周练（二十）计数原理、概率、随机变量及其分布列-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 聚焦计数原理与概率统计模块，以题组形式构建从基础到综合的知识网络，强化数学建模与数据分析能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计数原理|3题|二项式定理应用、涂色问题|从展开式系数到实际计数问题，构建"公式-模型-应用"链条| |概率基础|4题|独立事件、条件概率、古典概型|通过生活情境渗透概率思想，培养随机观念| |随机变量|3题|二项分布、正态分布、期望方差|实现"分布列-数字特征-决策分析"的完整应用| |综合应用|2题|方案决策、比赛模型|融合多个知识点，发展数学建模与逻辑推理能力|

周练(二十)　计数原理、概率、随机变量及其分布列 1.B　因为(x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，令x＝－1得a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－2)4＝16，故选B. 2．D　若三个场地分别承担2，2，2个项目，则有＝72(种)安排；若三个场地分别承担1，2，3个项目，则有＝264(种)安排；若三个场地分别承担1，1，4个项目，则有＝54(种)安排，综上，不同的安排方法共有72＋264＋54＝390(种)，故选D. 3．C　∵甲乙中恰有一人中靶，∴事件包含两种情况：①甲中靶乙未中靶；②乙中靶甲未中靶，设情况①的概率为P1，情况②的概率为P2，∵甲的中靶概率为0.7，乙的中靶概率为0.8，∴P1＝0.7×(1－0.8)＝0.14，P2＝(1－0.7)×0.8＝0.24，∴P＝P1＋P2＝0.14＋0.24＝0.38.故选C. 4．D　假设运动鞋的左脚为L1，右脚为R1，凉鞋的左脚为L2，右脚为R2，则选出两只鞋包含了(L1，R1)，(L1，L2)，(L1，R2)，(R1，L2)，(R1，R2)，(L2，R2)6种，其中事件A包含了(L1，L2)，(L1，R2)，(R1，L2)，(R1，R2)4种，事件包含了(L1，R1)，(L2，R2)2种，事件B包含了(L1，L2)，(R1，R2)2种，故B⊆A，则A错误；P＝，P(B)＝，P(AB)＝P(B)＝，P＝0，故B、C错误；P＝P＋P(B)－P＝，故D正确． 5．A　X～B(n，0.8)，Pk＝P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，若Pk是唯一的最大值，则所以解得<n<.因为k＝7，p＝0.8，∴7.75<n<9，∵n∈N，∴n＝8.∴D(X)＝np(1－p)＝8×0.8×(1－0.8)＝1.28.故选A． 6．D　设事件Q为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”，事件R为“乙从A箱中取出2道代数题”，则P(R)＝，事件S为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”，则P(S)＝，事件T为“乙从A箱中取出2道几何题”，则P(T)＝＝1－＝1－＝1－.由全概率公式可得P(Q)＝P(R)P(Q|R)＋P(S)P(Q|S)＋P(T)P(Q|T)＝，故选D. 7．ABC　记事件A1：从甲袋中任取1个球为红球，事件A2：从乙袋中任取1个球为红球，则P(A1)＝＝＝P(A1)P(A2)＝，所以A正确；对于B选项，即求事件A1A2的概率，P＝P(A1)P＋PP(A2)＝＋，所以B正确；对于C选项，由于“都是红球”与“不都是红球”互为对立事件，所以概率为1－P(A1A2)＝1－，C正确；对于D选项，即求事件的概率，P＝＝，所以D错误． 8．AD　对选项A：在N(μ，σ2)中，μ为平均数，正确；对选项B：方差为σ2＝16，错误；对选项C：183＝μ＋2σ，则身高超过183 cm的概率P＝<0.03，错误；对选项D：正态曲线关于直线x＝175对称，所以身高超过180 cm的概率与身高不超过170 cm的概率相等，正确． 9．解析：按照使用颜色的种类分类，第一类：使用了4种颜色，2，4同色，或3，5同色，则共有＝48(种)，第二类：使用了三种颜色，2，4同色且3，5同色，则共有＝24(种)，所以共有48＋24＝72(种)． 答案：72 10．解析：二项式6的展开式的通项公式为：Tr＋1＝，令6－r＝0，求得r＝4，所以展开式的常数项为(－1)4＝15. 答案：15 11．解：(1)记事件A：单个家庭补助不低于1100元/月， 事件B：单个家庭共生育2个婴儿， 则P(A)＝，P(AB)＝， P(B|A)＝. (2)记根据补贴方案一每月所得的补贴额为Y1，根据补贴方案二每月所得的补贴额为Y2， E(Y1)＝0×＝600， E(Y2)＝0×＝700， E(Y1)<E(Y2)，故采用补贴方案二的补贴额更高． 12．解：(1)小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为p(1－p)2. 所以p(1－p)2＝，即27p3－54p2＋27p－4＝0， 则(3p－1)2(3p－4)＝0，所以p＝，或p＝(舍去)．则p＝. (2)定义事件Aij：小勇与小勤比分为i∶j，Bi：小勇最终得分为i，则i的可能取值为：0，1，2， P(B0)＝P(A02)＝P(A01)＝， P(B1)＝P(A12)＝P(A11)＝P(A01) ＝×[]＝； P(B2)＝1－P(B0)－P(B1)＝； 则小勇的得分X的分布列为： X 0 1 2 P E(X)＝0×. (3)当包括换下时间时，每局比赛花1.5分钟或2分钟结束， 则6分钟内小勇与小勤打了完整两局，小勇与小忠打了完整一局，另一局可能是完整的． ①小勇与小勤打2分钟时， 先赢一球，再主动认输，再赢一球的概率最高，为； ②小勇与小勤打1.5分钟时，连赢两球，其概率为； ③小勇与小忠打2分钟时，赢一球，再主动认输，再赢一球的概率最高，为； ④小勇与小忠打1.5分钟时，连赢两球，其概率为； 小勇与小忠最后一颗球所用时间由前三局决定，前三局有k局1.5分钟结束， 则最后一局打0.5k分钟，其中k＝0，1，2，3. 若小勇与小忠第一局打了1.5分钟，则最后一局多一颗球，多加一场要留在场上的概率≤1， 故认为概率最大时，小勇与小忠第一局打了2分钟，即k≤2. k＝2时，则第四局小勇可以连输两球，此时p＝； k＝1时，小勇最后1球可不赢，此时，p＝； k＝0时，p＝<； 综上，最大概率为，最佳状态是与小勤打2局：每局均1.5分钟，均获胜， 同时与小忠至少打两局：第一局为2分钟，获胜． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周练(二十)　计数原理、概率、随机变量及其分布列 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若(x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(　　) A．－1 B．16 C．15 D．1 2．第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有(　　) A．462种 B．300种 C．402种 D．390种 3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.7，乙的中靶概率为0.8，则甲、乙中恰有一人中靶的概率为(　　) A．0.7 B．0.8 C．0.38 D．0.56 4．现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件A＝“取出的鞋不成双”；B＝“取出的鞋都是同一只脚”．则下列结论中正确的是(　　) A．A⊆B B．P(B)＝ C．P＝ D．P＝ 5．某人在n次射击中击中目标的次数为X，且X～B(n，0.8)，记Pk＝P(X＝k)，k＝0，1，2，…，n，若P7是唯一的最大值，则D(X)的值为(　　) A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 6．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题(不放回)作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为(　　) A． B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．甲袋中有20个红球10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别．现在从两袋中各取出1个球，下列结论正确的是(　　) A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．不都是红球的概率为 D．都不是红球的概率为 8．已知某校高二男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(175，16)，且P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，则(　　) A．该校高二男生的平均身高是175 cm B．该校高二男生身高的方差为4 C．该校高二男生中身高超过183 cm的人数超过总数的3% D．从该校高二男生中任选一人，身高超过180 cm的概率与身高不超过170 cm的概率相等 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答) 10．二项式6的展开式的常数项等于________． 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭 生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况． (1)若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； (2)试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高． 12．(15分)小忠、小勇、小勤三人进行乒乓球运动，赢一球得1分，输球不得分．每局先得2分者获胜，此局结束，负者换下．每一颗球，小忠胜小勇的概率为p(0<p<1)，小勇胜小勤的概率为(其中k是每局中前一颗球打完时小勇得分减去小勤得分的值，规定：打第一颗球时k＝0)．小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为. (1)求p； (2)若小勇与小勤打了一局，求小勇的得分X的分布列和数学期望； (3)若小勇和小勤首先上场打球，假设打每颗球和换人的用时均为30秒，小勇可以主动认输，认输也会用时30秒(也算作在场上)，认输后在下一颗球中，小勇胜小勤的概率为，其他两人不能主动认输．小勇要在接下来的6分钟时间(含第6分钟)使自己一直在场上的概率最大，他应该努力达成何种状态，说明其状态并求出最大概率． 学科网（北京）股份有限公司 $