2026年八年级数学秋季开学·学情自测卷02（新教材人教版，范围：七下全册+八上第13章三角形）

**基本信息** 2026年秋季八年级开学数学学情自测卷，覆盖七下全册及八上三角形内容，通过非遗油纸伞、人工智能竞赛等真实情境，融合抽象能力、推理意识与数据意识，实现基础巩固与创新应用的梯度检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、三角形三线、格点三角形|第6题《九章算术》追及问题，体现文化传承与模型意识| |填空题|6/18|三角形稳定性、坐标平移、方程组解讨论|第12题非遗油纸伞结构，渗透几何直观与空间观念| |解答题|8/72|统计应用、角平分线探究、实际利润问题|22题人工智能竞赛统计分析，强化数据意识；24题多信息实际问题，培养运算能力与应用意识|

2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B A D A B B D A 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12．三角形具有稳定性 13． 14．或 15．①④ 16． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。 17．（8分） 【详解】（1）解：原式 ．（4分） （2）解：， 得：， 得：，即， 解得， 将代入得：， 解得， 所以方程组的解为．（8分） 18．（8分） 【详解】解：解不等式①得： ， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为．（4分） 如图：（8分） 19．（8分） 【详解】解：， ， ，， 又， ∴， ．（8分） 20．(1)解：建立直角坐标图如下：点的坐标．（2分） (2)①如图：即为所求； ②，如图：点即为所求．（8分） 【详解】（1）如图（2分） （2）解：①∵三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为， ∴三角形向右平移3个单位，向上平移1个单位得到三角形， 如图（4分） ②如图：∵，， ∴点C向右平移4个单位，向下平移3个单位得到点B， ∵点E是点C向下平移1个单位得到的，点E在上， ∴点E是点C向右平移个单位得到的， ∴点E的纵坐标为1，横坐标为：，即；（6分） 如图．（8分） 21．（8分） 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．（4分） （2）解：由（1）可得， ∴， ∵， ∴，即 ∵，， ∴，解得：．（8分） 22．（10分） 【详解】（1）解：， ， ， ，故；（4分） （2）解：（人）；（7分） 答：估计成绩不低于60分的学生人数为人； （3）积极学习人工智能相关知识，多背诵基础知识点，主动向老师和A级同学请教，逐步提升竞赛成绩（答案不唯一，合理即可）（10分） 23．（10分） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴；（2分） （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴；（6分） （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或．（10分） 24．（12分） 【详解】（1）解：由题意得，宣传册的数量为本． 统一时间单位：分钟小时，分钟小时．总时间为：（小时）． 总利润为：（元）．（3分） （2）当时， 根据题意可得方程组： 解得． 总件数为． 答：制作三种产品的总件数为．（7分） （3）由总利润为元可得， 整理得： 因为是正整数，所以必须是的倍数． 设总件数为，则： 由题意得， 即： 解不等式得． 在范围内， 满足是的倍数的正整数为和，对应的分别为和，均为正整数，符合要求． 因此共有种制作方案． 答：共有种制作方案．（12分） ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 ▣ 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【]【] 一、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。 在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1[A][B][C][D] S[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C]D] 6[A][B][C][D] 10[A[B][C]D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A][B][C][D] 二、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11. 12. 13 14. 15 16. 三、解答题（本题共8小题，共72分.第17-18题每题8分，第19-21 题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) -5-4-3-2-1012345 19.(8分) 2 B D C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) M H 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七下全册+八上第13章三角形 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．（3分）下列实数中是无理数的是（     ） A．3.14 B． C． D． 2．（3分）下列调查中，选用的调查方式合理的是（    ） A．统计全班45名学生的身高，选择抽样调查 B．检测同一批次一万架无人机的使用寿命，计划采用全面普查 C．了解全省中小学生的睡眠时间大致情况，打算采用全面普查 D．了解全市三万名14周岁学生的身高大致情况，选用科学的抽样调查 3．（3分）下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（3分）等腰三角形周长为，一边长为，该等腰三角形的底边长为（     ） A． B． C．或 D． 5．（3分）如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 6．（3分）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？为解决此问题，设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 7．（3分）如图，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（3分）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于85”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（  ） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 10．（3分）定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）的负的平方根是______． 12．（3分）非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了如图的三角形结构．这其中蕴含的数学原理是_____． 13．（3分）统计某班同学的身高（单位：），得到的数据中，最小值是149，最大值是178，取组距为5，可将数据分为_________组． 14．（3分）在平面直角坐标系中，已知，平移线段至（A与C对应），使得C，D两点都在坐标轴上，此时，C点坐标为______． 15．（3分）已知方程组：的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，方程组的解也是方程的解；③当时，；④若，则；其中正确的是______（填写正确选项的番号）． 16．（3分）如图，已知，点在上，点在和之间，点在下方，；点在上，点在的延长线上，．设，则的度数用含的式子表示为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。 17．（8分）计算 (1)计算：； (2)解方程组：． 18．（8分）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 19．（8分）如图，在中，．求的度数． 20．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知图中A，B，C三点都是格点，且，．请仅用无刻度的直尺在给定网格中作图： (1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标 ； (2)将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为． ①在网格中画出三角形（点与对应，点与对应）； ②如图，若线段与一水平网格线交于点，直接写出点的坐标 ；画点使，且． 21．（8分）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)证明：； (2)若，且，求的度数． 22．（10分）人工智能在中小学应用实践中正逐渐展现出其巨大的潜力和价值．为促进学生运用人工智能技术获得更多学习机会和资源，某中学七年级举行了满分为100分的“人工智能通识知识竞赛”．比赛结束后，老师对学生成绩进行统计，分为A等级（大于或等于80分），B等级（大于或等于70分但小于80分），C等级（大于或等于60分但小于70分），D等级（小于60分），并随机抽取了名参赛学生的成绩作为样本，整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩等级 频数 A 20 B 32 C a D b 请根据以上图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____，_____； (2)七年级共有1800名学生参加比赛，请你估计成绩不低于60分的学生人数． (3)针对本次统计的结果，你对D等级的同学提出至少一条合理化建议． 23．（10分）【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 24．（12分）某校为表彰在“书香校园活动”中的先进班集体，请一家公司制作活动的展板，宣传册和横幅．在沟通过程中获取如下信息： 信息：宣传册的数量（本）是展板（个）的倍； 信息：制作个展板需小时，制作本宣传册需分钟，制作个横幅需分钟．制作三种产品共需小时； 信息：制作个展板可获利元，制作本宣传册可获利元，制作个横幅可获利元．该公司为该校本次活动制作的三种产品共可获利元． 解决问题： (1)设学校准备制作展板的数量为，制作横幅的数量为，直接用含有，的式子表示制作三种产品的总时间和制作三种产品的总利润； (2)当时，求制作三种产品的总件数． (3)若该校制作的产品总件数不少于，但又不超过，试说明共有几种制作方案． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $: : 2026年秋季八年级开学.学情自测卷 ·: : 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：七下全册+八上第13章三角形 : .: 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 : : 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上 : 1.(3分)下列实数中是无理数的是() A.3.14 B.√36 C.、22 D. 7 2 2.(3分)下列调查中，选用的调查方式合理的是() O . A.统计全班45名学生的身高，选择抽样调查 B.检测同一批次一万架无人机的使用寿命，计划采用全面普查 : C.了解全省中小学生的睡眠时间大致情况，打算采用全面普查 D.了解全市三万名14周岁学生的身高大致情况，选用科学的抽样调查 3.(3分)下列命题是真命题的是() 拟 : : : A.若x<y,则dx<ay B.若ax<y,则x<y .: O C.若x<y,则>1 D.若<，则x<y 1 : aa 4.(3分)等腰三角形周长为16cm,一边长为4cm,该等腰三角形的底边长为() A.Acm B.8cm C.8cm或4cm D.5cn 5.(3分)如图，在△ABC中，从顶点A引出三条线段AD、AE、AF,其中：AD是BC边上的高，AE是 角平分线，AF是BC边上的中线.下列说法错误的是() : : B DEF 试题第1页（共8页） : : : 可学科网·上好课 A.BF=FCB.∠BAE=∠CAEC.AD⊥BC D.AB=BC 6.(3分)《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行 者先行一百步，善行者追之，问几何步及之，意思是：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的 人只能走60步.走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？ 为解决此问题，设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，则可列方程组 () x-y=100 x-y=100 x=y-100 x=y-100 A 100 100 100 D. 100 X= V= x = V V= 60 60 60 60 7.(3分)如图，S△ABc=36,若SARDE=S△DEC=S△AcE,则SADg=() 1 A.3 B.6 C.9 D.12 8.（3分)按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到结果是否大于85为一次程序操作，如果结果 得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作.如果程序操作进行了两次才停止，那么x 的取值范围是() 是 >X 停止 否 A.x>21 B.5<x≤21 C.5≤x≤21 D.x≤21 9.(3分)如图，在三角形纸片ABC中，∠B=20°，∠C=60,点D在AB上且D<分4B.若在BC上找 一点E,将纸片沿DE折叠，点B落在点F处，EF恰好与三角形ABC的一边平行，则满足所有平行条 件的∠BDE度数为() D A.40°或80° B.50°或130° C.50°或80°或130° D.40°或80°或130° 10.(3分)定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称 为格点三角形.格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：S=a+?-1.(其中口是三角形内部格点数 2 目，b是三角形边上格点数目).平面直角坐标系中，己知点A(-2,-3),B(4,5),C(6,1),三角形ABC的 试题第2页（共8页） 6学科网·上好课 内部比边上多9个格点，求三角形ABC内部格点的个数为() A.17 B.18 C.19 D.20 第IⅡ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.(3分)√16的负的平方根是 12.(3分)非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成 了如图的三角形结构.这其中蕴含的数学原理是 13.(3分)统计某班同学的身高（单位：cm),得到的数据中，最小值是149，最大值是178，取组距为5， 可将数据分为 组 14.(3分)在平面直角坐标系中，已知A(3,6),B(7,3),平移线段AB至CD(A与C对应)，使得C,D 两点都在坐标轴上，此时，C点坐标为一· x-y=3a+5 15.(3分)已知方程组： x+y=1-a 的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①-3<a≤-1：②当a=-2 y=-2:④若x≤1，则2≤y<4:其中正确 x=3 时，方程组的解也是方程x+y=5-a的解；③当a=0时， 的是（填写正确选项的番号). 16.(3分)如图，己知AB∥CD,点E在AB上，点F在AB和CD之间，点H在CD下方，∠HEF=2∠AEF; 点G在CD上，点I在FG的延长线上，∠HGH=2∠DGI.设∠H=a,则∠F的度数用含a的式子表示 为 试题第3页（共8页） 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。 17.(8分)计算 (1)计算：（V2+2-5(5+1): 2x-5y=7① (2)解方程组： 4x-y=5② 卡 张 2x-1+2≥30 0 18.(8分)解不等式组 3 ，并将它的解集在数轴上表示出来. 3(x-1)≤5(x+1)-2② 数 游 -5-4-3-2-1012345→ 19.(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC,I=∠2，∠C=65°.求∠BAC的度数. 选 : O B D 20.(8分)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，己知图中A,B,C 三点都是格点，且A(-2,-2),C(-3,2).请仅用无刻度的直尺在给定网格中作图： 试题第4页（共8页） : 斯 (1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标： (2)将三角形ABC平移，得到三角形AB,C,，其中三角形ABC内任意一点P(,%)平移后的对应点为 (+3,%+1). ①在网格中画出三角形AB,C(点A与A对应，点B与B对应)： % ②如图，若线段BC与一水平网格线交于点E,直接写出点E的坐标：画点M使EM∥AB,且EM=AB. : .… : O 21.(8分)如图，己知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H,∠C=∠EFG, ∠CED=∠GHD. M B H : : (1)证明：AB∥CD: .. (2)若∠C=2∠D,且∠EHF=93°，求∠DGH的度数. : .: 试题第5页（共8页） 6学科网·上好课 22.(10分)人工智能在中小学应用实践中正逐渐展现出其巨大的潜力和价值.为促进学生运用人工智能 技术获得更多学习机会和资源，某中学七年级举行了满分为100分的“人工智能通识知识竞赛.比赛结 束后，老师对学生成绩进行统计，分为A等级（大于或等于80分），B等级（大于或等于70分但小于 80分)，C等级（大于或等于60分但小于70分），D等级（小于60分），并随机抽取了m名参赛学生的 成绩作为样本，整理绘制成如下不完整的统计图表， 成绩等级 频数 A 20 B 32 a D b B 0% C 20% 请根据以上图表提供的信息，解答下列问题： (1)m=,n=,a=,b=: (2)七年级共有1800名学生参加比赛，请你估计成绩不低于60分的学生人数. (3)针对本次统计的结果，你对D等级的同学提出至少一条合理化建议， 试题第6页（共8页） 6学科网·上好课 23.(10分)【初步认识】 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,若∠A=70°，则∠ABC+∠ACB=: ∠BPC=; 【继续探索】 (2)如图2，∠ABE,∠ACB的平分线BF,CF相交于点F,若∠A=70°，∠BEC=130°，求∠BFC的度 数： 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠PFCB, 延长BP,NC交于点M.在△BMN中，有一个内角为30°，直接写出∠A的度数. 试题第7页（共8页） 24.（12分)某校为表彰在“书香校园活动”中的先进班集体，请一家公司制作活动的展板，宣传册和横幅.在 .. 沟通过程中获取如下信息： 信息1：宣传册的数量（本）是展板（个）的5倍： 信息2：制作1个展板需1小时，制作1本宣传册需12分钟，制作1个横幅需30分钟.制作三种产品共需a 小时； 信息3：制作1个展板可获利60元，制作1本宣传册可获利3元，制作1个横幅可获利20元.该公司为该 校本次活动制作的三种产品共可获利960元. 解决问题： O 兵 (1)设学校准备制作展板的数量为x,制作横幅的数量为y,直接用含有x,y的式子表示制作三种产品 张 的总时间和制作三种产品的总利润： (2)当a=25时，求制作三种产品的总件数. 河 (3)若该校制作的产品总件数不少于57，但又不超过66，试说明共有几种制作方案. 烯 厨 世 试题第8页（共8页） 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七下全册+八上第13章三角形 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．（3分）下列实数中是无理数的是（     ） A．3.14 B． C． D． 2．（3分）下列调查中，选用的调查方式合理的是（    ） A．统计全班45名学生的身高，选择抽样调查 B．检测同一批次一万架无人机的使用寿命，计划采用全面普查 C．了解全省中小学生的睡眠时间大致情况，打算采用全面普查 D．了解全市三万名14周岁学生的身高大致情况，选用科学的抽样调查 3．（3分）下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（3分）等腰三角形周长为，一边长为，该等腰三角形的底边长为（     ） A． B． C．或 D． 5．（3分）如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 6．（3分）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？为解决此问题，设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 7．（3分）如图，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（3分）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于85”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（  ） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 10．（3分）定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）的负的平方根是______． 12．（3分）非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了如图的三角形结构．这其中蕴含的数学原理是_____． 13．（3分）统计某班同学的身高（单位：），得到的数据中，最小值是149，最大值是178，取组距为5，可将数据分为_________组． 14．（3分）在平面直角坐标系中，已知，平移线段至（A与C对应），使得C，D两点都在坐标轴上，此时，C点坐标为______． 15．（3分）已知方程组：的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，方程组的解也是方程的解；③当时，；④若，则；其中正确的是______（填写正确选项的番号）． 16．（3分）如图，已知，点在上，点在和之间，点在下方，；点在上，点在的延长线上，．设，则的度数用含的式子表示为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。 17．（8分）计算 (1)计算：； (2)解方程组：． 18．（8分）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 19．（8分）如图，在中，．求的度数． 20．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知图中A，B，C三点都是格点，且，．请仅用无刻度的直尺在给定网格中作图： (1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标 ； (2)将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为． ①在网格中画出三角形（点与对应，点与对应）； ②如图，若线段与一水平网格线交于点，直接写出点的坐标 ；画点使，且． 21．（8分）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)证明：； (2)若，且，求的度数． 22．（10分）人工智能在中小学应用实践中正逐渐展现出其巨大的潜力和价值．为促进学生运用人工智能技术获得更多学习机会和资源，某中学七年级举行了满分为100分的“人工智能通识知识竞赛”．比赛结束后，老师对学生成绩进行统计，分为A等级（大于或等于80分），B等级（大于或等于70分但小于80分），C等级（大于或等于60分但小于70分），D等级（小于60分），并随机抽取了名参赛学生的成绩作为样本，整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩等级 频数 A 20 B 32 C a D b 请根据以上图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____，_____； (2)七年级共有1800名学生参加比赛，请你估计成绩不低于60分的学生人数． (3)针对本次统计的结果，你对D等级的同学提出至少一条合理化建议． 23．（10分）【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 24．（12分）某校为表彰在“书香校园活动”中的先进班集体，请一家公司制作活动的展板，宣传册和横幅．在沟通过程中获取如下信息： 信息：宣传册的数量（本）是展板（个）的倍； 信息：制作个展板需小时，制作本宣传册需分钟，制作个横幅需分钟．制作三种产品共需小时； 信息：制作个展板可获利元，制作本宣传册可获利元，制作个横幅可获利元．该公司为该校本次活动制作的三种产品共可获利元． 解决问题： (1)设学校准备制作展板的数量为，制作横幅的数量为，直接用含有，的式子表示制作三种产品的总时间和制作三种产品的总利润； (2)当时，求制作三种产品的总件数． (3)若该校制作的产品总件数不少于，但又不超过，试说明共有几种制作方案． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学·全解全析 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．（3分）下列实数中是无理数的是（     ） A．3.14 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：3.14，，，中，只有是无理数，其余都是有理数. 2．（3分）下列调查中，选用的调查方式合理的是（    ） A．统计全班45名学生的身高，选择抽样调查 B．检测同一批次一万架无人机的使用寿命，计划采用全面普查 C．了解全省中小学生的睡眠时间大致情况，打算采用全面普查 D．了解全市三万名14周岁学生的身高大致情况，选用科学的抽样调查 【答案】D 【详解】解：统计全班45名学生的身高，调查范围小，适合全面普查，A不合理； 检测无人机使用寿命的调查具有破坏性，不适合全面普查，B不合理； 了解全省中小学生的睡眠时间，调查范围大，全面普查成本过高，适合抽样调查，C不合理； 了解全市三万名14周岁学生的身高情况，调查范围大，适合抽样调查，D合理． 3．（3分）下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】考查不等式的基本性质，根据不等式性质结合平方数的非负性，逐个判断命题真假即可． 【详解】解：A、∵，当时，，不满足 ，∴A是假命题； B、∵，可得，根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变 ∴，B是真命题； C、举反例，若，，满足，但， ∴C是假命题； D、当时，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，不满足 ，∴D是假命题． 4．（3分）等腰三角形周长为，一边长为，该等腰三角形的底边长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，分为腰长和底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断，舍去不能构成三角形的情况即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 当为腰长时， 底边长为， ∵ ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴ 此种情况舍去； ② 当为底边长时，腰长为， ∵ ，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴ 该等腰三角形的底边长为．. 5．（3分）如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 6．（3分）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？为解决此问题，设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查二元一次方程组的应用，找准等量关系正确的列出方程是解题的关键． 设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，根据题意列方程组即可． 【详解】解：设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步， 根据题意得：， 故选：A． 7．（3分）如图，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，进而求出的面积；根据及已知面积相等关系，求出的面积，最后利用求解． 【详解】解：，且与等高， ，即点是的中点， ， ，， ， ， ． 8．（3分）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于85”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了程序框图，一元一次不等式组的应用，根据第一次不停止、第二次停止列不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：设输入的为x， 由题意知， 解得：， 故选：B． 9．（3分）如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】分时和时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质，列式计算即可． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：， ， 则 当时，如图，则， 由折叠性质得：，， ∴ ∵ ∴ 当时，如图，则， ， ∴ 综上，的度数为或或 10．（3分）定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查了二元一次方程组的应用，先由，，，在平面直角坐标系描点，求出面积，然后列出方程组，再解方程组即可，熟练掌握格点三角形的面积公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：由，，，在平面直角坐标系描点， ∴ ， ∴， 解得， ∴三角形内部格点的个数为， 故选：． 二、填空题（共18分） 11．（3分）的负的平方根是______． 【答案】 【分析】考查了求一个数的平方根，可得，求出的负的平方根即可． 【详解】解：， ， 的负的平方根是， 故答案为：． 12．（3分）非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了如图的三角形结构．这其中蕴含的数学原理是_____． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】主要考查了三角形的稳定性．伞柄、伞骨和支撑条共同形成了三角形结构，根据三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：伞柄、伞骨和支撑条共同形成了三角形结构，这蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 13．（3分）统计某班同学的身高（单位：），得到的数据中，最小值是149，最大值是178，取组距为5，可将数据分为_________组． 【答案】 【分析】利用最大值与最小值的差，除以组距即可，注意小数部分要进位． 【详解】解：， 则可将数据分为6组． 14．（3分）在平面直角坐标系中，已知，平移线段至（A与C对应），使得C，D两点都在坐标轴上，此时，C点坐标为______． 【答案】或 【分析】主要考查平面直角坐标系中图形的平移，熟练掌握平移性质（对应点坐标变化量相等） 与坐标轴上点的坐标特征是解题关键，分两种情形：在轴且在轴，或在轴且在轴 ．利用平移性质（对应点坐标变化量相同），结合坐标轴上点的坐标特征（轴上点纵坐标为，轴上点横坐标为 ）列方程求解． 【详解】解： 情形一：在轴，在轴 设， ∵ ，，平移时横、纵坐标变化量相同 ∴ 横坐标变化：；纵坐标变化： 解得，，即 情形二：在轴，在轴 设， ∵ ，，平移时横、纵坐标变化量相同 ∴ 横坐标变化：；纵坐标变化： 解得，，即 故答案为：或 ． 15．（3分）已知方程组：的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，方程组的解也是方程的解；③当时，；④若，则；其中正确的是______（填写正确选项的番号）． 【答案】①④ 【分析】先解出二元一次方程组得，再根据为正数，为非负数判断①，把代入可判断②，将代入可判断③，根据不等式的性质可判断④． 【详解】解：由得， 为正数，为非负数， ， ，故①正确； 当时，，， 此时，故②错误， 由①可得时，故③错误； 若，则， ∴， ∴即，故④正确； 故答案为：①④． 16．（3分）如图，已知，点在上，点在和之间，点在下方，；点在上，点在的延长线上，．设，则的度数用含的式子表示为________． 【答案】 【分析】过点作，利用平行线的性质与角之间的等量关系，利用等量代换求解即可． 【详解】解：过点作，设与的交点为， ， ∵， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 即． 三、解答题（共72分） 17．（8分）计算 (1)计算：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算二次根式的乘法、化简绝对值，再计算加减法即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 得：， 得：，即， 解得， 将代入得：， 解得， 所以方程组的解为． 18．（8分）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，如图： 【分析】考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得： ， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 19．（8分）如图，在中，．求的度数． 【答案】 【分析】考查的是三角形内角和定理，垂直的定义，先根据可知，再根据三角形的内角和定理求出与的度数，由即可得出结论． 【详解】解：， ， ，， 又， ∴， ． 20．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知图中A，B，C三点都是格点，且，．请仅用无刻度的直尺在给定网格中作图： (1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标 ； (2)将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为． ①在网格中画出三角形（点与对应，点与对应）； ②如图，若线段与一水平网格线交于点，直接写出点的坐标 ；画点使，且． 【答案】(1)解：建立直角坐标图如下：点的坐标． (2)①如图：即为所求； ②，如图：点即为所求． 【分析】（1）先根据、两点的位置建立平面直角坐标系，再直接确定点B的坐标即可； （2）先确定平移方式，然后再根据平移方式作出即可；②根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为， ∴三角形向右平移3个单位，向上平移1个单位得到三角形， 作图略 ②如图：∵，， ∴点C向右平移4个单位，向下平移3个单位得到点B， ∵点E是点C向下平移1个单位得到的，点E在上， ∴点E是点C向右平移个单位得到的， ∴点E的纵坐标为1，横坐标为：，即； 图略． 21．（8分）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)证明：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由同位角相等、两直线平行可得，即，进而得到，最后利用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论； （2）由（1）可得，则，进而得到，再利用三角形内角和定理、对顶角相等列关于的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得， ∴， ∵， ∴，即 ∵，， ∴，解得：． 22．（10分）人工智能在中小学应用实践中正逐渐展现出其巨大的潜力和价值．为促进学生运用人工智能技术获得更多学习机会和资源，某中学七年级举行了满分为100分的“人工智能通识知识竞赛”．比赛结束后，老师对学生成绩进行统计，分为A等级（大于或等于80分），B等级（大于或等于70分但小于80分），C等级（大于或等于60分但小于70分），D等级（小于60分），并随机抽取了名参赛学生的成绩作为样本，整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩等级 频数 A 20 B 32 C a D b 请根据以上图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____，_____； (2)七年级共有1800名学生参加比赛，请你估计成绩不低于60分的学生人数． (3)针对本次统计的结果，你对D等级的同学提出至少一条合理化建议． 【答案】(1)80，15，16，12 (2)1530人 (3)积极学习人工智能相关知识，多背诵基础知识点，主动向老师和A级同学请教，逐步提升竞赛成绩（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）用B等级的人数除以所占的比例求出的值，用乘以C等级所占的百分比求出的值，根据频数之和等于总数，求出的值，再用频数除以总数求出的值； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）根据结果，提出合理建议即可. 【详解】（1）解：， ， ， ，故； （2）解：（人）； 答：估计成绩不低于60分的学生人数为人； （3）略 23．（10分）【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 24．（12分）某校为表彰在“书香校园活动”中的先进班集体，请一家公司制作活动的展板，宣传册和横幅．在沟通过程中获取如下信息： 信息：宣传册的数量（本）是展板（个）的倍； 信息：制作个展板需小时，制作本宣传册需分钟，制作个横幅需分钟．制作三种产品共需小时； 信息：制作个展板可获利元，制作本宣传册可获利元，制作个横幅可获利元．该公司为该校本次活动制作的三种产品共可获利元． 解决问题： (1)设学校准备制作展板的数量为，制作横幅的数量为，直接用含有，的式子表示制作三种产品的总时间和制作三种产品的总利润； (2)当时，求制作三种产品的总件数． (3)若该校制作的产品总件数不少于，但又不超过，试说明共有几种制作方案． 【答案】(1)总时间为小时，总利润为元 (2) (3)种 【分析】（1）先根据题干信息得到宣传册数量为，统一时间单位后，根据时间和利润的计算方法列出代数式； （2）根据给定的值和总利润列二元一次方程组，求解得到后计算总件数； （3）根据总利润得到的关系式，结合总件数的取值范围列不等式，根据为正整数确定符合条件的方案数． 【详解】（1）解：由题意得，宣传册的数量为本． 统一时间单位：分钟小时，分钟小时．总时间为：（小时）． 总利润为：（元）． （2）当时， 根据题意可得方程组： 解得． 总件数为． 答：制作三种产品的总件数为． （3）由总利润为元可得， 整理得： 因为是正整数，所以必须是的倍数． 设总件数为，则： 由题意得， 即： 解不等式得． 在范围内， 满足是的倍数的正整数为和，对应的分别为和，均为正整数，符合要求． 因此共有种制作方案． 答：共有种制作方案． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空题 （ 本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分． ） 1 1 ． ____________________ 1 2 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ 1 5 ． ____________________ 1 6 ． ____________________ 三 、解答题 （ 本题共 8 小题，共 72 分．第1 7 - 18 题 每题 8 分， 第 19 -2 1 题每题8 分 ，第 22 -2 3 题每题 10分 ，第2 4 题 12分 ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 7 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ．（ 8 分） 1 9 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 8 分） 21 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $