专题02 《实数》章节 暑假复习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题02 实数 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 平方根与立方根 知识点二 实数的分类 知识点三 比较实数的大小 知识点四 实数的运算 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 求平方根 题型2 已知平方根、求这个数 题型3 利用平方根解方程 题型4 算术平方根的非负性 题型5 求立方根 题型6 与立方根有关的规律探索 题型7 立方根的实际应用 题型8 算术平方根和立方根的综合应用 题型9 无理数 题型10 实数的分类、性质 题型11 实数的运算、大小比较 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 1.平方根与算术平方根：概念辨析、非负性、核心性质与基础求值（正负根区分、取值禁忌） 2.立方根：概念、正负性规律、唯一取值性质，与平方根的核心辨析、化简求值 3.无理数与实数：无理数识别、实数分类、实数与数轴一一对应关系 4.实数核心运算与性质：实数相反数、绝对值求解，实数大小比较、开方与四则混合运算 5.非负数必考模型：算术平方根、平方、绝对值非负性，非负数和为0求值问题 6.无理数估算：无理数整数、小数部分求解，实数近似取值与简单应用 7.拓展压轴考点：实数规律探究、新定义运算、实数与数轴综合探究题型 1.题型分层命题 （1）基础层（选择、填空，8–12 分） 基础层（选择、填空）：考查无理数识别、方根计算、实数分类、大小比较、绝对值化简。高频陷阱：平方根/算术平方根混淆、误判负数平方根、错判带根号数类型。 （2）中档解答（6–8 分，必考） 中档解答（必考）：实数混合运算、非负数和为0求值、无理数整数/小数部分求解。重在计算准确、步骤规范。 （3）拔高压轴（单元/期中期末压轴，8–10 分） 拔高压轴：①实数规律探究；②实数与数轴动点综合；③新定义运算，常结合几何边长、面积综合考查。 2.命题四大固定趋势 （1）知识整合化，多考点融合出题 考点融合：题目多为多考点综合，常将方根化简、非负性、实数运算、估算结合考查。 （2）模型固定化，非负数模型为核心拉分点 模型为王：核心拉分模型为三非负数和为0则全为0；数轴数形结合是高频拔高题型。 （3）弱化机械记忆，强化辨析与运算能力 重辨析运算：不考死记硬背，重点区分有理/无理数、平方根/算术平方根，侧重精准计算与辨析。 （4）重视细节规范，易错点批量扣分 细节扣分严：正负号写错、步骤跳步、根式未化简、小数部分求错是主要扣分点。 考情解码： 1.核心概念：算术平方根非负唯一；平方根正负成对；立方根同号唯一；负数无平方根、有立方根。 2.非负数万能结论：平方、绝对值、算术平方根相加为0，每项均为0，直接列方程求解。 3.运算规则：先开方、乘方，再乘除、最后加减，结果必须化为最简根式。 4.关键辨析：无限不循环小数为无理数；实数与数轴一一对应；小数部分=原数−整数部分。 5.大小比较：正数>0>负数；正数比被开方数，负数比绝对值，无理数可估算比较。 知识点一 平方根和立方根 1. 算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0； 2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 【小结】即在式子中，a≥0且≥0. 两个重要等式：1），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 2. 平方根 定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 3. 立方根 定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即. 4. 常见实数的平方与立方： 常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 知识点二 实数的分类 1. 正数与负数 正数：大于0的数叫做正数，如：0.5，，+2等. 负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5，，-2，-（+1）等. 2.有理数及分类 有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0） 【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数. 例：0.53（分数形式：），1.333333…（分数形式：），，整数3（分数形式：）等. 有理数分类： 3. 无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数. 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 4. 实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 知识点三 比较实数的大小 1）实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； 3）作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b. 4）作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b 5）倒数比较法： 6）平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b. a、b为负数，若a2>b2，则a<b. 【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小. 7）特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236 实数比较大小的常用方法 1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； 3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较； 4）估算法：常见≈1.414，≈1.732，≈2.236； 5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小. 非负性的应用 二次根式是初中阶段常见的三种非负数之一，这三种非负数分别是: 1）一个实数的绝对值，即|a|； 2）一个实数的偶次方(主要是二次方)，即等； 3）一个实数的算术平方根(即二次根式)，即. 知识点四 实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 6.运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 实数计算的易错点： 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 在计算中常用的锐角三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号 题型1 求平方根 【例1-1】的平方根是（     ） A． B． C． D． 【例1-2】下列命题中，是真命题的是（     ） A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B．的平方根是 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．的算术平方根是 找准平方等于已知数的两个互为相反数的数；正数有两个平方根，0 只有一个平方根，负数没有平方根。 【变式训练1-1】已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【变式训练1-2】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】若，则的平方根为（    ） A．±2 B．4 C．2 D．±4 题型2 已知平方根、求这个数 【例2-1】若一个正数的两个不相等的平方根分别是和＋，则这个正数是(    ) A．4 B．8 C．16 D．64 【例2-2】若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 将给出的平方根进行平方运算即可求出原数；注意一个正数的两个平方根互为相反数，可利用该性质列方程求值 【变式训练2-1】若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 【变式训练2-2】若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【变式训练2-3】已知：，，且，则的值为（　　） A．或 B． C． D．或 题型3 利用平方根解方程 【例3-1】下列命题：①两直线平行，同旁内角互补；②如果，那么；③经过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3-2】两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 先把含未知数的平方项单独放在等式一侧，再两边同时开平方，开方后务必添加正负号，得到两个一元一次方程分别求解。 【变式训练3-1】如果，那么的值是（   ） A．2或8 B．或8 C．或8 D．或2 【变式训练3-2】已知，，且，则的值为（   ） A．8或 B．或 C． D．8 【变式训练3-3】以下是嘉琪所做的道填空题，每道分，则嘉琪实际得分为（   ）   、（精确到千位）． 、的算术平方根是（）． 、已知，求． 、，则的值是（）． A． B． C． D． 题型4 算术平方根的非负性 【例4-1】若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例4-2】若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 算术平方根a​⩾0且被开方数a⩾0；若几个非负数相加等于 0，则每一项均为 0，据此列方程求解。 【变式训练4-1】关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 【变式训练4-2】已知是实数，且与互为相反数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【变式训练4-3】若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 题型5 求立方根 【例5-1】下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例5-2】下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 寻找立方后等于已知数的数；正数立方根为正，负数立方根为负，0 的立方根是 0，立方根仅有一个，不用区分正负。 【变式训练5-1】已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【变式训练5-2】已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【变式训练5-3】已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 题型6 与立方根有关的规律探索 【例6-1】如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【例6-2】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 观察被开方数小数点移动位数，立方根小数点同向移动对应31​位数；归纳规律后代入数值验证，避免符号出错。 【变式训练6-1】【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 【变式训练6-2】已知，则_______________． 【变式训练6-3】（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 题型7 立方根的实际应用 【例7-1】已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【例7-2】对于体积为a，底面积为b的正方体，下列说法正确的是（   ） A．它的棱长是a的立方根 B．它的棱长是b的平方根 C．它的棱长是b的立方根 D．它的棱长是a的算术平方根 先根据题意建立立方关系式，列出方程求出立方根；结合实际场景取舍结果，长度等取值一般取正数。 【变式训练7-1】已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【变式训练7-2】．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 【变式训练7-3】如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 题型8 算术平方根和立方根的综合应用 【例8-1】已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【例8-2】一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 分清算术平方根非负、仅有一个；立方根符号与被开方数一致，灵活利用非负性与开方定义列式，注意区分平方根与算术平方根。 【变式训练8-1】已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【变式训练8-2】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【变式训练8-3】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 题型9 无理数 【例9-1】，3.14，，，0.454455444555…（4和5的个数依次增加1），，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例9-2】如图，在数轴上表示的点可能是点（     ） A． B． C． D． 区分无理数关键：无限且不循环小数；常见类型有开方开不尽的数、含 π 的数、构造型无限不循环小数。 【变式训练9-1】实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若，且b是无理数，则b的值可以是（     ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 【变式训练9-3】对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型10 实数的分类、性质 【例10-1】有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例10-2】下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③无限小数都是无理数；④两个无理数的和仍是无理数．其中正确的是（     ） A．① B．②③ C．①②③ D．①③④ 实数分为有理数和无理数；实数和数轴上点一一对应，相反数、绝对值、倒数性质与有理数一致。 【变式训练10-1】已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【变式训练10-2】若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练10-3】   如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 题型11 实数的运算、大小比较 【例11-1】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【例11-2】化简结果为（     ） A． B． C． D．1 实数运算遵循有理数运算法则，先化简根式再计算；比较大小可平方法、作差法、估算法，负数比较留意符号。 【变式训练11-1】计算：． 【变式训练11-2】计算： (1) (2)； 【变式训练11-3】计算： 【变式训练11-4】计算：． 【变式训练11-5】计算：． 【变式训练11-6】计算：． 【变式训练11-7】计算 (1)； (2)． 【变式训练11-8】计算： (1)； (2)． 1．如图1，小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2所示的一个大正方形，则空白部分小正方形的边长的值是（     ） A． B． C． D． 2．亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（    ）米 x 25.79 25.80 25.81 25.82 25.83 x² 665.1241 665.6400 666.1561 666.6724 667.1889 A． B． C． D． 3．已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 4．有下列说法： ①平方根是它本身的数有，； ②算术平方根是它本身的数有，； ③立方根是它本身的数有，，； ④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 5．下列各式中，正确的个数是（     ） ①；②；③；④的算术平方根是． A．个 B．个 C．个 D．个 6．计算8的立方根与的平方根之和是（     ） A． B． C．或 D．或 7．下列各数中，属于无理数的是（     ） A． B． C．0.6 D．3 8．下列命题中，真命题是（     ） A．是无理数 B．介于3到4之间 C．的平方根是 D．平方根是它本身的数是0和1 9．边长是的正方形面积是6，如图，表示的点在数轴上位于哪两个字母之间（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．下列说法正确的是（     ） A．所有的实数都可以用数轴上的点来表示 B．无限小数都是无理数 C．的绝对值是 D．的平方根是 11．有下列命题：①相等的角都是对顶角；②若一个数的相反数是，则这个数是；③若，则；④同旁内角相等，两直线平行；其中是真命题的有__________（填序号）． 12．若a为正整数，且满足，则______． 13．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 14．若一个正数的两个不同平方根是和，则的立方根为________． 15．可以用一个的值说明命题“正数的算术平方根一定大于它的立方根”是假命题，这个值可以是__________ 16．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 17．阅读下列材料，并完成相应的任务． 坐标系中两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点的距离．例如：若点，，则． 任务： (1)若点，，则A，B两点间的距离为 ． (2)若点，，则A，B两点间的距离为 ． (3)若点，点B在y轴上，且A，B两点间的距离是5，求点B的坐标． 18．【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 19．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 20．已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 21．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 22．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 23．根据题意解答下列问题 阅读与理解 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） (1)任务1：问题解决，方法迁移，已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是____________位数； ②它的立方根的十位上的数是____________； (2)任务2：解决问题，已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 24．计算： (1)； (2)． 25．如图，将面积分别为10和5的正方形的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为________________；点表示的数为________________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： 的整数部分为2，小数部分为 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为________，小数部分为________________． (3)已知是整数，，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 平方根与立方根 知识点二 实数的分类 知识点三 比较实数的大小 知识点四 实数的运算 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 求平方根 题型2 已知平方根、求这个数 题型3 利用平方根解方程 题型4 算术平方根的非负性 题型5 求立方根 题型6 与立方根有关的规律探索 题型7 立方根的实际应用 题型8 算术平方根和立方根的综合应用 题型9 无理数 题型10 实数的分类、性质 题型11 实数的运算、大小比较 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 1.平方根与算术平方根：概念辨析、非负性、核心性质与基础求值（正负根区分、取值禁忌） 2.立方根：概念、正负性规律、唯一取值性质，与平方根的核心辨析、化简求值 3.无理数与实数：无理数识别、实数分类、实数与数轴一一对应关系 4.实数核心运算与性质：实数相反数、绝对值求解，实数大小比较、开方与四则混合运算 5.非负数必考模型：算术平方根、平方、绝对值非负性，非负数和为0求值问题 6.无理数估算：无理数整数、小数部分求解，实数近似取值与简单应用 7.拓展压轴考点：实数规律探究、新定义运算、实数与数轴综合探究题型 1.题型分层命题 （1）基础层（选择、填空，8–12 分） 基础层（选择、填空）：考查无理数识别、方根计算、实数分类、大小比较、绝对值化简。高频陷阱：平方根/算术平方根混淆、误判负数平方根、错判带根号数类型。 （2）中档解答（6–8 分，必考） 中档解答（必考）：实数混合运算、非负数和为0求值、无理数整数/小数部分求解。重在计算准确、步骤规范。 （3）拔高压轴（单元/期中期末压轴，8–10 分） 拔高压轴：①实数规律探究；②实数与数轴动点综合；③新定义运算，常结合几何边长、面积综合考查。 2.命题四大固定趋势 （1）知识整合化，多考点融合出题 考点融合：题目多为多考点综合，常将方根化简、非负性、实数运算、估算结合考查。 （2）模型固定化，非负数模型为核心拉分点 模型为王：核心拉分模型为三非负数和为0则全为0；数轴数形结合是高频拔高题型。 （3）弱化机械记忆，强化辨析与运算能力 重辨析运算：不考死记硬背，重点区分有理/无理数、平方根/算术平方根，侧重精准计算与辨析。 （4）重视细节规范，易错点批量扣分 细节扣分严：正负号写错、步骤跳步、根式未化简、小数部分求错是主要扣分点。 考情解码： 1.核心概念：算术平方根非负唯一；平方根正负成对；立方根同号唯一；负数无平方根、有立方根。 2.非负数万能结论：平方、绝对值、算术平方根相加为0，每项均为0，直接列方程求解。 3.运算规则：先开方、乘方，再乘除、最后加减，结果必须化为最简根式。 4.关键辨析：无限不循环小数为无理数；实数与数轴一一对应；小数部分=原数−整数部分。 5.大小比较：正数>0>负数；正数比被开方数，负数比绝对值，无理数可估算比较。 知识点一 平方根和立方根 1. 算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0； 2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 【小结】即在式子中，a≥0且≥0. 两个重要等式：1），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 2. 平方根 定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 3. 立方根 定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即. 4. 常见实数的平方与立方： 常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 知识点二 实数的分类 1. 正数与负数 正数：大于0的数叫做正数，如：0.5，，+2等. 负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5，，-2，-（+1）等. 2.有理数及分类 有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0） 【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数. 例：0.53（分数形式：），1.333333…（分数形式：），，整数3（分数形式：）等. 有理数分类： 3. 无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数. 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 4. 实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 知识点三 比较实数的大小 1）实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； 3）作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b. 4）作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b 5）倒数比较法： 6）平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b. a、b为负数，若a2>b2，则a<b. 【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小. 7）特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236 实数比较大小的常用方法 1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； 3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较； 4）估算法：常见≈1.414，≈1.732，≈2.236； 5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小. 非负性的应用 二次根式是初中阶段常见的三种非负数之一，这三种非负数分别是: 1）一个实数的绝对值，即|a|； 2）一个实数的偶次方(主要是二次方)，即等； 3）一个实数的算术平方根(即二次根式)，即. 知识点四 实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 6.运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 实数计算的易错点： 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 在计算中常用的锐角三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号 题型1 求平方根 【例1-1】的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的结果，再根据平方根的定义求出结果的平方根即可，需注意区分原式结果和原式结果的平方根两个概念． 【详解】解：， ， ， 又， 的平方根是， 即的平方根是． 【例1-2】下列命题中，是真命题的是（     ） A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B．的平方根是 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．的算术平方根是 【答案】A 【分析】根据平行公理，平方根，算术平方根，垂直的定义，逐个判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：选项A：根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原命题是真命题，符合题意； 选项B：，的平方根是，不是，原命题是假命题，不符合题意； 选项C：只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题没有限定在同一平面内，故原命题是假命题，不符合题意； 选项D：，的算术平方根是，不是，原命题是假命题，不符合题意． 找准平方等于已知数的两个互为相反数的数；正数有两个平方根，0 只有一个平方根，负数没有平方根。 【变式训练1-1】已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 【变式训练1-2】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 【变式训练1-3】若，则的平方根为（    ） A．±2 B．4 C．2 D．±4 【答案】D 【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可； 【详解】∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键． 题型2 已知平方根、求这个数 【例2-1】若一个正数的两个不相等的平方根分别是和＋，则这个正数是(    ) A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】A 【分析】利用“正数的两个平方根互为相反数”的性质列方程求解，再计算得到这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不相等的平方根互为相反数， ∴ ， 整理得， 解得， 将代入其中一个平方根，得， ∵， ∴这个正数是． 【例2-2】若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】B 【分析】根据题意列方程求解即可； 【详解】解：∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得：． 将给出的平方根进行平方运算即可求出原数；注意一个正数的两个平方根互为相反数，可利用该性质列方程求值 【变式训练2-1】若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先求出参数的值，再计算出，最后求出的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴， ∴， ∵的算术平方根即的算术平方根， ∴的算术平方根为． ∴结果为． 【变式训练2-2】若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】C 【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式，得，再求出这个正数，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数是． 【变式训练2-3】已知：，，且，则的值为（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值和二次根式，根据绝对值的性质和二次根式的性质可得：，，又因为，根据非负数的绝对值等于它本身，可知或，根据、的值求代数式的值即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 或， 当时，，则； 当时，，则． 故选：D． 题型3 利用平方根解方程 【例3-1】下列命题：①两直线平行，同旁内角互补；②如果，那么；③经过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，平方根的定义，平行公理，垂线的性质，逐一判断每个命题的真假，统计真命题个数即可得到答案． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题是真命题； ②如果，那么，原命题是假命题； ③经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，原命题是假命题； ④在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题； ∴真命题有①④，共2个． 【例3-2】两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了图形面积，平方根的运用，理解图示，正确表示出图形面积，平方根的计算是关键，根据题意设,，由此列式得到，根据周长的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴设,， ∴， 整理得，， 解得，或（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：C ． 先把含未知数的平方项单独放在等式一侧，再两边同时开平方，开方后务必添加正负号，得到两个一元一次方程分别求解。 【变式训练3-1】如果，那么的值是（   ） A．2或8 B．或8 C．或8 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，求代数式的值，由题意得出，或，，再分情况分别计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 故选：C． 【变式训练3-2】已知，，且，则的值为（   ） A．8或 B．或 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查开平方和绝对值，熟练掌握开平方和绝对值的运算是解题的关键，由得，由得，结合条件，只有,时满足，从而求得答案． 【详解】解：∵， ∴或； ∵， ∴或； 又 ∵， ∴当，时，； 当，时，； 故选：C． 【变式训练3-3】以下是嘉琪所做的道填空题，每道分，则嘉琪实际得分为（   ）   、（精确到千位）． 、的算术平方根是（）． 、已知，求． 、，则的值是（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，算术平方根和平方根，根据近似数、算术平方根和平方根的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解： 、精确到千位，百位数字为，故舍去，得，即，答案正确； 、，的算术平方根为，答案错误； 、由，得，，即得，，故，答案正确； 、由，得，即得或，答案错误； ∴嘉琪答对题，得分为分， 故选：． 题型4 算术平方根的非负性 【例4-1】若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，则， 代入，得， ． 【例4-2】若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】 ，，且， ，， 解得： ，， ． 算术平方根a​⩾0且被开方数a⩾0；若几个非负数相加等于 0，则每一项均为 0，据此列方程求解。 【变式训练4-1】关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性，分析代数式的取值变化，判断其最值对应的值即可． 【详解】解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 【变式训练4-2】已知是实数，且与互为相反数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】平方数与算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，由此求出和的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ， ∴. 【变式训练4-3】若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ． 题型5 求立方根 【例5-1】下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根与算术平方根的计算，根据立方根和算术平方根的定义，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项：， ，计算正确； 选项：表示的算术平方根，结果为非负数， ， ，计算错误； 选项：先计算被开方数得， ，计算错误； 选项：， ，，计算错误； 综上，选． 【例5-2】下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义去计算，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、，，错误． B、，错误． C、，，，正确． D、，，错误． 寻找立方后等于已知数的数；正数立方根为正，负数立方根为负，0 的立方根是 0，立方根仅有一个，不用区分正负。 【变式训练5-1】已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴． 【变式训练5-2】已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵实数的立方根是， ∴， ∴． 【变式训练5-3】已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 【答案】C 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，从而求出x的值，根据立方根的定义求出y的值，进而可求的值． 【详解】∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵y的立方根是2， ∴， ∴． 故选：C． 题型6 与立方根有关的规律探索 【例6-1】如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【例6-2】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 观察被开方数小数点移动位数，立方根小数点同向移动对应31​位数；归纳规律后代入数值验证，避免符号出错。 【变式训练6-1】【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 【答案】14 【分析】根据“立方”对应的展开式求解的展开式，对应求解的值，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，令，， 则， 故，， 则． 【变式训练6-2】已知，则_______________． 【答案】 【分析】根据立方根的性质，被开方数的小数点每向左（向右）移动3个数位，立方根向左（向右）移动1个数位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． 【变式训练6-3】（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 【答案】 0.2646 300 【详解】解：（1）∵，则； （2）已知 则 ． 题型7 立方根的实际应用 【例7-1】已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 【例7-2】对于体积为a，底面积为b的正方体，下列说法正确的是（   ） A．它的棱长是a的立方根 B．它的棱长是b的平方根 C．它的棱长是b的立方根 D．它的棱长是a的算术平方根 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为（，棱长为正数），根据正方体的体积和底面积得出，，即可解答； 【详解】解：设正方体的棱长为（，棱长为正数）， 根据正方体体积公式：，因此，即棱长是的立方根，A正确，D错误； 根据正方体底面积公式：，因此，即棱长是的算术平方根，B选项说“的平方根”（平方根含正负，不符合棱长为正）、C选项说“的立方根”，均错误． 先根据题意建立立方关系式，列出方程求出立方根；结合实际场景取舍结果，长度等取值一般取正数。 【变式训练7-1】已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【详解】解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 【变式训练7-2】．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． 仿照例题，进行推理得结论，通过比较立方数的大小范围确定立方根是两位数，再根据个位数字对应关系确定个位数字，最后通过估算十位数字的立方值确定十位数字． 【详解】解：且， 是两位数， ∵681472的个位数字是2，且（个位为2）， 的个位数字是8， 且， 的十位数字是8， ． 【变式训练7-3】如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 题型8 算术平方根和立方根的综合应用 【例8-1】已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【例8-2】一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 分清算术平方根非负、仅有一个；立方根符号与被开方数一致，灵活利用非负性与开方定义列式，注意区分平方根与算术平方根。 【变式训练8-1】已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 【变式训练8-2】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：、根据平方根的定义可知的平方根是，该选项不符合题意； B、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； C、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； D、根据算术平方根的定义可知的算术平方根是，该选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型． 【变式训练8-3】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 题型9 无理数 【例9-1】，3.14，，，0.454455444555…（4和5的个数依次增加1），，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐个化简判断各数，统计无理数的个数即可． 【详解】解：是分数，3.14是有限小数，是分数，是分数，以上都属于有理数； 中是无限不循环小数，故是无理数； （4和5的个数依次增加1）是无限不循环小数，故是无理数； 是开方开不尽的数，故是无理数； ∴无理数共3个． 【例9-2】如图，在数轴上表示的点可能是点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴在数轴上表示的点可能是点． 区分无理数关键：无限且不循环小数；常见类型有开方开不尽的数、含 π 的数、构造型无限不循环小数。 【变式训练9-1】实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若，且b是无理数，则b的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得出，进而推出，再结合选项分析即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∵， ∴， A、，若，则，不符合题意； B、，若，则，不符合题意； C、，若，则，符合题意； D、，若，则，不符合题意． 【变式训练9-2】已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】利用夹逼法求得与的大小范围即可解答． 【详解】解：， ，即， ，即， ， ，即， ，即， ． 【变式训练9-3】对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据根整数的定义，结合无理数的估算逐一判断三个说法即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴根据定义得， ∴平方得， ∵是整数， ∴的取值为，共个，故②正确； 由题意，只需进行次运算得，即第二次运算结果满足对运算一次得，且第一次不能直接得到， ∵， ∴，即， 若，则，只需次运算，不符合要求，因此可取； 最小满足，得，最小正整数； 最大满足，得，最大正整数； ∴最大值与最小值的和为，故③正确； 综上，三个说法都正确． 题型10 实数的分类、性质 【例10-1】有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 【例10-2】下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③无限小数都是无理数；④两个无理数的和仍是无理数．其中正确的是（     ） A．① B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查实数相关概念，根据实数与数轴的对应关系，有理数、无理数的定义与性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解： ① 实数和数轴上的点一一对应，符合实数的性质，故①正确； ② 不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但属于无理数，故②错误； ③ 无限小数不都是无理数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数是无理数，故③错误； ④ 两个无理数的和不一定是无理数，例如，和为有理数，故④错误； 综上只有①正确． 实数分为有理数和无理数；实数和数轴上点一一对应，相反数、绝对值、倒数性质与有理数一致。 【变式训练10-1】已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 【详解】解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 【变式训练10-2】若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，整式的加减． 根据题意得出，因此题干条件可化为，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 即， 故选：B． 【变式训练10-3】   如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 题型11 实数的运算、大小比较 【例11-1】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，逐一判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，，故此选项错误； B、由数轴可知，，∴，故此选项正确； C、由数轴可知，，∴，，，故此选项错误； D、由数轴可知，，∴，，∴，故此选项错误． 【例11-2】化简结果为（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式 ． 实数运算遵循有理数运算法则，先化简根式再计算；比较大小可平方法、作差法、估算法，负数比较留意符号。 【变式训练11-1】计算：． 【答案】 【详解】 ． 【变式训练11-2】计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式训练11-3】计算： 【答案】 【详解】解：原式. 【变式训练11-4】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式训练11-5】计算：． 【答案】 【分析】先根据立方根、算术平方根、绝对值的性质计算，再计算有理数的加减法即可． 【详解】解：， ， ． 【变式训练11-6】计算：． 【答案】 【详解】解： 【变式训练11-7】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练11-8】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 1．如图1，小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2所示的一个大正方形，则空白部分小正方形的边长的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，空白部分小正方形的面积为大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，大正方形的边长为长方形的长和宽的和， ∴， ∵， ∴. 2．亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（    ）米 x 25.79 25.80 25.81 25.82 25.83 x² 665.1241 665.6400 666.1561 666.6724 667.1889 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：面积为1亩的正方形面积约为平方米， 设正方形边长为，则正方形面积为， 由表格可知：当时，， 当时，， ∵， ∴， 即边长范围是． 3．已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 4．有下列说法： ①平方根是它本身的数有，； ②算术平方根是它本身的数有，； ③立方根是它本身的数有，，； ④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的基本概念逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：① 平方根是本身的数：∵ 的平方根是 ，不等于它本身，只有 的平方根是它本身，∴①错误； ② 算术平方根是本身的数：∵ 的算术平方根是 ， 的算术平方根是 ，∴算术平方根是本身的数是 和 ，∴②正确； ③ 立方根是本身的数：∵ ，，，∴立方根是本身的数有 ，，，③正确； ④ 若一个数的负的平方根等于它的立方根：∵负数没有平方根， 不存在平方根，只有 满足条件，∴④错误． 综上，正确的说法是②③． 5．下列各式中，正确的个数是（     ） ①；②；③；④的算术平方根是． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据算术平方根及立方根的定义逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①错误， ∵， ∴，故②错误， ，故③错误， 的算术平方根是，故④正确， 综上所述：正确的个数为1个． 6．计算8的立方根与的平方根之和是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题需先分别求出8的立方根和的平方根，再分情况计算二者的和，即可得到结果，解题关键是注意的平方根是9的平方根，不是81的平方根. 【详解】解：∵， ∴8的立方根为， 又∵，且， ∴的平方根为， 当的平方根取时，； 当的平方根取时，， 因此和为或． 7．下列各数中，属于无理数的是（     ） A． B． C．0.6 D．3 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数为无理数，判断各选项即可得到答案． 【详解】A选项是分数，属于有理数； B选项是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数； C选项是有限小数，可化为分数，属于有理数； D选项是整数，属于有理数． 8．下列命题中，真命题是（     ） A．是无理数 B．介于3到4之间 C．的平方根是 D．平方根是它本身的数是0和1 【答案】C 【分析】根据立方根、无理数、平方根估算、平方根的概念，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，2是有理数，故本选项的命题是假命题； B、由得，即介于4到5之间，故本选项的命题是假命题； C、，4的平方根是，则的平方根是，故本选项的命题是真命题； D、1的平方根是，不是1本身，只有0的平方根是它本身，故本选项的命题是假命题． 9．边长是的正方形面积是6，如图，表示的点在数轴上位于哪两个字母之间（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出边长 ，再利用夹逼法估算 的取值范围，最后结合数轴确定点的位置． 【详解】解：∵正方形的面积是6， ∴正方形的边长 ， ∵，，且 ， ∴， 又∵，且 ， ∴， ∴， 由数轴可知，点 表示2，点 表示2.5， ∴表示 的点在数轴上位于 与 之间． 10．下列说法正确的是（     ） A．所有的实数都可以用数轴上的点来表示 B．无限小数都是无理数 C．的绝对值是 D．的平方根是 【答案】A 【分析】根据实数与数轴的对应关系，无理数定义，绝对值计算，平方根与算术平方根的概念，对选项逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A，根据实数与数轴的对应关系，所有的实数都可以用数轴上的点来表示，该说法正确，符合题意； 对于选项B，无限不循环小数才是无理数，无限循环小数是有理数，原说法错误，不符合题意； 对于选项C，，，，原说法错误，不符合题意； 对于选项D，，9的平方根是，的平方根是，原说法错误，不符合题意； 11．有下列命题：①相等的角都是对顶角；②若一个数的相反数是，则这个数是；③若，则；④同旁内角相等，两直线平行；其中是真命题的有__________（填序号）． 【答案】 ② 【分析】根据对顶角，相反数，平方根，平行线的判定逐个判断每个命题的真假即可得到结果． 【详解】解：① 相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行形成的同位角相等，但不是对顶角，因此①是假命题． ② 根据相反数的定义，若一个数的相反数是，则这个数是，因此②是真命题． ③ 若，则，因此③是假命题． ④ 根据平行线的判定定理，同旁内角互补，两直线平行，因此④是假命题． 综上，真命题为②． 12．若a为正整数，且满足，则______． 【答案】 【分析】先估算出的范围，确定介于哪两个连续正整数之间，再结合已知不等式即可求出的值． 【详解】解：，，且， ，即， ，且为正整数， ． 13．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 【答案】/ 【分析】先求出与的值，再求出点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∵点表示的数为1， 又∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 14．若一个正数的两个不同平方根是和，则的立方根为________． 【答案】 【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数的性质，列方程求出的值，再计算的立方根即可. 【详解】解： 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ， 去括号，合并同类项得 ， 解得， ， 的立方根为. 15．可以用一个的值说明命题“正数的算术平方根一定大于它的立方根”是假命题，这个值可以是__________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件但不满足命题结论的反例即可，即找到一个正数，使它的算术平方根不大于它的立方根． 【详解】解：当时，的算术平方根为，的立方根为，此时的算术平方根等于它的立方根，不满足原命题的结论，因此可以说明原命题是假命题．故这个值可以是． 16．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【答案】 【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 17．阅读下列材料，并完成相应的任务． 坐标系中两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点的距离．例如：若点，，则． 任务： (1)若点，，则A，B两点间的距离为 ． (2)若点，，则A，B两点间的距离为 ． (3)若点，点B在y轴上，且A，B两点间的距离是5，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵点，， ∴A，B两点间的距离为； （2）解：∵点，， ∴A，B两点间的距离为； （3）解：由题意可设， ∵，A，B两点间的距离是5， ∴， 两边同时平方得：， ∴， ∴点B的坐标为或． 18．【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【答案】(1) ； (2) 当，时， (3) ； 【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可； （2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可； （3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可． 【详解】（1）解：根据规律可知；； （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，； （3）解：；． 19．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a，b值分别为3，4 (2)的算术平方根为2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，求出，再根据立方根的定义得求出b； （2）根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得； ∵的立方根是2， ∴， 解得， 答：a，b值分别为3，4； （2）解：∵， ∴， 答：的算术平方根为2． 20．已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】（1）根据平方根的性质得，即可求出a的值，从而求出x的值； （2）先根据算术平方根、立方根的定义求出b、c的值，再计算，最后根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 则， 所以； （2）解：由（1）知，， 所以，， 因为16的算术平方根是4，27的立方根是3，b为的算术平方根，c为的立方根， 所以，， 所以， 因为1的立方根是1， 所以的立方根为1． 21．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 【答案】(1)3； (2)1； (3)19 【分析】（1）根据阅读材料解答即可； （2）根据阅读材料分别求得a和b的值，然后代入计算即可； （3）根据，可知，结合题意可求得x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的整数部分是3； （2）解：，，， ， 的小数部分是，即， ，，， ， 的整数部分是2，即， ； （3）解：由（2）得，， ∴， ∵，其中x是一个正整数，， ， ∴． 22．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后利用无理数的估算求得c的值即可； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， 解得：； ， ， 是的整数部分， ； （2），，， ， 的平方根为． 23．根据题意解答下列问题 阅读与理解 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） (1)任务1：问题解决，方法迁移，已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是____________位数； ②它的立方根的十位上的数是____________； (2)任务2：解决问题，已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 【答案】(1)①两；②5 (2) 【分析】（1）①参照第一步求出，由此即可得； ②参照第三步求出，由此即可得； （2）参照素材中的三个步骤：第一步确定它的立方根是两位数，第二步确定它的立方根的个位上的数，第三步确定它的立方根的十位上的数，由此即可得． 【详解】（1）解：①，，， ． ∴能确定195112的立方根是两位数． ②∵如果划去195112后面的三位112得到数195，且，即， ∴， ∴它的立方根的十位上的数是5． （2）解：第一步：，，， ， ∴能确定的立方根是个两位数． 第二步：∵110592的个位上的数是2，且， ∴能确定的立方根的个位上的数是8． 第三步：∵如果划去110592后面的三位592得到数110，且，即， ∴， ∴能确定的立方根的十位上的数是4， ∴的立方根是48． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．如图，将面积分别为10和5的正方形的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为________________；点表示的数为________________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： 的整数部分为2，小数部分为 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为________，小数部分为________________． (3)已知是整数，，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3) 【分析】（1）理解题意，且结合数轴，得点A表示的数为，点B表示的数为，即可作答． （2）模仿题干过程，得，即点所表示数的整数部分为2，小数部分； （3）先得，因为是整数，，故，，再分别代入进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，面积为10的正方形的边长是，面积为5的正方形的边长是， 观察数轴，点A在原点的左边， 依题意，得点A表示的数为， 观察数轴，点B在原点的右边， 依题意，得点B表示的数为， （2）解：由（1）得点B表示的数为， ∵ ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 即点所表示数的整数部分为2，小数部分为． （3）解：∵， ∴， ∵是整数，，且， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $