专题03 空间向量及其运算13大题型（期中专项训练）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题03 空间向量及其运算 基础·固本强基 题型 1 空间向量基底的判断 题型 2 空间向量线性运算 题型 3 四点共面判定 题型 4 投影向量计算 提升·进阶突破 题型 5 空间向量数量积、求向量模长 题型 6 异面直线所成角 题型 7 向量命题正误辨析综合 拔高·压轴破难 题型 8 向量条件转化动点轨迹 题型 9向量条件下线段长度、模的最值问题 题型 10 外接球、重心、分点结合向量综合 题型 11 折叠背景下空间向量运算 题型 12 向量与几何体体积综合 题型 13 多条件开放性解答 2 / 53 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 空间向量基底的判断 【模型】 三个向量不共面才能构成空间一组基底；若存在实数，则三向量共面，不能做基底。 【步骤】 ①假设三个向量共面，列出线性组合等式； ②根据空间向量基本定理看方程组是否有解； ③无解⇒不共面，可以作为基底；有解⇒共面，不能作为基底。 1．（期中，河南）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，，共面； 对于B，因为，所以，，共面； 对于C，因为，所以，，共面； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数，使得成立， 由空间向量基本定理得：， 方程组无解，所以，，不共面. 2．（期中，福建）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程组，结合方程组的解，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A，假设，，共面，则存在不全为0的实数，使得， 因为为空间的一个基底，所以 ，该方程组无解，假设不成立， 所以，，不共面，能构成空间的一个基底； 对于B，假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，使得， 该式显然不成立，所以向量，，不共面，能构成空间的一个基底； 对于C，假设，，共面，则存在不全为0的实数，使得，则 ，解得 ， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底； 对于D，若，，共面，则存在不全为0的实数，使得，则 ，该方程组无解， 所以，，不共面，能构成空间的一个基底． 题型 2 空间向量线性运算 【模型】利用三角形法则、平行六面体法则，把目标向量拆解成已知基底的线性组合。 【步骤】 ①选定图形中的一组基底； ②向量分解：加法首尾相接，减法指向被减向量； ③整理写成形式。 1．（期中，安徽）如图，在三棱柱中，点在棱上，为的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由图可得：， 故选:A． 2．（期中，安徽）已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算的几何表示可得. 【详解】 如图，， 故选：A 3．（期中，福建）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 4．（期中，安徽）如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，. (1)用、、表示； (2)证明：、、、四点共面. 【答案】(1) (2) 法1：连接， 易知，， 故，得、、、四点共面； 法2：； 故，得、、、四点共面； 法3：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 易得，，，， 得，， 故有，， 得、、、四点共面． 【分析】（1）由向量的线性表示即可求解； （2）法1：由题可得，，进而得到即可证明；法2：根据向量的线性运算可得即可证明；法3：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可． 【详解】（1）； （2）略 题型 3 四点共面判定 【模型】 若P,A,B,C四点共面，则对空间任意一点O：。 【步骤】 ①把式子整理成； ②检验系数之和是否等于1。 1．（期中，安徽）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中四点共面的向量定理可求得的值. 【详解】由，得， 所以，动点在所在平面内运动，可知四点共面， 由空间中四点共面的向量定理可知，，解得， 故选：D. 2．（期中，河南）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用向量的减法运算和空间向量基本定理即可求出. 【详解】因点在平面内，则使得， 则， 即， 因是平面外一点，则不共面， 则由以及空间向量基本定理可知， ，得. 故选：B 3．（期中，安徽）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由四点共面，得与共面，利用共面向量定理列方程组求解即得． 【详解】因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面， 而、不共线，则存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得． 故选：D. 4．（期中，福建）下列结论正确的是（   ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 B．已知向量，则向量在上的投影向量为 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．若是空间的一组基底，若．知也是空间的一组基底 【答案】CD 【分析】利用空间位置关系的向量证明判断A；求出投影向量判断B；利用共面向量定理的推论判断C；利用基底的意义判断D. 【详解】对于A，由，得或，A错误； 对于B，向量在上的投影向量为，B错误； 对于C，由及共面向量推理的推论，得四点共面，C正确； 对于D，假定共面，则，即， 因此共面与是空间的一组基底矛盾，则不共面，D正确. 故选：CD 5．（期中，安徽）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 题型 4 投影向量计算 【模型】方向上的投影向量：；投影数量：。 【步骤】 ①计算数量积； ②代入公式得到投影向量 / 投影数量。 1．（期中，河南）若向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量的公式进行求解． 【详解】在方向上的投影向量为： ， 故选：D 2．（期中，河南）已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用在上的投影向量公式计算求解. 【详解】在上的投影向量为 故选：B. 3．（期中，安徽）已知，则在上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用投影向量公式结合数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】由题意可得． 故选：A. 4．（期中，福建）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，设向量的夹角为， 所以，可得， 解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为． 故选：C. 5．（期中，安徽）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．若空间向量，则在上的投影向量为 B．若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 【答案】AC 【分析】根据空间向量投影向量的求法判断A；根据向量夹角的取值范围及相应余弦值的范围判断B；由直线的方向向量与平面的法向量平行，可判断C；由空间向量基本定理及线性运算法则判断D. 【详解】对于A，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，当向量共线且同向时，也成立，但与的夹角不为锐角，故B错误； 对于C，由，即，故，故C正确； 对于D，因为向量以为基底时的坐标为，所以． 设向量以为基底时的坐标为， 则， 即. 所以，解得 所以以为基底时的坐标为．故D错误. 故选：AC． 6．（期中，福建）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）． A．任意向量，满足 B．若三个非零空间向量满足，则有 C．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若空间向量，则在上的投影向量为 【答案】CD 【分析】根据空间向量的相关知识逐个选项分析即可. 【详解】对于选项，向量的数量积不满足结合律，是一个数，是与共线的向量， 是一个数，是与共线的向量，与不一定相等，故错误. 对于选项，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，例如：在正方体中，从同一顶点出发的三条棱两两垂直，但三条棱并不平行，故错误. 对于选项，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， ，直线l的一个方向向量与平面的一个法向量共线， 直线l垂直于平面，即，故正确. 对于选项，空间向量， 则在上的投影向量为，故正确. 故选：. 7．（期中，河南）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为_____. 【答案】 【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模的计算公式，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量， 其模为， 故答案为：. 提升·进阶突破 题型 5 空间向量数量积、求向量模长 【模型】；平行六面体、四面体中，已知基底模与夹角，求向量长度。 【步骤】 ①把目标向量用基底展开； ②平方：，展开数量积； ③代入模、夹角，开方得到模长。 1．（期中，安徽）已知平面与平面所成的二面角的大小为，，且，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由，两边平方，根据向量数量积的运算性质求解. 【详解】∵平面与平面所成的二面角的大小为，， ∴的夹角为，， ， 因为， 所以 ， 故. 故选：A. 2．（期中，安徽）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为_______ 【答案】 【分析】以为空间向量的一组基底，，利用空间向量的加法、减法、数量积运算即可求解. 【详解】    以为空间向量的一组基底， 则， 所以 ， 所以. 故答案为：. 3．（期中，安徽）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理可将用向量、、表示； （2）由题意得出结合空间向量数量积的运算性质得出关于的值，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）由题意可得 . （2） ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 4．（期中，河南）如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 【答案】(1)，如图所示 (2) 【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则以及向量的运算法则化简，再根据向量关系在图中标出对应向量， （2）先对向量式子进行变形，再利用正三棱柱的性质和勾股定理求解. 【详解】（1）因为是的中点，所以； 所以；在图中标出，如图所示    （2）取中点，连接，所以； 所以； 因为在正三棱柱中，所以 所以. 5．（期中，安徽）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.    (1)求的长； (2)证明：. 【答案】(1)； (2) 由（1）知， 在菱形中，， 所以 ， 所以，即. 【分析】（1）由，根据已知及向量数量积的运算律求向量的模长； （2）由（1）及，应用向量数量积的运算律求，即可证. 【详解】（1）以为一个基底， 由题意知， 又， 所以 ， 所以； （2）略 6．（期中，福建）如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设． (1)用表示； (2)求； (3)求的长． 【答案】(1) (2)-9 (3) 【分析】（1）根据空间向量加法的三角形法则，可将用基底表示； （2）借助第一问的结论，根据向量的数量积运算法则求得； （3）用基底表示，根据，并结合正四面体的性质，可以求得的长. 【详解】（1） . （2）因为，由（1）知， 所以 . （3） . 题型 6 异面直线所成角 【模型】取两条直线方向向量，异面角，结果取绝对值。 【步骤】 ①用基底表示两条异面直线的方向向量； ②计算数量积与模长； ③加绝对值求余弦，得到异面直线夹角。 1．（期中，河南）如图，若正方体的棱长为，为的中点，则（    ） A．与所成的角为 B． C． D．与平面所成的角为 【答案】AB 【分析】先建立空间直角坐标系，再应用异面直线的余弦公式计算判断A，应用数量积公式计算判断B，应用模长公式计算判断C，应用线面角正弦计算判断D. 【详解】以点为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，，， 所以，， 所以与所成的角为，，. 平面的一个法向量为，设与平面所成的角为， 所以，所以A，B正确，C，D错误. 故选:AB. 2．（期中，河南）如图，平行六面体的所有棱长均为1，且，，，记，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】根据题意由空间向量的加减运算即可得A正确；计算利用向量数量积即可判断B；由向量数量积计算可得，判断C；空间向量数量积公式结合向量夹角公式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，A正确； 对于B，因为，，， 所以，，， ，B正确； 对于C，又，， 所以 ，所以与不垂直，C错误； 对于D，易知， ， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD. 3．（期中，福建）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，且，. (1)求的长； (2)若和分别为和中点，求异面直线与所成的角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为空间基底，得到，结合向量数量积的运算律，即可求解； （2）根据向量的运算法则，得到，再由向量的数量积的定义，求得，进而求得异面直线与所成角. 【详解】（1）根据题意，以为基底，可得， 因为，且， 且. 所以 . 所以，所以. （2）因为和分别为和中点， 可得， ， 可得，即，所以异面直线与所成角为. 4．（期中，福建）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，，分别为，的中点.    (1)用，，表示，； (2)求直线，所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算直接表示即可； （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）在直四棱柱中， 因为底面是菱形，且，分别为，的中点， 所以，. （2）因为在直四棱柱中，平面， 所以，，即，， 因为，，所以， 所以. ， ， 所以，， 设直线与所成角的大小为，则. 所以直线与所成角的余弦值为. 5．（期中，安徽）已知在三棱柱中，，，，，记，，．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，①用，，表示，并求；②求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) 由已知四边形为平行四边形． 又，， 所以， 故，即， 所以四边形为矩形． (2)①，；②. 【分析】（1）利用向量的数量积即可求证垂直得解， （2）根据空间向量的线性运算即可求解①，利用向量的夹角公式即可求解②. 【详解】（1）略 （2）①由已知， 又，故． ， ②同理，， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 6．（期中，河南）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可； （2）利用模长公式求解即可； （3）利用向量夹角公式求解即可 【详解】（1）， ， ， （2），，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； （3）因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 7．（期中，福建）如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. (1)求AE的长; (2)求AE和BC夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在平行六面体中，由棱长及夹角，由向量运算可得，平方可得，求出数量积，可得的长； （2）先求出，进而可得的值，即可求解. 【详解】（1）在平行六面体中， 由于，则， 由题意得，，， 由于是的中点， 则， 所以， 则. （2）由， 则. 所以AE和BC夹角的余弦值为. 8．（期中，安徽）如图，在三棱锥中，．求： (1)的长； (2)异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据向量模的求法及数量积的运算法则求的长； （2）根据线面角的向量求法求解. 【详解】（1）设则 ，所以， 因为 因为，所以. 所以. 所以的长为1. （2），即， 所以 所以异面直线与所成角的余弦值为 题型 7 向量命题正误辨析综合 【模型】综合基底、共面、方向向量、法向量、投影、夹角、数量积运算，辨析命题真假，常用举反例。 【步骤】 ①逐个选项分析概念条件； ②举正方体、平行六面体反例排除错误选项。 1．（期中，安徽）下列命题正确的有（    ） A．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，若，则为钝角 D．已知直线和直线的方向向量分别为，若，则 【答案】BD 【分析】根据线面平行的判定定理，可判断A的正误；根据向量共面的定理及条件，分析即可判断B的正误；当时，可得，分析即可判断C的正误；根据直线的方向向量结合向量垂直计算可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面内，故A错误； 选项B：若为空间的一个基底，则不共面， 假设共面，则， 此时共面，与已知条件矛盾，故假设不成立， 即不共面，则可构成空间的另一个基底，故B正确； 选项C： 当时，， 此时，即，夹角为，不符合题意，故C错误； 选项D：因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为， 若，所以斜率，，故D正确； 故选：BD 2．（期中，福建）以下命题正确的有（   ） A．直线的方向向量，直线的方向向量，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．平面、的法向量分别为，，则 D．平面经过点、、，向量是平面的一个法向量，则 【答案】ACD 【分析】根据向量平行和垂直的坐标运算可判断选项,对于利用向量垂直的坐标表示列出方程，求解即可判断. 【详解】对于,因为，， 则有，所以，故正确； 对于,不存在实数，使，故与不平行， 则不成立，故错误； 对于,因为，， 则， 所以，则，故正确； 对于，因为点、、， 则, 由题,即， 解得，则，故正确. 故选：ACD. 3．（期中，安徽）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若非零向量满足，，，则有 B．若，，是空间的一组基底，且，则四点共面 C．任意向量满足 D．已知向量，，若，则为锐角 【答案】BD 【分析】根据空间向量的平行和垂直判断A；根据题意向量线性运算可得判断B；根据数量积的运算律判断C；根据向量夹角公式求解判断D. 【详解】对于A选项，若空间非零向量满足，，，则不一定平行，故A错误； 对于B选项，若、、是空间的一组基底，且， 则，即， 则四点共面，故B选项正确； 对于C选项，因为，不一定共线，故不一定成立，故C选项错误； 对于D选项，当与共线且同向时，有，即，解得（舍去） 即与不能共线且同向，故时，为锐角， 即时为锐角，故D选项正确． 故选：BD． 4．（期中，河南）下列说法正确的是（    ） A．两条不重合的直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线的方向向量分别为，若，则 D．两个不同的平面的法向量分别是，则 【答案】AD 【分析】根据空间向量中方向向量与法向量的平行、垂直关系，结合线线、线面、面面位置关系的判定定理，对每个选项逐一分析判断即可. 【详解】对于选项A，两条不重合的直线的方向向量分别是， 则，所以，故A正确； 对于选项B，直线的方向向量， 平面的法向量，则，所以，故B错误； 对于选项C，直线的方向向量分别为， 因为，所以，即，解得，故C错误； 对于选项D，两个不同的平面的法向量分别是， 则，所以，故D正确. 故选：AD 5．（期中，福建）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的性质，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系判定. 【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出； 反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确； 对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误； 对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反， 因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确； 对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内， 不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误. 故选：AC. 6．（期中，河南）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据，得到，即可判断B；根据题意得到不共面，即可判断C；根据即可判断D. 【详解】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对B，若，则，故B错误. 对C，假设共面，则， 因为向量组是空间的一个基底， 所以不存在实数，使得成立，故不共面， 即也是空间的一个基底，故C正确. 对D，因为，且， 所以四点共面，故D正确. 故选：ACD. 7．（期中，安徽）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（    ） A．不是空间的一组基底 B．不是空间的一组基底 C．向量的模是2 D．向量和的夹角为 【答案】BD 【分析】对于AB，利用共面向量定理判断，对于C，利用求解，对于D，利用向量的夹角公式计算. 【详解】假设共面，则， 所以，方程组无解，所以假设不成立， 所以空间向量不共面，所以是空间的一组基底，A错误； 假设共面，则， 即，解得， 所以三个向量共面，不是空间的一组基底，B正确； 由题意，得， 所以，C错误； ，设向量和的夹角为， 则，又，所以，D正确. 故选：BD. 拔高·压轴破难 题型 8 向量条件转化动点轨迹 【模型】给出，结合系数范围，判断P所在直线 / 平面；求点到平面距离作为线段最小值。 【步骤】 ①由共面向量定理判断动点所在平面； ②最小距离等价点到平面距离； ③向量距离公式求解。 1．（期中，安徽）如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，是四边形内一动点，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由直线与平面没有公共点得，代入配方求最值可得答案. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    设， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为直线与平面没有公共点，所以平面， 则，即，， 所以， 即当时，此时,取得最小值，最小值为. 故选：A. 2．（期中，安徽）已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】根据空间中四点共面的条件判断出P点所在的平面，进而转化为C点到该平面的距离问题可得. 【详解】如图：    取中点，则，因为， 所以点在平面内，的最小值就是三棱锥的高， 因为， 所以的面积， 设三棱锥的高为，则，所以. 故选：A. 3．（期中，安徽）已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空间向量共面定理得点M在平面ABC内，当平面ABC时，最小，利用勾股定理求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，不共线，所以，，共面，所以点M在平面ABC内， 所以当平面ABC时，最小，如图，取BC的中点D，连接AD，    则点M在AD上，且， 所以，即的最小值为. 故选：B 4．（期中，河南）已知空间向量，，，向量，其中．则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】证明出四点共面后，根据当平面时，有最小值，求出平面的一个法向量，利用点到面的距离公式求解即可． 【详解】设， 因为，所以， 所以四点共面，当平面时，有最小值． 可得，， 设平面的一个法向量，则， 取，则，所以为平面的一个法向量， 所以到平面的距离，故A正确. 故选：A． 5．（期中，安徽）已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由及已知得，，，四点共面，当平面时，有最小值，求出平面的一个法向量，应用点面距的向量求法求的最小值. 【详解】设，， 因为，则，则， 所以，，，四点共面，当平面时，有最小值. 由，，若平面的一个法向量， 则， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 所以到平面的距离. 故选：B 6．（期中，福建）如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设A关于平面的对称点为，， 则，． 设平面的法向量，则， 令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即        ①． 又，所以，即        ②． 由①②得，由可得，，， 所以， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为． 故选：C. 题型 9向量条件下线段长度、模的最值问题 【模型】动点在几何体表面 / 棱上，给出向量等式，求的取值范围、最大最小值。 【步骤】 ①建系写出动点坐标，把向量等式翻译成坐标方程； ②转化二次函数、球截面； ③结合几何体边界求值域。 1．（期中，河南）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 2．（期中，福建）已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在长方体中建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】   根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示. 设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合. 则外接球的直径长为，所以半径r=1； 所以 由P在长方体表面上运动，所以，即 所以，即 故选：B 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算. 3．（期中，河南）已知正方体，棱长为6，且，若动点满足，则动点的轨迹被正方体表面所截得的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由动点满足，得到点的轨迹是一个以点为球心，为半径的球，通过建系，确定点的坐标为，通过点到各个面的距离，确定球与各平面的公共部分，进而可求解. 【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是一个以点为球心，为半径的球，球面上的点满足， 如图1，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系； 则， 所以，所以点的坐标为， 显然点到平面､平面､平面的距离均为； 所以球与平面､平面､平面有公共部分，且与各平面的公共部分面积相同， 点到平面､平面､平面的距离均为； 所以球与平面､平面､平面没有公共部分. 设球面被平面所截得的圆半径为，则，解得. 所以球面被正方体表面所截得的截面是圆心为，半径为的圆的一部分（如图2中阴影部分）， 所以阴影部分的面积为：， 故所求截面的面积， 故选：B. 4．（期中，河南）在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记的重心为，点是的中点，点是的中点，进而求得，利用空间向量加减、数乘的几何意义，将化为，数形结合求最小值. 【详解】记的重心为，点是的中点，点是的中点，    在正三棱锥中，所以， 平面，又平面，所以，则. 又， 所以 ， 所以当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：C 5．（期中，河南）已知正方体的棱长为4，空间中的一点满足，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件求出点的轨迹方程，再利用向量坐标运算求出的表达式，最后结合点的轨迹求出其取值范围. 【详解】如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体的棱长为4，则， 设，可得，. 因为，所以， 化简得：. 由，， 得，得到， 又由，解得， 则， 得到. 故答案为： 题型 10 外接球、重心、分点结合向量综合 【模型】利用向量表示重心、中点、等分点；设球心坐标，球心到各顶点距离相等列方程求外接球半径。 【步骤】 ①重心向量关系：； ②建系设球心，利用距离相等列方程组求解半径。 1．（期中，河南）在正四面体中，，，，分别为棱，，的中点，若，，，均在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量法求出球心的坐标，计算球的半径，利用球的表面积公式即得. 【详解】如图，由正四面体的性质可知，顶点在所在平面内的投影为的重心， 连接，则在上，且. 如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.    因为，则，， 所以，，，，，， 取的中点，则， 因为,分别为棱，的中点，所以， 则，，则， 设球心的坐标为，因为，，，均在球的球面上， 所以，， 即， ， ， 解得，，，故得， 所以球的半径为， 则球的表面积为. 故选：C. 2．（期中，河南）如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（    ）    A． B．异面直线所成角的余弦值为 C． D．若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【分析】用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 3．（期中，福建）在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则______. 【答案】 【分析】设中点为，根据线面关系可得与的交点为，再根据平面向量基本定理，结合共线定理，设，求解即可. 【详解】连接如图，设中点为， ，连接，由共面可知，与平面的交点即与的交点. 因为，，，设， 则，设， 则，故， 故，解得，代入可得，即. 由重心性质可得，设， 又， 则，故，解得. 故，故. 故答案为：. 题型 11 折叠背景下空间向量运算 【模型】区间是图上的横坐标范围 —— 读出来即可，不需要证明。 【步骤】① 有图读图；② 无图则去绝对值、化分段；③ 各段分别写区间。 【易错】两个上升区间中间断开时写“(−∞,a) 和 (b,+∞)”，不能用并集符号∪连。 【模型】平面图形翻折；线段长度不变，部分向量夹角发生改变；用基底 / 建系处理距离、角度最值。 【步骤】 ①分清折叠前后不变的线段长度； ②确定折叠后向量之间的夹角； ③数量积展开求模长、最值。 1．（期中，安徽）如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折到的位置，使得二面角为，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设、得到，作，，垂足分别为点、，连接，由空间向量的线性运算得出，利用空间向量数量积的运算性质得出，结合基本不等式可求得长的最小值. 【详解】设，，则， 如图，作，，垂足分别为点、，连接，    则， 所以， 由图可知，， ，，， 所以， 当且仅当时取等号， 故的最小值为. 故选：C. 题型 12 向量与几何体体积综合 【模型】区间是图上的横坐标范围 —— 读出来即可，不需要证明。 【步骤】① 有图读图；② 无图则去绝对值、化分段；③ 各段分别写区间。 【易错】两个上升区间中间断开时写“(−∞,a) 和 (b,+∞)”，不能用并集符号∪连。 【模型】由向量共面得到点的位置，利用等体积法求三棱锥体积。 【步骤】 ①向量条件推出点所在平面； ②转换顶点，利用底面积与高求体积。 1．（期中，福建）棱长为1的正方体中，向量，若，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证得平面平面，利用共面向量定理的推论可得点平面，再利用等体积法求解. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 显然，即，向量是平面的法向量， 同理是平面的法向量，而平面，因此平面平面， 由，且，得点平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积. 故选：B 2．（期中，河南）已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是___________． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理得到，结合四点共面性质得到在平面内存在一点，使得，继而得到，利用三棱锥体积的性质进行求解即可. 【详解】因为，，， ， 所以， 即， 两边同时乘以得， 因为，所以在平面内存在一点，使得成立， 所以，即， . 故答案为：. 题型 13 多条件开放性解答 【模型】给出垂直、模长、共线多个约束条件，解空间向量坐标，有多组解。 【步骤】 ①设向量坐标，列出方程组； ②完整求出全部解，不要漏解。 1．（期中，福建）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直.　 （1）求向量的坐标； （2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)或；(2). 【详解】试题分析：（1）设，结合空间向量的运算法则及模长公式，列出方程组，即可求出的坐标；（2）根据数量积运算公式可得，根据空间向量夹角公式可得余弦值. 试题解析：（1）设，则由题可知解得或 所以或. （2）因为向量与向量共线，所以.　 又，，所以，， 所以，且，， 所以与夹角的余弦值为. $专题03 空间向量及其运算 基础·固本强基 题型 1 空间向量基底的判断 题型 2 空间向量线性运算 题型 3 四点共面判定 题型 4 投影向量计算 提升·进阶突破 题型 5 空间向量数量积、求向量模长 题型 6 异面直线所成角 题型 7 向量命题正误辨析综合 拔高·压轴破难 题型 8 向量条件转化动点轨迹 题型 9向量条件下线段长度、模的最值问题 题型 10 外接球、重心、分点结合向量综合 题型 11 折叠背景下空间向量运算 题型 12 向量与几何体体积综合 题型 13 多条件开放性解答 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 空间向量基底的判断 【模型】 三个向量不共面才能构成空间一组基底；若存在实数，则三向量共面，不能做基底。 【步骤】 ①假设三个向量共面，列出线性组合等式； ②根据空间向量基本定理看方程组是否有解； ③无解⇒不共面，可以作为基底；有解⇒共面，不能作为基底。 1．（期中，河南）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（期中，福建）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型 2 空间向量线性运算 【模型】利用三角形法则、平行六面体法则，把目标向量拆解成已知基底的线性组合。 【步骤】 ①选定图形中的一组基底； ②向量分解：加法首尾相接，减法指向被减向量； ③整理写成形式。 1．（期中，安徽）如图，在三棱柱中，点在棱上，为的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 2．（期中，安徽）已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（期中，福建）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 4．（期中，安徽）如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，. (1)用、、表示； (2)证明：、、、四点共面. 题型 3 四点共面判定 【模型】 若P,A,B,C四点共面，则对空间任意一点O：。 【步骤】 ①把式子整理成； ②检验系数之和是否等于1。 1．（期中，安徽）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 2．（期中，河南）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（期中，安徽）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（期中，福建）下列结论正确的是（   ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 B．已知向量，则向量在上的投影向量为 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．若是空间的一组基底，若．知也是空间的一组基底 5．（期中，安徽）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    题型 4 投影向量计算 【模型】方向上的投影向量：；投影数量：。 【步骤】 ①计算数量积； ②代入公式得到投影向量 / 投影数量。 1．（期中，河南）若向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（期中，河南）已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（期中，安徽）已知，则在上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（期中，福建）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 5．（期中，安徽）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．若空间向量，则在上的投影向量为 B．若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 6．（期中，福建）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）． A．任意向量，满足 B．若三个非零空间向量满足，则有 C．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若空间向量，则在上的投影向量为 7．（期中，河南）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为_____. 提升·进阶突破 题型 5 空间向量数量积、求向量模长 【模型】；平行六面体、四面体中，已知基底模与夹角，求向量长度。 【步骤】 ①把目标向量用基底展开； ②平方：，展开数量积； ③代入模、夹角，开方得到模长。 1．（期中，安徽）已知平面与平面所成的二面角的大小为，，且，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 2．（期中，安徽）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为_______ 3．（期中，安徽）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 4．（期中，河南）如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 5．（期中，安徽）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.    (1)求的长； (2)证明：. 6．（期中，福建）如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设． (1)用表示； (2)求； (3)求的长． 题型 6 异面直线所成角 【模型】取两条直线方向向量，异面角，结果取绝对值。 【步骤】 ①用基底表示两条异面直线的方向向量； ②计算数量积与模长； ③加绝对值求余弦，得到异面直线夹角。 1．（期中，河南）如图，若正方体的棱长为，为的中点，则（    ） A．与所成的角为 B． C． D．与平面所成的角为 2．（期中，河南）如图，平行六面体的所有棱长均为1，且，，，记，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 3．（期中，福建）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，且，. (1)求的长； (2)若和分别为和中点，求异面直线与所成的角. 4．（期中，福建）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，，分别为，的中点.    (1)用，，表示，； (2)求直线，所成角的余弦值. 5．（期中，安徽）已知在三棱柱中，，，，，记，，．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，①用，，表示，并求；②求异面直线与所成角的余弦值． 6．（期中，河南）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 7．（期中，福建）如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. (1)求AE的长; (2)求AE和BC夹角的余弦值. 8．（期中，安徽）如图，在三棱锥中，．求： (1)的长； (2)异面直线与所成角的余弦值． 题型 7 向量命题正误辨析综合 【模型】综合基底、共面、方向向量、法向量、投影、夹角、数量积运算，辨析命题真假，常用举反例。 【步骤】 ①逐个选项分析概念条件； ②举正方体、平行六面体反例排除错误选项。 1．（期中，安徽）下列命题正确的有（    ） A．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，若，则为钝角 D．已知直线和直线的方向向量分别为，若，则 2．（期中，福建）以下命题正确的有（   ） A．直线的方向向量，直线的方向向量，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．平面、的法向量分别为，，则 D．平面经过点、、，向量是平面的一个法向量，则 3．（期中，安徽）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若非零向量满足，，，则有 B．若，，是空间的一组基底，且，则四点共面 C．任意向量满足 D．已知向量，，若，则为锐角 4．（期中，河南）下列说法正确的是（    ） A．两条不重合的直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线的方向向量分别为，若，则 D．两个不同的平面的法向量分别是，则 5．（期中，福建）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（期中，河南）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 7．（期中，安徽）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（    ） A．不是空间的一组基底 B．不是空间的一组基底 C．向量的模是2 D．向量和的夹角为 拔高·压轴破难 题型 8 向量条件转化动点轨迹 【模型】给出，结合系数范围，判断P所在直线 / 平面；求点到平面距离作为线段最小值。 【步骤】 ①由共面向量定理判断动点所在平面； ②最小距离等价点到平面距离； ③向量距离公式求解。 1．（期中，安徽）如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，是四边形内一动点，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．（期中，安徽）已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．2 3．（期中，安徽）已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 4．（期中，河南）已知空间向量，，，向量，其中．则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（期中，安徽）已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（期中，福建）如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 题型 9向量条件下线段长度、模的最值问题 【模型】动点在几何体表面 / 棱上，给出向量等式，求的取值范围、最大最小值。 【步骤】 ①建系写出动点坐标，把向量等式翻译成坐标方程； ②转化二次函数、球截面； ③结合几何体边界求值域。 1．（期中，河南）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（期中，福建）已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（期中，河南）已知正方体，棱长为6，且，若动点满足，则动点的轨迹被正方体表面所截得的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（期中，河南）在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（期中，河南）已知正方体的棱长为4，空间中的一点满足，则的取值范围是_________. 题型 10 外接球、重心、分点结合向量综合 【模型】利用向量表示重心、中点、等分点；设球心坐标，球心到各顶点距离相等列方程求外接球半径。 【步骤】 ①重心向量关系：； ②建系设球心，利用距离相等列方程组求解半径。 1．（期中，河南）在正四面体中，，，，分别为棱，，的中点，若，，，均在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（期中，河南）如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（    ）    A． B．异面直线所成角的余弦值为 C． D．若四点共面，则点是线段的中点 3．（期中，福建）在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则______. 题型 11 折叠背景下空间向量运算 【模型】区间是图上的横坐标范围 —— 读出来即可，不需要证明。 【步骤】① 有图读图；② 无图则去绝对值、化分段；③ 各段分别写区间。 【易错】两个上升区间中间断开时写“(−∞,a) 和 (b,+∞)”，不能用并集符号∪连。 【模型】平面图形翻折；线段长度不变，部分向量夹角发生改变；用基底 / 建系处理距离、角度最值。 【步骤】 ①分清折叠前后不变的线段长度； ②确定折叠后向量之间的夹角； ③数量积展开求模长、最值。 1．（期中，安徽）如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折到的位置，使得二面角为，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型 12 向量与几何体体积综合 【模型】区间是图上的横坐标范围 —— 读出来即可，不需要证明。 【步骤】① 有图读图；② 无图则去绝对值、化分段；③ 各段分别写区间。 【易错】两个上升区间中间断开时写“(−∞,a) 和 (b,+∞)”，不能用并集符号∪连。 【模型】由向量共面得到点的位置，利用等体积法求三棱锥体积。 【步骤】 ①向量条件推出点所在平面； ②转换顶点，利用底面积与高求体积。 1．（期中，福建）棱长为1的正方体中，向量，若，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．1 D．无法确定 2．（期中，河南）已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是___________． 题型 13 多条件开放性解答 【模型】给出垂直、模长、共线多个约束条件，解空间向量坐标，有多组解。 【步骤】 ①设向量坐标，列出方程组； ②完整求出全部解，不要漏解。 1．（期中，福建）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直.　 （1）求向量的坐标； （2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值. $