶时间=总路程÷行驶速度,用全程540千米除以速度即可解答此题。
【解答】540÷(260÷3.25)
=540÷80
=6.75(小时)
答:青岛到天津全程需要6.75小时。
2.2025年国庆期间,黄鹤楼景区8天接待游客32万人次,黄鹤楼高51.4米,每层高度约是6.425米,黄鹤楼一共有多少层?
【答案】8层
【分析】题干中“8天接待游客32万人次”是无关干扰信息;
用总高度51.4除以每层高度6.425即可得到黄鹤楼的总层数。
【解答】(层)
答:黄鹤楼一共有8层。
3.甲乙两辆“菜篮子工程车”从同一果蔬种植基地出发,沿着相同路线开往市中心。甲车比乙车先出发0.2小时,甲车平均每小时行87千米,乙车开出5.8小时后追上甲车,乙车平均每小时行多少千米?
【答案】90千米
【分析】“乙车追上甲车”这一时刻,两车行驶的路程是相等的。先根据乙车行驶的时间和甲车先出发的时间,计算出甲车行驶的总时间;然后根据“路程=速度×时间”用甲车的速度和行驶时间,求出从种植基地到追上地点的总路程;最后根据“速度路程时间”,用总路程除以乙车行驶的时间,即可求出乙车平均每小时行的路程。
【解答】(小时)
(千米)
(千米)
答:乙车平均每小时行90千米。
4.甲、乙两辆汽车都从渠县客运站开往重庆汽车南站,在同一条公路上行驶。甲车每时行驶65千米,3时后到达,乙车比甲车晚出发0.5时,它与甲车同时到达。乙车每时行驶多少千米?(列综合式解答)
【答案】78千米/时
【分析】根据题意,甲、乙两车行驶的路程相等。首先根据甲车的速度乘时间求出总路程,然后根据乙车比甲车晚出发0.5时且同时到达,求出乙车的行驶时间,最后利用“速度=路程÷时间”求出乙车的速度。
【解答】65×3÷(3-0.5)
=195÷2.5
=78(千米/时)
答:乙车每时行驶78千米。
5.科技节的“机器人智能挑战”活动中,甲、乙两个机器人从一条长30米的轨道两端同时相向而行。甲机器人每分钟移动1.1米,乙机器人每分钟移动1.4米。经过多少分钟后两个机器人相遇?
【答案】
12分钟
【分析】根据相遇问题的基本数量关系:相遇时间总路程速度和,解题思路是先求出两个机器人的速度之和,再用总路程除以速度和,即可求出相遇所需的时间。
【解答】
(分钟)
答:经过12分钟后两个机器人相遇。
6.甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发,相背而行,1.5小时后相距195千米。甲车的速度是62千米/时,乙车的速度是多少千米/时?
【答案】68千米/时
【分析】根据路程和÷时间=速度和,代入数据求出两车的速度和,再用速度和减去甲车的速度。
【解答】195÷1.5-62
=130-62
=68(千米/时)
答:乙车的速度是68千米/时。
7.水果商店将单价140元/千克的樱桃,搭配单价30元/千克的葡萄,摆成水果拼盘。这些水果拼盘共用了2千克葡萄和0.5千克樱桃,每千克水果拼盘至少要卖多少元才不会亏本?
【答案】52元
【解答】根据总价=单价×数量,计算水果拼盘的总成本,再根据总成本÷总重量=每千克最低售价,解答即可。
【解答】0.5×140+2×30
=70+60
=130(元)
130÷(0.5+2)
=130÷2.5
=52(元)
答:每千克水果拼盘至少要卖52元才不会亏本。
8.张老师用80元钱从文具店购买一些文具,她先花38.4元买了34块橡皮,再用剩下的钱买1.5元一支的铅笔,张老师最多还能买多少支铅笔?
【答案】27支
【分析】分析题目,先利用总钱数减去买橡皮花费的钱数,求出剩余钱数;再根据数量=总价÷单价用剩余的钱数除以铅笔的单价,得到的整数商就是可以买的数量,余数就是剩下的钱数,据此解答。
【解答】80-38.4=41.6(元)
41.6÷1.5=27(支)……1.1(元)
答:张老师最多还能买27支铅笔。
9.六一儿童节,李老师带同学去森林公园。公园门票每人12.5元,购买门票一共花了187.5元。购买返程车票共需67.5元。你能提出数学问题并解答吗?
【答案】每张返程车票多少元?4.5元
【分析】由题意可知,已知公园门票的单价和总价,根据“数量=总价÷单价”求出总人数,题干中已知购买返程车票的总价,可以提出数学问题“返程车票的单价是多少元”,最后根据“单价=总价÷数量”求出每张返程车票的钱数。
【解答】数学问题:每张返程车票多少元?
187.5÷12.5=15(人)
67.5÷15=4.5(元)
答:每张返程车票4.5元。
(答案不唯一)
10.手工课上,李老师教同学们制作风筝。原来制作一个需要2.8元的材料费,改进方法后,每个只需要2.5元的材料费。原来准备做200个风筝的材料费,现在可以做多少个?
【答案】224个
【分析】材料费的总金额不变。先用原来制作一个风筝的材料费乘原来准备做的数量,求出材料费的总金额;然后用总金额除以改进后制作一个风筝需要的材料费,即可求出现在可以做的数量。
【解答】2.8×200=560(元)
560÷2.5=224(个)
答:现在可以做224个。
11.桃源非遗工坊制作木雕桃花挂件,原来一个挂件的材料成本是4.5元。为了让木雕花纹更立体、表面更光滑,工坊改进制作工艺,每个挂件的材料成本增加了0.9元。原来准备做240个挂件的材料,现在能做多少个?
【答案】
200个
【分析】根据“单价×数量=总价”计算出材料的总成本;然后根据“每个挂件的新成本=每个挂件的原来成本+每个挂件增加的成本”计算出改进工艺后每个挂件的新成本;最后根据“总价÷单价=数量”求出现在能制作的挂件数量。
【解答】
(个)
答:现在能做200个。
12.一支铺路队铺一段公路。上午因为压路机坏了只工作2.5小时,铺了154.9米;下午赶工期连续工作了5小时,铺了306.7米。这支铺路队铺路的速度是上午快,还是下午快?
【答案】上午快
【分析】根据速度=路程÷时间,分别计算出上午和下午平均每小时铺路的长度,再通过比较两个数值大小即可判断。
【解答】上午铺路的速度:(米/时)
下午铺路的速度:(米/时)
答:这支铺路队的速度是上午快。
13.南方早稻一般在3月底至4月初播种,7月份收获。用一台收割机收割早稻,4天可以收割23公顷,照这样计算,7月份可以收割多少公顷?138公顷早稻需要多少天才能收完?
【答案】178.25公顷;24天
【分析】每天收割早稻的面积=收割的面积÷收割的天数,即23÷4;求出7月份的总天数,7月份可以收割早稻的面积=每天收割早稻的面积×7月份的总天数;收割138公顷早稻需要的天数=收割的总面积÷每天收割早稻的面积。
【解答】7月份=31天
23÷4=5.75(公顷)
5.75×31=178.25(公顷)
138÷5.75=24(天)
答:7月份可以收割178.25公顷,138公顷早稻需要24天才能收完。
14.学校图书馆计划购买一批新书,原计划买200本,每本18.5元。实际购买时,每本降价3元,用同样的钱可以买多少本?
【答案】238本
【分析】单价×数量=总价,先用18.5乘200计算出总钱数;然后用18.5减去3计算出每本书的现价,总价÷单价=数量,最后用总钱数除以每本书的现价,计算出降价后可以买到的本数,计算出的结果用“去尾法”保留整数部分。
【解答】(元)
(元)
(本)
答:用同样的钱可以买238本。
15.湖北文旅推出消费券,每张面值15.8元,李老师抢到4张,可兑换多少斤广水腌菜(18元/斤)?(保留一位小数)
【答案】3.5斤
【分析】先根据“单张面值×张数=总面值”求出4张消费券的总金额,再根据“数量=总价÷单价”,用总金额除以广水腌菜的单价,最后根据四舍五入法按要求保留一位小数。
【解答】15.8×4=63.2(元)
63.2÷18≈3.5(斤)
答:可兑换3.5斤广水腌菜。
16.农技人员用无人机搭载AI识别麦田杂草,可精准除草、减少农药。无人机在距离麦田125.5米的高度悬停并向地面发射识别信号,信号在空气中的传播速度约为340米/秒。无人机从发出信号到接收到地面反射的回波,大约需要多长时间?(结果保留两位小数)
【答案】0.74秒
【分析】无人机从发出信号到接收到地面反射的回波,信号传播的路程是无人机距离地面高度的2倍,先求出信号传播的总路程,再根据“时间=路程÷速度”求出所需时间,结果保留两位小数时要除到小数点后面第三位,再根据“四舍五入”取近似值。
【解答】125.5×2=251(米)
251÷340≈0.74(秒)
答:大约需要0.74秒。
17.瓷砖不仅花色、样式丰富,可以满足各种装修风格的需求,而且具有耐用性强、易清洁、防霉防潮等优势,深受人们喜爱,李明家庭院的长方形地面长14.2米,宽10.5米,现在要给他家的庭院铺上边长为0.8米的正方形瓷砖,至少需要多少块正方形瓷砖?(不考虑损耗)
【答案】
233块
【分析】计算出长方形庭院地面的面积和单块正方形瓷砖的面积,然后用总面积除以单块瓷砖面积,得到所需瓷砖的数量。由于瓷砖块数必须为整数,且要确保覆盖全部地面,需要采用“进一法”保留整数,据此解答。
【解答】
(块)
答:至少需要233块正方形瓷砖。
18.榨油坊里榨出12.5千克新鲜的香油,为便于存放,需要分装在一些玻璃瓶里,每个瓶子最多装0.4千克,需要装几瓶才能装完?如果选出几瓶做礼盒,现有一捆25米长的丝带,每个礼盒要用1.5米丝带包装,最多可以包装出多少个礼盒?
【答案】32瓶;16个
【分析】第1问,求12.5千克里面有几个0.4千克,用除法计算。结果用进一法保留整数。
第2问,求25米里面有几个1.5米,用除法计算。结果用去尾法保留整数。
【解答】12.5÷0.4≈32(瓶)
25÷1.5≈16(个)
答:需要装32瓶才能装完;最多可以包装出16个礼盒。
19.新年快到了。小明准备送给几个好朋友新年贺卡。他了解到每张贺卡3.2元,于是他带着买11张贺卡的钱来到商店。发现他想买的这种贺卡每张降价了0.6元,请帮小明算一算,他所带的钱现在最多可以买多少张贺卡?
【答案】13张
【分析】分析题目,先根据总价=单价×数量计算出小明带了多少元,再用贺卡的原价减去降低了的价钱即可得到贺卡现在的单价,最后用小明带的钱数除以贺卡现在的单价即可解答,注意:由于最后剩下的钱不够买一张贺卡的,所以结果要根据“去尾法”保留商的整数部分。
【解答】3.2×11÷(3.2-0.6)
=3.2×11÷2.6
=35.2÷2.6
≈13(张)
答:他所带的钱现在最多可以买13张贺卡。
20.时代广场准备给门口大厅地面铺贴上一种新型的正方形瓷砖,边长为1.1米,大厅的面积是126平方米,请你计算一下,完成铺贴工作,至少需要多少块这样的瓷砖?
【答案】105块
【分析】解答这道题需明确:正方形的面积=边长×边长;铺地时砖的块数=地的面积÷砖的面积。题目中已知时代广场准备给门口大厅地面铺贴上一种新型的正方形瓷砖,边长为1.1米,大厅的面积是126平方米,先把正方形瓷砖的面积算出来,再用大厅的面积除以瓷砖的面积,最后结果用“进一法”取整。据此解答。
【解答】根据分析:
求砖的面积:
(平方米)
求砖的块数:
(块)
答:至少需要105块这样的瓷砖。
21.“老吾老,以及人之老。”为发扬中华民族的传统美德,小乐一家打算利用周末的时间去看望敬老院的老人。他们准备了11.8千克的蜂蜜,分装在小瓶中,一个瓶子最多能装500克。他们至少要准备多少个瓶子来装这些蜂蜜?他们还准备了一根15米长的丝带来包装瓶子,每包装一个瓶子需要0.7米长的丝带。这根丝带最多可以包装多少瓶蜂蜜?
【答案】24个;21瓶
【分析】化500克=0.5千克,求至少要准备多少个瓶子来装这些蜂蜜,就是求11.8里面有多少个0.5,再根据“进一法”,用商+1即是所求;求这根丝带最多可以包装多少瓶蜂蜜,就是求15里面有多少个0.7,根据“去尾法”,商即是所求。
【解答】500克=0.5千克
11.8÷0.5=23(个)……0.3(千克)
23+1=24(个)
15÷0.7=21(瓶)……0.3(米)
答:他们至少要准备24个瓶子来装这些蜂蜜,这根丝带最多可以包装21瓶蜂蜜。
22.为更好地落实“阳光体育”倡导的“每天锻炼一小时”,使学生感受到体育的乐趣,学校买来一捆长92米的绳子为同学们做跳绳,先用43.6米做了8根长跳绳,剩下的绳子做短跳绳,每根短跳绳长1.2米,最多还可以做多少根这样的短跳绳?
【答案】
40根
【分析】先用92减去43.6计算出剩下做短跳绳的绳子长度是48.4米;然后用48.4除以1.2,结果用“去尾法”保留整数即可。
【解答】(92-43.6)÷1.2
=48.4÷1.2
≈40(根)
答:最多还可以做40根这样的短跳绳。
23.汉字书法被誉为:无言的诗、无形的舞、无图的画、无声的乐。五(2)班下周的活动课主题是“体会书法的魅力”,小军带了50元去买毛笔和宣纸。他买3支毛笔花了16.5元,宣纸每张3.5元,他最多能买几张宣纸?
【答案】9张
【分析】小军买3支毛笔花了16.5元,用带的50元减去买笔的钱,得到买宣纸的钱,再除以每张宣纸3.5元,得到能够买到的宣纸数量,结果用“去尾法”取整数。
【解答】(50-16.5)÷3.5
=33.5÷3.5
≈9(张)
答:他最多能买9张宣纸。
24.阳光小学五年级开展“节约用纸,保护森林”活动。同学们统计了本年级各班一周的废纸回收量:五(1)班12.5千克;五(2)班比五(1)班多3.8千克;五(3)班是五(2)班的1.2倍;五(4)班未知。
(1)求五(3)班的废纸回收量。
(2)已知五年级4个班回收废纸的总质量是60千克,每千克废纸收购价是0.85元,同学们计划用卖废纸的钱购买树苗,树苗每棵5.6元。最多可以购买多少棵树苗?(得数保留整数)
【答案】
(1)19.56千克
(2)9棵
【分析】(1)先根据“求比一个数多几的数是多少,用加法计算”用12.5加上3.8计算出五(2)班的废纸回收量;再根据“求一个数的几倍是多少,用乘法计算”用五(2)班的废纸回收量乘1.2,即可计算五(3)班的废纸回收量;
(2)先用60乘0.85计算出卖废纸所得的总钱数,再用总钱数除以5.6,因为剩余的钱数不够卖一棵树苗,所以商用“去尾法”取整数即可。
【解答】(1)(12.5+3.8)×1.2
=16.3×1.2
=19.56(千克)
答:五(3)班的废纸回收量是19.56千克。
(2)60×0.85÷5.6
=51÷5.6
≈9(棵)
答:最多可以购买9棵树苗。
25.现行《电动自行车安全技术规范》规定:电动自行车最高车速不得超过25千米/时。乐乐在手机软件上下单一份外卖订单。
(1)外卖员用了7.2分钟到达与他相距2.88千米的取餐点。外卖员的车速符合规定吗?请计算说明。
(2)乐乐在18时40分查看手机信息,显示骑手动态如下图,订单将在18时50分超时。如果骑手全程保持骑行速度不变,这笔订单会超时吗?
【答案】(1)符合;说明见详解
(2)不会超时
【分析】(1)根据1小时=60分钟,单位小变大除以进率,统一单位,再根据速度=路程÷时间,计算出外卖员的车速,与电动自行车规定最高车速比较即可;
(2)根据速度=路程÷时间,先求出骑手每分钟速度,再根据路程÷速度=时间,求出剩余路程需要的分钟数,起点时间+经过时间=终点时间,据此推算出订单送达时间,与18时50分比较即可。
【解答】(1)7.2÷60=0.12(小时)
2.88÷0.12=24(千米/时)
24千米/时<25千米/时
答:外卖员的车速符合规定。
(2)2.88÷7.2=0.4(千米/分钟)
2.4÷0.4=6(分钟)
18时40分+6分=18时46分
18时46分在18时50分之前。
答:这笔订单不会超时。
学科网(北京)股份有限公司
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专题02 小数除法解决问题(解决问题专项训练)
1.如图,从青岛上高速公路途经淄博到天津,全程大约为540千米,其中青岛到淄博大约为260千米。一辆汽车从青岛出发沿这条路开往天津,到淄博时用了3.25小时。按照这个速度,青岛到天津全程需要多少小时?
2.2025年国庆期间,黄鹤楼景区8天接待游客32万人次,黄鹤楼高51.4米,每层高度约是6.425米,黄鹤楼一共有多少层?
3.甲乙两辆“菜篮子工程车”从同一果蔬种植基地出发,沿着相同路线开往市中心。甲车比乙车先出发0.2小时,甲车平均每小时行87千米,乙车开出5.8小时后追上甲车,乙车平均每小时行多少千米?
4.甲、乙两辆汽车都从渠县客运站开往重庆汽车南站,在同一条公路上行驶。甲车每时行驶65千米,3时后到达,乙车比甲车晚出发0.5时,它与甲车同时到达。乙车每时行驶多少千米?(列综合式解答)
5.科技节的“机器人智能挑战”活动中,甲、乙两个机器人从一条长30米的轨道两端同时相向而行。甲机器人每分钟移动1.1米,乙机器人每分钟移动1.4米。经过多少分钟后两个机器人相遇?
6.甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发,相背而行,1.5小时后相距195千米。甲车的速度是62千米/时,乙车的速度是多少千米/时?
7.水果商店将单价140元/千克的樱桃,搭配单价30元/千克的葡萄,摆成水果拼盘。这些水果拼盘共用了2千克葡萄和0.5千克樱桃,每千克水果拼盘至少要卖多少元才不会亏本?
8.张老师用80元钱从文具店购买一些文具,她先花38.4元买了34块橡皮,再用剩下的钱买1.5元一支的铅笔,张老师最多还能买多少支铅笔?
9.六一儿童节,李老师带同学去森林公园。公园门票每人12.5元,购买门票一共花了187.5元。购买返程车票共需67.5元。你能提出数学问题并解答吗?
10.手工课上,李老师教同学们制作风筝。原来制作一个需要2.8元的材料费,改进方法后,每个只需要2.5元的材料费。原来准备做200个风筝的材料费,现在可以做多少个?
11.桃源非遗工坊制作木雕桃花挂件,原来一个挂件的材料成本是4.5元。为了让木雕花纹更立体、表面更光滑,工坊改进制作工艺,每个挂件的材料成本增加了0.9元。原来准备做240个挂件的材料,现在能做多少个?
12.一支铺路队铺一段公路。上午因为压路机坏了只工作2.5小时,铺了154.9米;下午赶工期连续工作了5小时,铺了306.7米。这支铺路队铺路的速度是上午快,还是下午快?
13.南方早稻一般在3月底至4月初播种,7月份收获。用一台收割机收割早稻,4天可以收割23公顷,照这样计算,7月份可以收割多少公顷?138公顷早稻需要多少天才能收完?
14.学校图书馆计划购买一批新书,原计划买200本,每本18.5元。实际购买时,每本降价3元,用同样的钱可以买多少本?
15.湖北文旅推出消费券,每张面值15.8元,李老师抢到4张,可兑换多少斤广水腌菜(18元/斤)?(保留一位小数)
16.农技人员用无人机搭载AI识别麦田杂草,可精准除草、减少农药。无人机在距离麦田125.5米的高度悬停并向地面发射识别信号,信号在空气中的传播速度约为340米/秒。无人机从发出信号到接收到地面反射的回波,大约需要多长时间?(结果保留两位小数)
17.瓷砖不仅花色、样式丰富,可以满足各种装修风格的需求,而且具有耐用性强、易清洁、防霉防潮等优势,深受人们喜爱,李明家庭院的长方形地面长14.2米,宽10.5米,现在要给他家的庭院铺上边长为0.8米的正方形瓷砖,至少需要多少块正方形瓷砖?(不考虑损耗)
18.榨油坊里榨出12.5千克新鲜的香油,为便于存放,需要分装在一些玻璃瓶里,每个瓶子最多装0.4千克,需要装几瓶才能装完?如果选出几瓶做礼盒,现有一捆25米长的丝带,每个礼盒要用1.5米丝带包装,最多可以包装出多少个礼盒?
19.新年快到了。小明准备送给几个好朋友新年贺卡。他了解到每张贺卡3.2元,于是他带着买11张贺卡的钱来到商店。发现他想买的这种贺卡每张降价了0.6元,请帮小明算一算,他所带的钱现在最多可以买多少张贺卡?
20.时代广场准备给门口大厅地面铺贴上一种新型的正方形瓷砖,边长为1.1米,大厅的面积是126平方米,请你计算一下,完成铺贴工作,至少需要多少块这样的瓷砖?
21.“老吾老,以及人之老。”为发扬中华民族的传统美德,小乐一家打算利用周末的时间去看望敬老院的老人。他们准备了11.8千克的蜂蜜,分装在小瓶中,一个瓶子最多能装500克。他们至少要准备多少个瓶子来装这些蜂蜜?他们还准备了一根15米长的丝带来包装瓶子,每包装一个瓶子需要0.7米长的丝带。这根丝带最多可以包装多少瓶蜂蜜?
22.为更好地落实“阳光体育”倡导的“每天锻炼一小时”,使学生感受到体育的乐趣,学校买来一捆长92米的绳子为同学们做跳绳,先用43.6米做了8根长跳绳,剩下的绳子做短跳绳,每根短跳绳长1.2米,最多还可以做多少根这样的短跳绳?
23.汉字书法被誉为:无言的诗、无形的舞、无图的画、无声的乐。五(2)班下周的活动课主题是“体会书法的魅力”,小军带了50元去买毛笔和宣纸。他买3支毛笔花了16.5元,宣纸每张3.5元,他最多能买几张宣纸?
24.阳光小学五年级开展“节约用纸,保护森林”活动。同学们统计了本年级各班一周的废纸回收量:五(1)班12.5千克;五(2)班比五(1)班多3.8千克;五(3)班是五(2)班的1.2倍;五(4)班未知。
(1)求五(3)班的废纸回收量。
(2)已知五年级4个班回收废纸的总质量是60千克,每千克废纸收购价是0.85元,同学们计划用卖废纸的钱购买树苗,树苗每棵5.6元。最多可以购买多少棵树苗?(得数保留整数)
25.现行《电动自行车安全技术规范》规定:电动自行车最高车速不得超过25千米/时。乐乐在手机软件上下单一份外卖订单。
(1)外卖员用了7.2分钟到达与他相距2.88千米的取餐点。外卖员的车速符合规定吗?请计算说明。
(2)乐乐在18时40分查看手机信息,显示骑手动态如下图,订单将在18时50分超时。如果骑手全程保持骑行速度不变,这笔订单会超时吗?
学科网(北京)股份有限公司
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