专题02 实数（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材人教版

专题02 实数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平方根 题型02 算术平方根 题型03 立方根 题型04 实数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平方根 理解平方根概念，掌握性质，会求非负数平方根，区分正负平方根； 选择填空必考，常考概念辨析、求数的平方根，难度基础。 算术平方根 掌握算术平方根定义与非负性，会求算术平方根，会简单应用； 高频考点，侧重非负性、计算，常与绝对值、平方结合出题。 立方根 理解立方根概念，掌握性质，会求任意实数的立方根； 选择填空常考，考查计算与性质，正负立方根均存在。 实数及其简单运算 认识实数分类，理解无理数概念，掌握实数运算与性质； 综合考查，选择填空判断无理数，解答题考运算与大小比较。 知识点01 平方根 1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么a叫做这个数x的平方； 这个数x叫作a的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 平方运算和开平方运算是互逆关系。 例：求下列各数的平方根： （1）100；（2）；（3）0；（4）-9。 解：（1）∵　(±10)²=100，∴　100 的平方根是　±10； （2）∵　()²=， ∴　 的平方根是； （3）∵²=， ∴　0　的平方根是； （4）∵　任何数的平方都不会是负数，∴-9没有平方根。 ２.平方根的符号记法 一个正数 的有两个平方根，记作:，其中叫做　a　的正的平方根,“” ； 叫做a的负的平方根；　 3. 平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们是互为相反数； （2） 0 的平方根是０； （3）负数没有平方根. 因为负数没有平方根，所以 有意义的条件是ａ. 知识点02 算术平方根 定义：正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 又叫作 a 的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为． 例 求下列各数的算术平方根： (1)100;(2)64;(3)0.0001. 解：（1）； （2） ； （3） 01 总结：从例题可以看出——被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这是实数比较大小的依据，也是求无理数近似值的依据。 例： 在整数______和______之间， 在______和______之间。 解： 在整数 2 和 3 之间， 在 5 和 6 之间。 知识点03 立方根 1. 定义 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根,记作：； 求一个数的立方根的运算，叫做开立方； 2. 立方根的性质 互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。 =- 3. 立方根的小数点移动规律 例：用计算器计算求,,,,,…,你能发现什么规律? 解： =0.06 =0.6 =6 =60 总结：被开方数的小数点向左（右）移动三位，立方根的小数点相应地向左（右）移动一位。 知识点04 实数及其简单的运算 1. 实数的概念及分类 （1） 相关概念：无限不循环小数叫作无理数，有理数与无理数统称实数。 （2） 实数的分类 （3） 实数与数轴上点的对应关系 实数与数轴上的点一一对应，在数轴上右边的数总大于左边的数。（这是实数大小比较的依据） 2. 实数的运算 （1） 实数的相反数 数 a 的相反数是 -a . 如：-（-）=. （2） 绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 例：因为 ， 所以，||=-（）= （负数的绝对值等于它的相反数） （3） 加减乘除运算法则 有理数的运算法则及运算律同样适用于实数. 3可以省略“”，写成“3”. 例：3+2=（3+2）=5 （乘法分配律） 易错题：+ （不属于乘法分配律） （4） 实数的乘方、开方运算 因为 x (x)的平方是 ，所以 是 a 的算术平方根； 因为 3 的平方是 ，所以 是 的算术平方根，记作：； 反之，因为 是 a 的算术平方根，所以 =a； 因为 是 3 的算术平方根，所以 =3； 归纳： (a0)，=a (a0) ； 同理：，=a . 题型一 平方根 解｜题｜技｜巧 先判断数非负，再找平方等于该数的数，注意正负两个根； 易｜错｜点｜拨 1. 易漏负平方根，负数无平方根，勿与算术平方根混淆。 【典例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根． 先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：， ∵， ∴平方根为． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·吉林·期末）已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A． B．- C． D． 【答案】C 【分析】本题考查“平方根的概念”，掌握两个平方根的关系是解题关键． 根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个且互为相反数，由此即可判断出答案． 【详解】解：∵ 一个正数的平方根有两个，且互为相反数， 又∵ 一个平方根是2025， 则另一个平方根为， 故选：C． 题型二 算术平方根 答｜题｜模｜板 结果为非负数，直接找正的平方根，利用非负性列方程求解； 易｜错｜点｜拨 结果只能为非负，易误写为正负值，混淆与平方根的范围。 【典例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根． 先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：， ∵， ∴平方根为． 故选：C． 【典例2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知某正数的两个平方根分别是和，b的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根的定义，解题的关键是求出、的值． 先根据平方根的定义求出的值，再根据的算术平方根是3求出的值，进而求出的值，再求的平方根即可． 【详解】解：∵某正数的两个平方根分别是和， ， 解得， ∵b的算术平方根是3， ， ， ， ∴的平方根为． 【变式1】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）________． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值，算术平方根的混合运算，先计算绝对值，算术平方根，再合并即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·四川南充·期末）已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 题型三 立方根 答｜题｜模｜板 根据立方运算求根，正数、负数、0均有唯一立方根； 易｜错｜点｜拨 易与平方根性质混淆，忽略负数有立方根，计算符号出错。 【典例1】（24-25七年级下·吉林白山·期末）9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是立方根的意义，根据立方根的意义可得答案. 【详解】解：的立方根是， 故选：B 【典例2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）一个正方体的体积是16，则它的棱长是_________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，根据一个正方体的体积是16，则它的棱长是，即可作答． 【详解】解：∵一个正方体的体积是16，且棱长棱长棱长体积， ∴它的棱长是， 故答案为： 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）某正数的两个不相等的平方根分别是和，则a的立方根为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，求一个数的立方根，列一元一次方程解决问题，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 根据平方根的定义列出，然后求解，再求立方根即可． 【详解】解：根据平方根的性质得， 解得， ∴a的立方根为：， 故答案为：． 题型四 实数的运算 答｜题｜模｜板 先化简再运算，按有理数运算法则计算，区分有理无理数； 易｜错｜点｜拨 误判带根号数为无理数，运算时符号、运算法则出错。 【典例1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在实数：，，（每相邻两个1之间依次多1个0），，，，中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，算术平方根．根据无理数是无限不循环小数，进行判断每个数是否为无限不循环小数，即可作答． 【详解】解：和都是可分化分数的小数，是有理数， ，4是有理数， 是分数，是有理数， （每相邻两个1之间依次多1个0），，都是无限不循环小数， ∴无理数的个数是3个， 故选：C 【典例2】（24-25七年级下·吉林白山·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及求一个数的立方根，算术平方根以及化简绝对值，正确化简计算每一项是解题的关键． 分别计算立方根，算术平方根，绝对值，再进行加减计算． 【详解】解： 【变式1】（24-25七年级下·云南丽江·期末）在实数，0，，，，中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中，是有理数中的整数．由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在实数，0，，，，中， 无理数是：，，共2个； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，利用算术平方根及立方根的定义计算后再算减法即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握算术平方根及立方根的定义是解题的关键． （1）先算术平方根，立方根，再加减即可； （2）先算术平方根，立方根，绝对值，再加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知，的平方根是，是的整数部分，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题综合考查了实数的内容，熟知平方根的概念以及估算是解题的关键．根据平方根的概念，结合，的平方根是，得出，，求出a，b的值，利用实数的估算方法求出的整数部分，再代入代数式求出代数式的值，最后即可求出平方根． 【详解】解：由，得， ； 的平方根是， ， ， 解得； ，是的整数部分， ， 则， ∵25的平方根为， 的平方根为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的算术平方根．根据平方根的算术平方根的性质进行解题即可． 【详解】解：A、，故该项不符合题意； B、，故该项不符合题意； C、，故该项不符合题意； D、，故该项符合题意； 故选：D． 2．16的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，16的平方根是，用数学符号表示，即可作答． 【详解】解：依题意，16的平方根是，用数学符号表示， 故选：D 3．实数是有理数与无理数的统称，下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根． 选项A为有限小数，B为整数，D为分数，属于有理数；C中π为无理数，减2后仍为无理数． 【详解】解：A：是有限小数，是有理数； B：是整数，是有理数； C：π是无理数，是无理数； D：是分数，是有理数； 故选：C． 4．下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 【答案】C 【分析】本题考查了对算术平方根，平方根，立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出每个的值，再判断即可． 【详解】解：A．9的算术平方根是3，正确； B．4的平方根是，正确； C．27的立方根是3，不是，错误； D．立方根等于1的数是1，即若，则，正确． 故选C． 二、填空题 5．若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 【答案】± 【分析】本题考查了算术平方根和平方根． 根据“算术平方根是指一个正数的正的平方根”即可求解． 【详解】解：∵一个正数的算术平方根是， ∴这个正数是， 故这个正数的平方根是． 故答案为：． 6．化简___________． 【答案】2026 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2026． 7．的平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方，再求平方根即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 8．已知，则________． 【答案】 1 【分析】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，解题的关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解． 因为绝对值和算术平方根均为非负数，所以由，可得且；进而求出、的值，再计算． 【详解】解：，，且， ，解得；，解得． ． 故答案为：． 三、解答题 9．已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值以及平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a与b的值即可； （2）将a与b的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知，，， 解得：，； （2）， 的平方根为； 10．（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）根据拼接前后的面积相等建立方程求解可得答案． （2）设小长方形的对角线的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：（1）设大正方形的边长为x， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：大正方形的边长为4； （2）设小长方形的对角线的长度为m， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小长方形的对角线的长度为． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．的平方根是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的平方，解题的关键是逐步计算． 先计算根号内的平方，得到算术平方根，再求其平方根． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 2．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】B 【分析】根据题意列方程求解即可； 【详解】解：∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得：． 3．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．-3与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根，绝对值，相反数与立方根，熟记概念是解题的关键． 判断各组数是否互为相反数，即和是否为零，需计算每组数值并验证. 【详解】解：A、，，，不是相反数，不符合题意； B、，，不是相反数，不符合题意； C、，，是相反数，符合题意； D、，不是相反数，不符合题意； 故选：C． 4．在实数：，，，，（小数点后每个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，掌握无理数的判定方法是解题关键． 根据无理数的定义依次判断所给实数是否为无理数，统计个数后选出答案． 【详解】解：无理数指无限不循环小数， 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； （小数点后每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数． 则无理数有个． 故选：． 5．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．已知，是的整数部分，则的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数整数部分的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过估算 的取值范围，计算 的值范围，从而确定其整数部分． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即 ． ∴的整数部分 ． 故答案为：2． 7．比较：________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】利用分母相同的正分数比较大小的规则，通过比较分子的大小来判断两个分数的大小关系，先确定的取值范围，进而得到分子的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个正分数分母相同，分子大的分数值大， ∴． 8．的平方根是，的立方根是2，则_______． 【答案】13 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义． 根据平方根和立方根的定义，求出a和b的值，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 解得， 则． 故答案为：13． 三、解答题 9．已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用平方根的非负性列不等式求解； （2）依据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 解得：； （2）解：根据题意可知，， 解得：， 将代入，得其中一个平方根为， 所以． 10．（1）计算：； （2）一个正数的两个平方根是和，求正数的立方根． 【答案】（1）；（2）正数的立方根为4． 【分析】此题考查了实数的混合运算，算术平方根和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算有理数的乘方，算术平方根，绝对值和立方根，然后计算加减； （2）根据平方根的性质得到，求出，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）正数的两个平方根是和， ， 解得：， ， ， ， 正数的立方根为4． 11．（1）计算： （2）求x的值： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程． （1）先算乘方、开方和绝对值，再算加减即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ． 12．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 【答案】(1)，， (2)见解析， 【分析】本题考查无理数的估算，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据图形中大正方形的面积列方程求解即可； （2）画一个面积为的正方形，类比（1），根据图形中大正方形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设，由图形面积可得， ． 因为x值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 故答案为：，，； （2）解：如图，设， 由图形面积可得，． 因为y值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．在、、 、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查无理数，掌握相关知识是解决问题的． 无理数是无限不循环小数，据此判断每个数是否为无理数． 【详解】解： 是无理数； 是分数，有理数； ，是整数，有理数； ，是整数，有理数； 是无理数； 是无限不循环小数，无理数； ∴ 无理数有 、、，共3个． 故选：B． 2．下列命题中，是真命题的是（） A．的平方根是 B．如果，那么m的取值范围是： C．相等的两个角是对顶角 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平方根， 无理数的大小估算，对顶角的定义等等，熟知相关知识是解题的关键． 通过逐一分析每个选项的真假，判断B为真命题即可． 【详解】解：对于A．∵，4的平方根是，不是，∴A错误，是假命题． 对于B．∵，即，∴，∴，B正确，是真命题． 对于C．∵相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，∴C错误，是假命题． 对于D．∵反例∶，但，∴D错误，是假命题． 故选B． 3．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 4．下列说法中正确的有（    ） ①0.1是0.01的算术平方根；②81的平方根是；③一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1；④实数与数轴上的点一一对应． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根的定义及实数与数轴的对应关系，需逐一辨析每个说法的正误，统计正确个数后选择对应选项． 【详解】解：①∵，且算术平方根为非负数， ∴0.1是0.01的算术平方根，该说法正确； ②∵， ∴81的平方根是，该说法正确； ③一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1，，故原说法漏了，错误； ④∵实数与数轴上的点一一对应， ∴该说法正确 综上，正确的说法有3个， 故选：B． 二、填空题 5．比较大小：①___________；②___________；③___________． 【答案】 < > < 【分析】本题考查了实数的运算与大小比较． ①比较两个负数的大小，绝对值大的反而小； ②先化简表达式，再比较数值； ③注意运算顺序，指数运算优先于负号． 【详解】解：①∵，∴； ②∵，，且，∴； ③∵，，且，∴； 故答案为：①<；②>；③<． 6．若、为实数，且满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，由列方程求出、的值，代入代数式，由乘方运算计算即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值非负性、算术平方根非负性、非负数和为零的条件、解方程、代数式求值、乘方运算等知识，熟记非负数和为零的条件是解决问题的关键． 7．比较大小：___________1（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】此题考查了实数的大小比较，掌握是解决问题的关键． 通过比较分子的大小，由于分母相同，将问题转化为比较与3的大小，进一步比较与2的大小，利用平方比较法得出结论． 【详解】∵与1比较大小，且， ∴比较分子与3的大小， ∵（理由：）， ∴， ∴． 故答案为：． 8．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 三、解答题 9．（1）求x的值：；     （2）计算： 【答案】（1）   （2） 【分析】本题考查利用平方根解方程，实数的混合运算，熟练掌握平方根和立方根的定义，正确的计算是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）先开方，再进行加减运算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）原式． 10．已知一个正数的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，y的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查平方根和立方根的性质： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此即可求出a的值；立方根是本身的负数是，据此可求y的值； （2）根据（1）中求出的a与y的值，求出的值，从而可求其算术平方根． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ∵负数y的立方根与它本身相同， ∴ ∴a，y的值分别为，； （2）解：由（1）知，， 则， ∴的算术平方根为． 11．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，估算无理数的大小等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出，，，即可得出答案； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 12．已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【答案】(1)，无理数，，无理数 (2)不可能是偶数，也不可能是奇数，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简与分类、整数的奇偶性及反证法的应用． （1）分别代入和计算的值，再分别判断和的数的类型即可； （2）先假设是偶数，通过开方推导可得出其不是偶数；当时，，此时，不是奇数，当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数），通过计算推导可证得不是奇数． 【详解】（1）解：当时，， ∵5不是完全平方数， ∴是无理数， 当时，， ∵7不是完全平方数， ∴是无理数， 故答案为：，无理数，，无理数． （2）解：不可能是偶数，也不可能是奇数， 理由：假设是偶数，则是偶数， 即是偶数①， ∵n是正整数， ∴是偶数， ∵3是奇数， ∴是奇数②， ∴①和②矛盾， ∴不是偶数， 当时，，此时，不是奇数， 当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数）， ∴， 整理得， ∵为偶数且1为奇数， ∴为奇数， ∵是偶数， ∴不成立， ∴不是奇数， 综上所述，不可能是偶数，也不可能是奇数． 13．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平方根 题型02 算术平方根 题型03 立方根 题型04 实数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平方根 理解平方根概念，掌握性质，会求非负数平方根，区分正负平方根； 选择填空必考，常考概念辨析、求数的平方根，难度基础。 算术平方根 掌握算术平方根定义与非负性，会求算术平方根，会简单应用； 高频考点，侧重非负性、计算，常与绝对值、平方结合出题。 立方根 理解立方根概念，掌握性质，会求任意实数的立方根； 选择填空常考，考查计算与性质，正负立方根均存在。 实数及其简单运算 认识实数分类，理解无理数概念，掌握实数运算与性质； 综合考查，选择填空判断无理数，解答题考运算与大小比较。 知识点01 平方根 1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么a叫做这个数x的平方； 这个数x叫作a的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 平方运算和开平方运算是互逆关系。 例：求下列各数的平方根： （1）100；（2）；（3）0；（4）-9。 解：（1）∵　(±10)²=100，∴　100 的平方根是　±10； （2）∵　()²=， ∴　 的平方根是； （3）∵²=， ∴　0　的平方根是； （4）∵　任何数的平方都不会是负数，∴-9没有平方根。 ２.平方根的符号记法 一个正数 的有两个平方根，记作:，其中叫做　a　的正的平方根,“” ； 叫做a的负的平方根；　 3. 平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们是互为相反数； （2） 0 的平方根是０； （3）负数没有平方根. 因为负数没有平方根，所以 有意义的条件是ａ. 知识点02 算术平方根 定义：正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 又叫作 a 的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为． 例 求下列各数的算术平方根： (1)100;(2)64;(3)0.0001. 解：（1）； （2） ； （3） 01 总结：从例题可以看出——被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这是实数比较大小的依据，也是求无理数近似值的依据。 例： 在整数______和______之间， 在______和______之间。 解： 在整数 2 和 3 之间， 在 5 和 6 之间。 知识点03 立方根 1. 定义 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根,记作：； 求一个数的立方根的运算，叫做开立方； 2. 立方根的性质 互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。 =- 3. 立方根的小数点移动规律 例：用计算器计算求,,,,,…,你能发现什么规律? 解： =0.06 =0.6 =6 =60 总结：被开方数的小数点向左（右）移动三位，立方根的小数点相应地向左（右）移动一位。 知识点04 实数及其简单的运算 1. 实数的概念及分类 （1） 相关概念：无限不循环小数叫作无理数，有理数与无理数统称实数。 （2） 实数的分类 （3） 实数与数轴上点的对应关系 实数与数轴上的点一一对应，在数轴上右边的数总大于左边的数。（这是实数大小比较的依据） 2. 实数的运算 （1） 实数的相反数 数 a 的相反数是 -a . 如：-（-）=. （2） 绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 例：因为 ， 所以，||=-（）= （负数的绝对值等于它的相反数） （3） 加减乘除运算法则 有理数的运算法则及运算律同样适用于实数. 3可以省略“”，写成“3”. 例：3+2=（3+2）=5 （乘法分配律） 易错题：+ （不属于乘法分配律） （4） 实数的乘方、开方运算 因为 x (x)的平方是 ，所以 是 a 的算术平方根； 因为 3 的平方是 ，所以 是 的算术平方根，记作：； 反之，因为 是 a 的算术平方根，所以 =a； 因为 是 3 的算术平方根，所以 =3； 归纳： (a0)，=a (a0) ； 同理：，=a . 题型一 平方根 解｜题｜技｜巧 先判断数非负，再找平方等于该数的数，注意正负两个根； 易｜错｜点｜拨 1. 易漏负平方根，负数无平方根，勿与算术平方根混淆。 【典例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·吉林·期末）已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A． B．- C． D． 题型二 算术平方根 答｜题｜模｜板 结果为非负数，直接找正的平方根，利用非负性列方程求解； 易｜错｜点｜拨 结果只能为非负，易误写为正负值，混淆与平方根的范围。 【典例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知某正数的两个平方根分别是和，b的算术平方根是3，求的平方根． 【变式1】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）________． 【变式2】（24-25七年级下·四川南充·期末）已知，则（      ） A． B． C． D． 题型三 立方根 答｜题｜模｜板 根据立方运算求根，正数、负数、0均有唯一立方根； 易｜错｜点｜拨 易与平方根性质混淆，忽略负数有立方根，计算符号出错。 【典例1】（24-25七年级下·吉林白山·期末）9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）一个正方体的体积是16，则它的棱长是_________． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）某正数的两个不相等的平方根分别是和，则a的立方根为______． 题型四 实数的运算 答｜题｜模｜板 先化简再运算，按有理数运算法则计算，区分有理无理数； 易｜错｜点｜拨 误判带根号数为无理数，运算时符号、运算法则出错。 【典例1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在实数：，，（每相邻两个1之间依次多1个0），，，，中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】（24-25七年级下·吉林白山·期末）计算：． 【变式1】（24-25七年级下·云南丽江·期末）在实数，0，，，，中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算：______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【变式4】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知，的平方根是，是的整数部分，求代数式的平方根． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．16的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．实数是有理数与无理数的统称，下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 二、填空题 5．若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 6．化简___________． 7．的平方根是________． 8．已知，则________． 三、解答题 9．已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 10．（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．的平方根是（　　） A． B．3 C． D． 2．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 3．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．-3与 C．与 D．与 4．在实数：，，，，（小数点后每个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，是的整数部分，则的值为_____． 7．比较：________（填“”“ ”或“”）． 8．的平方根是，的立方根是2，则_______． 三、解答题 9．已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． 10．（1）计算：； （2）一个正数的两个平方根是和，求正数的立方根． 11．（1）计算： （2）求x的值： 12．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．在、、 、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 2．下列命题中，是真命题的是（） A．的平方根是 B．如果，那么m的取值范围是： C．相等的两个角是对顶角 D．如果，那么 3．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的有（    ） ①0.1是0.01的算术平方根；②81的平方根是；③一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1；④实数与数轴上的点一一对应． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 5．比较大小：①___________；②___________；③___________． 6．若、为实数，且满足，则的值为_____． 7．比较大小：___________1（填“>”“<”或“=”）． 8．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 三、解答题 9．（1）求x的值：；     （2）计算： 10．已知一个正数的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，y的值； (2)求的算术平方根． 11．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 12．已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 13．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $