周练（十七）双曲线与抛物线-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 聚焦双曲线与抛物线核心概念及综合应用，通过梯度化题型构建从定义到实际建模的完整训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-2|焦点坐标、离心率计算|从标准方程到几何性质的直接应用| |性质综合|选择3-5、填空9|焦点三角形、距离公式、垂直关系|定义与平面几何知识的融合推导| |动态问题|选择4、8|存在性探索、中点弦问题|方程思想与韦达定理的综合运用| |实际建模|选择6|旋转曲面的几何参数计算|数学眼光下的现实问题抽象转化| |综合证明|解答11-12|轨迹方程、斜率定值、最值问题|逻辑推理与数学语言表达的系统训练|

周练(十七)　双曲线与抛物线 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线y＝2x2的焦点坐标为(　　) A． B． C． D． 2．已知双曲线C：＝1(a>0)的焦距为2，则C的离心率为(　　) A． B． C． D．2 3．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|＝(　　) A． B．1 C． D．2 4．双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，Q(3a，0)在x轴上，若C上存在一点P(异于点A)使得AP⊥PQ，则C的离心率的取值范围是(　　) A． B．(2，＋∞) C． D． 5．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点F与双曲线 ＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为E，点A在抛物线上，且|AE|＝，则△AEF的面积为(　　) A．32 B．16 C．34 D．17 6．如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为2的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为3 cm，下口半径为5 cm，高为8 cm(数据以外壁即冷却塔外侧表面计算)，则冷却塔的最小直径为(　　) A． cm B． cm C． cm D． cm 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．关于曲线＝1，下列叙述正确的是(　　) A．当m＝2时，曲线表示的图形是一个焦点在x轴上的椭圆 B．当m＝－1时，曲线表示的图形是一个焦点在x轴上的双曲线，且焦距为4 C．当1<m<4时，曲线表示的图形是一个椭圆 D．当m>5或m<1时，曲线表示的图形是双曲线 8．已知双曲线C：x2－＝1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若直线l过点F2，且与双曲线的右支交于M，N两点，下列说法正确的是(　　) A．双曲线C的离心率为 B．若l的斜率为2，则MN的中点为(8，12) C．若∠F1MF2＝，则△MF1F2的面积为3 D．使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．设F为抛物线y＝＝5，那么点M的纵坐标为________． 10．已知双曲线E：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点A为E右支上一点(不与顶点重合)，射线AB是∠F1AF2的外角平分线，其与x轴的交点为点B，∠AF1F2的角平分线与直线AB交于点C，则＝________． 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，双曲线E上一点P满足||PF1|－|PF2||＝6，且点F2到E的一条渐近线的距离为2. (1)求双曲线E的方程； (2)若M，N是E上关于原点对称的两点，且点P不与M，N重合，设直线PM，PN的斜率存在且分别为k1，k2，求k1k2的值． 12．(15分)已知定点F(0，1)，P为x轴上方的动点，线段PF的中点为M，点P，M在x轴上的射影分别为A，B，PB是∠APF的平分线，动点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)设E上点Q满足PQ⊥PB，Q在x轴上的射影为C，求|AC|的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周练(十七)　双曲线与抛物线 1．D　由y＝2x2可得x2＝y，故焦点坐标为，故选D. 2．C　因为双曲线C：＝1(a>0)的焦距为2，所以2c＝2，即c＝，又c2＝a2＋b2，即5＝a2＋4，解得a＝1，所以C的离心率e＝，故选C. 3．C　由抛物线方程知：F＝x1＋＝(x1＋x2＋x3)＋；∵F为△ABC的重心，，则x1＋x2＋x3＝＝，故选C. 4．D　设P(x，y)，A(a，0)，因为AP⊥PQ，则P点的轨迹方程为以AQ为直径的圆，又AQ中点为(2a，0)，|AQ|＝2a，所以P点的轨迹方程为(x－2a)2＋y2＝a2(x≠a，x≠3a)．联立得(a2＋b2)x2－4a3x＋3a4－a2b2＝0，分解因式可得(x－a)[(a2＋b2)x－(3a3－ab2)]＝0，解得x1＝a(舍去)，x2＝，由题意知点P在双曲线的右支上，即x>a，故>a，化简得a2>b2，<1，因为e＝，所以，故选D. 5．A　双曲线＝1的右焦点为(4，0)，即为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，所以＝4，解得p＝8，抛物线方程为y2＝16x，其准线方程为x＝－＝－4，因此准线与x轴的交点E的坐标为(－4，0)；焦点F的坐标为(4，0)，设点A(x0，y0)，因为点A在抛物线上，所以＝16x0，则|AF|＝x0＋＝x0＋4 ，又|AE|＝＝(x0＋4)，化简得＝(x0＋4)2，结合＝16x0，代入展开并整理：－8x0＋16＝0⇒(x0－4)2＝0⇒x0＝4，将x0＝4代入＝16x0，得y0＝±8，因此A点坐标为(4，8)或(4，－8)，则|EF|＝4－(－4)＝8，A点到x轴(EF所在直线)的距离为|±8|＝8，则S△AEF＝×8×8＝32，故选A． 6．C　设双曲线方程为＝1，由离心率为2可知：e＝＝2，则，即b＝a，再由题意知A(3，y1)，B(5，y2)，y1>0，y2<0，代入双曲线方程得：＝27－3a2⇒y1＝＝75－3a2⇒y2＝－＝＝8⇒，两边平方得：27－3a2＝64－16＋75－3a2⇒＝7⇒75－3a2＝49⇒a2＝，即a＝，由图可得冷却塔的最小直径为2a＝，故选C. 7．AD　当m＝2时，曲线方程为＋y2＝1，所以曲线表示的图形是一个焦点在x轴上的椭圆，故A正确；当m＝－1时，曲线方程为＝1，所以曲线表示的图形是一个焦点在x轴上的双曲线，且焦距为4，故B错误；当m＝3时，曲线表示的图形是一个方程为x2＋y2＝2的圆，故C错误；当m>5或m<1时，(5－m)(m－1)<0，所以曲线＝1表示的图形为双曲线，故D正确． 8．BCD　由双曲线方程得a＝1，b＝，故c＝2，则离心率e＝2，故A错误；由方程知F1(－2，0)，F2(2，0)，则直线l的方程为y＝2(x－2)，联立双曲线方程化简得x2－16x＋19＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝16，故＝8，而y1＋y2＝2x1－4＋2x2－4＝2(x1＋x2)－8＝24，则＝12，故MN的中点为(8，12)，故B正确；若∠F1MF2＝＝2，由余弦定理可得cos ∠F1MF2＝，即＝12，所以△MF1F2的面积为＝4＋|MN|，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1>0，y1>0，x2>0，y2<0)，若|MF1|＝|MN|，则|NF1|＝4，所以解得可得N＝|MN|，则|MF1|＝4，所以解得可得M，此时△MNF1为等腰三角形，综上使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条，故D正确． 9．解析：由y＝x2，得x2＝4y，则p＝2，所以该抛物线的准线方程为y＝－1；设M(x0，y0)，根据抛物线的定义，得|MF|＝y0＋＝y0＋1＝5，则y0＝4. 答案：y＝－1　4 10．解析：由双曲线E：＝1，得a＝3，c＝5，焦点F1(－5，0)，F2(5，0)．根据双曲线定义，|AF1|－|AF2|＝2a＝6.因为AB是∠F1AF2的外角平分线，由角平分线定理得.又CF1平分∠AF1F2，在△AF1B中，由角平分线定理得.设|AF2|＝m，则|AF1|＝m＋6，故＝－|F2B|＝10(|F1F2|＝10)，解得|F2B|＝＝.因此. 答案： 11．解：(1)设双曲线E的半焦距为c， 由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即a＝3， 又点F2(c，0)到渐近线bx±ay＝0的距离为＝b，故b＝2， ∴双曲线E的方程为＝1. (2)设P(x1，y1)，M(x2，y2)，N(－x2，－y2)， 易知k1＝，∴k1k2＝. 又∵＝1，∴＝b2＝ ∴k1k2＝， 由(1)可知，∴k1k2＝. 12．解：(1)设坐标原点为O，因为PA∥BM，所以∠APB＝∠PBM， 因为PB是∠APF的平分线，所以∠APB＝∠MPB， 所以∠MPB＝∠PBM，所以|BM|＝|PM|， 因为M为线段PF的中点，|BM|＝， 所以2|BM|＝|PA|＋1，因为|PF|＝2|PM|＝2|BM|，所以|PF|＝|PA|＋1， 因为P为x轴上方的动点，所以点P到点F的距离等于点P到直线l：y＝－1的距离， 所以动点P的轨迹E是顶点在原点，焦点为F(0，1)的抛物线(原点除外)， 设E的方程为x2＝2py(p>0，x≠0)，则＝1，所以p＝2， 所以E的方程为x2＝4y(x≠0)． (2)设点P，Q，所以点B＝＝， 所以(x2－x1)－·(x2－x1)[8＋x1(x2＋x1)]＝0， 因为x2≠x1，且x1≠0，所以8＋x1(x2＋x1)＝0，所以x2＝－－x1， 所以|AC|＝|x1－x2|＝＝＝8，当且仅当x1＝±2时，等号成立， 所以|AC|的最小值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $