周练（十八）圆锥曲线的综合应用-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 聚焦圆锥曲线综合应用，通过选择填空与解答题梯度设计，系统覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心性质及直线与圆锥曲线位置关系，强化几何直观与代数运算的转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|8题|涵盖弦长计算、离心率求解、焦点性质应用等基础题型，第6题引入新定义"相似椭圆"考查创新思维|以圆锥曲线定义为起点，通过标准方程推导几何性质，结合直线方程研究位置关系，形成"定义-方程-性质-应用"的逻辑链条| |解答题|2题|第11题考查双曲线方程求解与直线过定点证明，第12题涉及椭圆方程、角相等证明及面积最值，强调综合论证与运算能力|通过代数方法（联立方程、韦达定理）解决几何问题，体现数形结合思想，突出逻辑推理与模型构建的数学思维|

周练(十八)　圆锥曲线的综合应用 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线x＝－1被椭圆＝1截得的弦长为(　　) A． B． C．3 D． 2．在平面直角坐标系xOy中，M为双曲线x2－y2＝4右支上的一个动点，若点M到直线x－y＋2＝0的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为(　　) A．1 B． C．2 D．2 3．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　) A．± B．± C．± D．±2 4．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与C的左支交于A，B两点，|AF1|∶|BF1|＝3∶1，且AB⊥BF2，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 5．已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若＝－48，则的最小值为(　　) A．－ B． C． D． 6．若椭圆C1和C2的方程分别为＝1(a>b>0)和＝λ(a>b>0，λ>0且λ≠1)则称C1和C2为相似椭圆．已知椭圆C1：＝1，C2：＝λ(0<λ<1)，过C2上任意一点P作直线交C1于M，N两点，且＝0，则△MON的面积最大时，λ的值为(　　) A． B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆C：x2＋(y－1)2＝16与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N，则(　　) A．点P的纵坐标的取值范围是 B．PN＋NF等于点P到抛物线E的准线的距离 C．圆C的圆心到抛物线E的准线的距离为2 D．△PFN周长的取值范围是(8，10) 8．已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别是F1，F2，M为椭圆C上一点，则下列结论正确的是(　　) A．△MF1F2的周长为6 B．△MF1F2的面积为 C．△MF1F2的内切圆的半径为 D．△MF1F2的外接圆的直径为 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．过点P(0，1)作斜率为－1的直线l与椭圆＝1相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为________． 10．已知直线l：y＝x－1与双曲线C：＝1(b>0)相切，双曲线的左、右顶点分别为A1，A2.若P是双曲线C上一点(异于点A1，A2)，则直线PA1的斜率和直线PA2的斜率之积为________． 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)已知双曲线Γ：＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且过点P. (1)求双曲线Γ的方程； (2)过双曲线Γ的左焦点F分别作斜率为k1，k2的两直线l1与l2，直线l1交双曲线Γ于A，B两点，直线l2交双曲线Γ于C，D两点，设M，N分别为AB与CD的中点，若k1·k2＝－1，证明：直线MN过定点． 12．(15分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且C过点A. (1)求C的方程； (2)过点P(4，0)的直线l(不与x轴重合)与C交于M，N两点，F是C的右焦点． (ⅰ)证明：∠AFM＝∠AFN； (ⅱ)求△MNF面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周练(十八)　圆锥曲线的综合应用 1．C　令x＝－1，得＝1，解得y＝±，所以直线x＝－1被椭圆＝1截得的弦长为＝3，故选C. 2．B　由点M到直线x－y＋2＝0的距离大于m恒成立，可得点M到直线x－y＋2＝0的最近距离大于m.因为双曲线的渐近线为y＝x，则y＝x与x－y＋2＝0的距离d＝即为最近距离，则m≤，即mmax＝，故选B. 3．A　由直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，不妨设A，B两点的坐标分别为(－c，－kc)，(c，kc)，因为A，B在椭圆C上，可得＝1，又因为椭圆C的离心率为，可得，所以，所以＝1，解得k＝±，故选A． 4．A　因为|AF1|∶|BF1|＝3∶1，设|BF1|＝t(t≠0)，则|AF1|＝3t，又由双曲线的定义，得|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|BF2|＝t＋2a，|AF2|＝3t＋2a，又因为AB⊥BF2，可得|AF2|2＝，即(3t＋2a)2＝16t2＋(t＋2a)2，解得t＝a，由＝|BF1|2＋|BF2|2，即4c2＝t2＋(t＋2a)2＝10a2，可得c2＝a2，双曲线C的离心率为，故选A． 5．C　抛物线y2＝2px的焦点F，设直线l的方程为x＝ty＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y2－2pty－p2＝0，则y1y2＝－p2，x1x2＝，由＝－48，得x1x2＋y1y2＝－＝－48，解得p＝8，抛物线y2＝16x的准线方程为x＝－4，|AF|＝x1＋4，|BF|＝x2＋4，x1x2＝16，于是，因此－＝，当且仅当＝6时取等号，所以当|BF|＝6，|AF|＝12时，取得最小值，故选C. 6．B　当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为x＝x0，－2，联立可得＝2，所以△MON的面积为S△MON＝，由＝0，可得P为MN的中点，所以P(x0，0)，因为点P在椭圆C2上，所以x0＝±2，所以S△MON＝2，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝sx＋t，联立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，∴，所以P点坐标为，因为点P在椭圆C2上，所以t2＝λ(4s2＋3)，因为原点O到直线MN的距离为＝＝，所以△MON的面积为S△MON＝＝，综上，S△MON＝2，又0<λ<1，又S△MON＝2，所以当λ＝时，△MON的面积最大，故选B. 7．BCD　如图所示，∵圆C：x2＋(y－1)2＝16的圆心为C(0，1)，半径r＝4，因此圆C与y轴正半轴的交点为(0，5)，∵抛物线E：x2＝4y的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，由得故点P的纵坐标yP∈(3，5)，故A错误；由抛物线的定义可得PN＋NF等于点P到抛物线E的准线的距离，故B正确；易知圆C的圆心C(0，1)到抛物线E的准线y＝－1的距离为2，故C正确；△PFN的周长为PF＋PN＋NF＝r＋yP＋1＝yP＋5∈(8，10)，故D正确． 8．ABC　由题意知a＝2，b＝＋|MF2|＋|F1F2|＝4＋2＝6，即A正确；将代入椭圆方程得＝1，解得y0＝∴△MF1F2 的面积S＝＝，即B正确；设△MF1F2 内切圆的半径为r，则S＝×6×r，∴r＝，即C正确；不妨取M＝＝，∴△MF1F2 的面积S＝，即sin ∠F1MF2，∴sin ∠F1MF2＝，由正弦定理知，△MF1F2外接圆的直径为，即D错误．故选ABC. 9．解析：直线l的方程为y＝－x＋1，由消去y得7x2－8x－20＝0，显然Δ＝(－8)2－4×7×(－20)>0，即直线l与椭圆相交，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，于是线段AB中点的横坐标为，纵坐标为－，所以线段AB的中点坐标为. 答案： 10．解析：因为双曲线C的方程为＝1，所以A1(－2，0)，A2(2，0)．设P(x1，y1)，则y1≠0，直线PA1的斜率，直线PA2的斜率，所以.因为点P在双曲线C上，所以满足＝1，化简得，所以.联立直线l与双曲线C的方程，得消去y，整理得(b2－4)x2＋8x－4－4b2＝0.由题意得解得b2＝3，所以. 答案： 11．解：(1)由题意得2c＝4，得c＝2，所以a2＋b2＝4， 因为点P在双曲线上，所以＝1，解得a2＝3，b2＝1， 所以双曲线方程为－y2＝1. (2)证明：F(－2，0)，设直线l1方程为y＝k1(x＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－－3＝0， 则x1＋x2＝， 所以，所以AB的中点M， 因为k1·k2＝－1，所以用－代换k1，得N， 当，即k1＝±1时，直线MN的方程为x＝－3，过点E(－3，0)， 当k1≠±1时，kMN＝， 直线MN的方程为y－， 令y＝0，得x＝＝－3， 所以直线MN也过定点E(－3，0)． 12．解：(1)由题，可得解得a2＝4，b2＝3， 所以椭圆C的方程为＝1. (2)(ⅰ)证明：设直线l：x＝ty＋4，t≠0，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立消去x，整理得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0， ∴Δ＝(24t)2－4×36(3t2＋4)>0，得t2>4， ∴y1＋y2＝， 所以直线FM的斜率kFM＝，直线FN的斜率kFN＝， ∴kFM＋kFN＝， 又y1(x2－1)＋y2(x1－1)＝y1(ty2＋3)＋y2(ty1＋3)＝2ty1y2＋3(y1＋y2) ＝2t×＝0， 所以kFM＋kFN＝0，即∠AFM＝∠AFN. (ⅱ)由S△FMN＝|S△PFN－S△PFM|＝＝， 由于y1y2>0，则||y2|－|y1||＝|y2－y1|， ∴S△FMN＝＝ ＝， 令m＝>0，则t2＝m2＋4， ∴S△FMN＝， 当且仅当3m＝，即m＝时，等号成立， 所以△MNF面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $