9.1用坐标描述平面内点的位置(知识精讲+典题精练)-2024-2025学年七年级下册数学暑假培优讲义（人教版2024）

9.1用坐标描述平面内点的位置 板块一：知识精讲 1．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 2．规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 3．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 4．方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 板块二：典题精练 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为则第四个顶点的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．下列各点中，在第三象限的是（     ） A．(2，1) B．(−1，0) C．(−3，1) D．(−1，−2) 3．若点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法不正确的是（    ） A．点一定在第二象限 B．点到轴的距离为2 C．若中，则点在轴上 D．若在轴上，则 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则m可能是（　　） A． B．0 C． D．2 8．在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段，若点坐标是，则点不在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 9．若点A（2，a－1）在x轴上，则a＝ ． 10．若点到轴的距离是到轴距离的2倍，则的值为 ． 11．如果点的坐标满足，那么称点P为和谐点．若和谐点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ． 12．点到轴的距离是 ，到轴的距离是 ． 13．点P(﹣3，2)到x轴的距离是 ． 14．已知点A（﹣3，4），B（5，4），则A，B两点间的距离是 ． 三、解答题 15．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足． (1)求OA，OB长度； (2)在x轴上是否存在点C，使得三角形ABC的面积是12；若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与原点、B点重合）速度为每秒2个单位长度，连接AB、AP，当运动的时间t为几秒时， ？并求出此时点P的坐标． 16．在平面直角坐标系中，已知点 （1）若M在x轴上，求m的值 （2）若点M在第二象限内，求m的取值范围； （3）若点M到x轴，y轴距离相等，求m的值． 17．如图，平面直角坐标系中，、，A、B在x轴上，，求证：． 18．在平面直角坐标系中，已知O（0，0），B（1，3）． (1)若点A在x轴上，且S△AOB=3，求满足条件的点A的坐标； (2)若点A在y轴上，且S△AOB=3，求满足条件的点A的坐标； (3)若点A在坐标轴上，且S△AOB=2，直接写出点A的坐标； 19．如图，在网格中建立适当的平面直角坐标系，并描出点． (1)找出线段的中点E，并观察点E的坐标与点A，B的坐标之间有什么关系．线段的中点F的坐标与点A，C的坐标之间是不是也有这种关系？的中点G呢？ (2)已知点，请写出线段的中点P的坐标． 20．已知，点P（m＋2，3m﹣6）． （1）若点P在x轴上方，且到x轴的距离为6，求点P的坐标； （2）若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，点P在第几象限？ （3）若点Q在y轴上，且PQ平行于x轴，PQ＝3，求P点的坐标． 21．在平面直角坐标系中描出下列各点，并将这些点用线段顺次连接起来．，，，．    (1)图形中，线段 上的点都在轴上，它们的坐标特点是 ． (2)，两点 坐标相等，线段平行于 轴 (3)线段与的位置关系是 ． (4)描出的图形的面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据题意在平面直角坐标系中作出对应点以及长方形，设出点C的坐标，根据坐标求出距离，然后根据长方形的性质列出方程计算即可. 【详解】依据题意画出图形，如图所示： 设C点坐标为（m,n）, ∵， ∴AB=2-(-3)=5，AD=1-(-2)=3， ∴CD=AB=5=m-(-3) ，BC=AD=3=n-(-2) ， 解得：m=2，n=1， ∴C点坐标为（2，1）. 故答案为：A. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标与图形性质，根据题意在平面直角坐标系中作出对应点和图形是解题的关键. 2．D 【分析】根据点在象限的坐标特点，即可完成本题. 【详解】解：第三象限的点，横、纵坐标均为负数，故正确答案为：D. 【点睛】本题考查了点所在象限的坐标特征，即第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）. 3．D 【分析】根据第四象限内点的坐标特征为（+，-）列不等式求解即可. 【详解】由题意得 2m-1<0， ∴. 故选D. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0. 4．C 【分析】A：第二象限的点满足（-，+），B：找出P点坐标即可确定与y轴的距离，C：xy=0，可确定x、y至少有一个为0来确定，D：根据x轴上点的坐标特征即可判定． 【详解】A：＜0，＞0，本选项说法正确； B：P点到y轴距离是2，本选项说法正确； C：xy=0，得到x、y至少有一个为0，P可能在x轴上，也可能在y轴上，本选项说法错误； D：点P在x轴上，则y=0，本选项说法正确. 故选：C． 【点睛】本题考查坐标上点的特征．确定各个象限的点和坐标轴上点的特征是解决本题的关键． 5．A 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点位于第四象限，坐标是． 故选：A． 6．C 【分析】根据平面直角坐标系中第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：点M在第二象限，且M到轴的距离为2，到y轴的距离为1， 点M的横坐标为，点的纵坐标为， 点M的坐标为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握坐标系中点的特征是解题的关键． 7．D 【分析】本题主要考查点所在象限，先根据第二象限内点的坐标符号特点确定m的正负，然后结合各选项即可解答．掌握第二象限的点的横坐标小于零、纵坐标大于零是解题的关键． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 8．D 【分析】设点 ，分轴和轴，两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：设点 ， 若轴，则点P、Q的纵坐标相等， ∵线段，若点坐标是， ∴ ， ， 解得： 或 ， ∴ 或 ； 若轴，则点P、Q的横坐标相等， ∵线段，若点坐标是， ∴ ， ， 解得： 或 ， ∴ 或 ， ∴点 或或 或 ， ∴点不在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，线段与坐标轴平行时点的坐标特征，分轴和轴，两种情况讨论是解题的关键． 9．1 【分析】直接利用x轴上坐标特点，即纵坐标为零，进而得出a的值． 【详解】解：∵点A（2，a-1）在x轴上， ∴a-1=0， 解得a=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了点的坐标的性质，注意x轴上点的坐标特点是解题关键． 10．1或 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点到轴的距离是到轴距离的2倍， ∴， 解得：或； 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键． 11．或 【分析】根据点P到y轴的距离为3，可求横坐标，再根据和谐点的意义求出纵坐标即可． 【详解】解：点P到y轴的距离为3，则点P的横坐标为， 当时，，解得，点P的坐标为； 当时，，解得，点P的坐标为； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了点的坐标和一元一次方程，解题关键是明确点到y轴的距离是横坐标的绝对值，求出横坐标，再根据新定义求出纵坐标． 12． 4 3 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】解：点M（−3，-4）到x轴的距离是4；到y轴的距离是3． 故答案为4；3． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 13．2 【详解】解：点P（-3，-2）到x轴的距离是|2|=2． 故答案为：2． 14．8 【分析】根据两点的纵坐标相同，因此线段轴，计算点的横坐标的差即可求出A，B两点间的距离． 【详解】解：∵A（﹣3，4），B（5，4）， ∴轴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查平面上两点之间的距离，根据两点的坐标的特点进行求解是解题的关键． 15．(1) (2)存在；或 (3)当移动2.25秒，此时 或移动4.5秒，此时时，． 【分析】（1）根据非负性求出的值即可； （2）利用进行计算即可； （3），，利用进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，， 解得：， ∴， ∴； （2）解：存在． 设 则：， ∴， ∴或， 解得：或， ∴或 （3）解：设 ， ， ∵， ∴， ∴ ， 整理得：， 解得：或， 当时：（秒）， 当时：（秒）； ∴当移动2.25秒，此时 或移动4.5秒，此时时，． 【点睛】本题考查平面直角坐标系下的点的坐标和动点问题，根据题意准确的找出点的位置是解题的关键． 16．（1）3；（2）m＞3；（3）8或-2 【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征得到m-3=0，解得即可； （2）根据第二象限的点的坐标特征得到m-3＞0，解得即可； （3）根据题意得到m-3=±5，解得即可． 【详解】解：（1）∵点M（-5，m-3）在x轴上， ∴m-3=0， ∴m=3； （2）∵点M（-5，m-3）在第二象限内， ∴m-3＞0， ∴m＞3； （3）∵点M到x轴，y轴距离相等， ∴m-3=±5， ∴m=8或m=-2． 【点睛】本题考查了点的坐标，解一元一次不等式，解一元一次方程，根据点的坐标特征得到等式或不等式是解题的关键． 17．见解析 【分析】先由C点、D点的纵坐标相等，可得轴，即，然后由两直线平行同旁内角互补，可得：，然后根据等量代换可得：，然后根据同旁内角互补两直线平行，可得，最后由平行线的性质可得结论． 【详解】证明：∵、， ∴轴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． 18．(1)A1（-2，0） 或A2 （2，0） (2)A1（0，6） 或A2（0，-6） (3)A1（-，0） 或A2（，0）或A3（0，4）或A4（0，-4） 【分析】（1）根据题意得S△AOB=OA×3，再由S△AOB=3，即可求解； （2）根据题意得S△AOB=OA×1，再由S△AOB=3，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点A在x轴上时；当点A在y轴上时，即可求解． 【详解】（1）解：如图，S△AOB=OA×3 ∵S△AOB=3 ∴OA×3=3 解得：OA=2 ∴A1（-2，0）或A2（2，0）； （2）解：如图，S△AOB=OA×1 ∵S△AOB=3 ∴OA×1=3 解得：OA=6 ∴A1（0，6）或A2（0，-6） （3）解：①当点A在x轴上时， 如图，S△AOB=OA×3 ∵S△AOB=2 ∴OA×3=2 解得：OA= ∴A（，0）或A（-，0）； ②当点A在y轴上时， 如图，S△AOB=OA×1 ∵S△AOB=2 ∴OA×1=2 解得：OA=4 ∴A（0，4）或A（0，-4） 综上所述：A1（-，0） 或A2（，0）或A3（0，4）或A4（0，-4）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点A位于不同的位置分类讨论是解题的关键． 19．(1)点E坐标为（1，﹣1），线段AB中点的坐标是点A，B的坐标的和的一半；点F坐标为（﹣3，3）；点G坐标为（5，0）；对线段AC中点和点A，C及线段BD中点和点B，D成立 (2) 【分析】（1）画出图形，然后分别根据线段中点的定义写出即可； （2）根据（1）的结论求得结果即可． 【详解】（1）解：线段AB中点E坐标为（1，﹣1），   线段AC中点F坐标为（﹣3，3）， 线段BD中点G坐标为（5，0），    线段AB中点的坐标是点A，B的坐标的和的一半，    对线段AC中点和点A，C及线段BD中点和点B，D成立；     （2）解：线段MN的中点P的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要考查了点的中点的求法的推导． 20．（1）P点的坐标为（6，6）；（2）点P在第四象限；（3）P点的坐标为（﹣3，﹣21）或（3，﹣3）． 【分析】（1）利用点P在x轴上方，且到x轴的距离为6可得3m﹣6＝6，然后解方程求出m即可得到P点坐标； （2）利用点P的纵坐标与横坐标互为相反数可得到m＋2＋3m﹣6＝0，然后解方程求出m得到P点坐标，从而可判断点P所在的象限； （3）利用点Q在y轴上可得Q点的横坐标为0 ，再利用与x轴平行的直线上的点的坐标特征得到点P和点Q的纵坐标相等，然后利用PQ＝3得到|m＋2|＝3，由此可求得P点的坐标． 【详解】解：（1）根据题意得，3m﹣6＝6， 解得m＝4， ∴P点的坐标为（6，6）； （2）根据题意得，3m﹣6＋m＋2＝0， 解得m＝1， ∴P点的坐标为（3，﹣3）， ∴点P在第四象限； （3）当点Q在y轴上时，点Q的横坐标轴为0，PQ//x轴，两点的纵坐标相等， 由PQ＝3，得|m＋2|＝3. ①当点P在y轴左侧时，m＋2＝﹣3， 解得，m＝﹣5， 此时点P（﹣3，﹣21）； ②当点P在y轴右侧时，m＋2＝3， 解得，m＝1， 此时点P（3，﹣3）， ∴P点的坐标为（﹣3，﹣21）或（3，﹣3）． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的特点；熟练掌握平面直角坐标系中坐标轴上点的特点，与坐标轴平行的直线上点的特点是解题的关键． 21．(1), (2)横， (3)平行 (4) 【分析】（1）由轴上点的坐标特点即可得出结论； （2）由、两点横坐标相等，得出轴，即可得出结论； （3）由、两点纵坐标相等，得出轴，得出即可； （4）先描点，根据题意得出，，，由梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】（1）∵线段上的点都在轴上， ∴它们的坐标特点是纵坐标为； 故答案为：，纵坐标为； （2）∵、两点横坐标相等， ∴轴， ∴线段轴； 故答案为：横，； （3）∵、两点的纵坐标相等， ∴轴，线段上的点都在轴上， ∴； 故答案为：平行； （4）解：描点如下，    根据题意得：，，， ∴梯形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形的性质、坐标与图形性质、梯形面积的计算；熟练掌握梯形的性质和坐标与图形性质是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$