周练（十六）椭圆-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 椭圆专项周测，45分钟80分，覆盖定义、离心率、几何性质等核心考点，注重数学思维与几何直观的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆定义与方程|3题|定义应用、标准方程求解|从定义出发构建a,b,c关系，形成概念生成链| |离心率计算|4题|基本计算、几何意义转化|通过焦点三角形、角度关系深化e=c/a的本质理解| |几何性质应用|3题|焦点弦、焦点三角形、弦长|围绕椭圆元素间内在联系设计问题，强化空间观念| |综合应用|3题|与圆交汇、轨迹问题、创新情境|从代数表达过渡到几何直观，培养数学建模与推理能力|

周练(十六)　椭圆 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．点P是椭圆＋y2＝1上一动点，则点P到两焦点的距离之和为(　　) A．2 B． C．2 D．4 2．已知椭圆C：＋y2＝1的离心率为，则k的值为(　　) A． B． C．4或 D．或 3．已知椭圆＝1的左顶点为A，右焦点为F2，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B，C两点，连接BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 4．已知椭圆C的离心率为cos 40°，焦点为F1，F2，一个短轴顶点为B，则∠F1BF2＝(　　) A．40° B．50° C．80° D．100° 5．已知F1，F2是椭圆C：＝1的左、右焦点，直线l与椭圆C相切于点P，过左焦点F1作直线l的垂线，垂足为Q，则点Q与原点O之间的距离为(　　) A． B．2 C．3 D．4 6．已知点P在椭圆＝1上，点Q在圆x2＋y2－2y＝0上，F(－2，0)，则|PQ|＋|PF|的最大值为(　　) A．7－ B．7＋ C．2 D．7＋2 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．已知F1，F2分别是椭圆＝1的左、右焦点，P为椭圆上的一点，则下列说法正确的是(　　) A．|PF1|＋|PF2|＝16 B．椭圆的离心率为 C．直线x＝－2被椭圆截得的弦长为2 D．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为4 8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C的右顶点，B为椭圆C的上顶点，P为椭圆C上与椭圆顶点不重合的动点，直线PA与y轴交于点N，直线PB与x轴交于点M，则(　　) A．椭圆C的离心率为 B．当PF1⊥PF2时，|PF1|·|PF2|＝3 C．|AM|·|BN|＝4 D．当点P在第三象限时，若MN∥AB，则|OP|＝ 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．若F1，F2为椭圆C：＝1的左、右焦点，焦距为4，点P为C上一点，若对任意的λ∈[1，4]，均存在四个不同的点P满足 ＝λ，则C的离心率e的取值范围为________． 10．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为C1，点M的运动轨迹为C2.若ON＝DN＝1，MN＝3，过C2上的点P向C1作切线，则切线长的最大值为________． 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)焦点在x轴上，短轴长为2，离心率e＝. 12．(15分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)离心率为，直线y＝－x＋1与椭圆C相交于A，B两点． (1)若椭圆C的焦距为2，求椭圆C的方程； (2)若OA⊥OB，求椭圆的长轴长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周练(十六)　椭圆 1．C　由＋y2＝1可得：a＝，由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为2a＝2，故选C. 2．D　当C的焦点在x轴上时，k>1，易知a＝，则e＝，解得k＝；当C的焦点在y轴上时，0<k<1，易知b＝，则e＝，解得k＝，所以k的值为或，故选D. 3．A　当x＝c时，＝1，∴y＝±，所以A(－a，0)，C，O(0，0)，则M＝＝，则∥，则－c＝0，∴a＝2c，∴e＝，故选A． 4．D　设椭圆C的中心为O，长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则在等腰三角形BF1F2中，|F1F2|＝2c，|OB|＝b，|BF1|＝|BF2|＝a.因为椭圆C的离心率为cos 40°，所以在直角三角形BOF1中，cos 40°＝＝cos ∠BF1O，故∠BF1O＝40°，∠F1BF2＝180°－2×40°＝100°.故选D. 5．B　直线l的斜率显然存在，所以设直线l的方程为y－＝k(x－1)，即y＝k(x－1)＋，联立方程组消去y，得(3＋4k2)x2＋(12k－8k2)x＋4k2－12k－3＝0，因为直线l与椭圆C相切于点P，所以Δ＝(12k－8k2)2－4(3＋4k2)(4k2－12k－3)＝0，整理得144k2＋144k＋36＝0，解得k＝－，所以切线方程为y＝－(x－1)＋x＋2，由椭圆C：＝1，可得a2＝4，b2＝3，所以c＝＝1，可得左焦点F1(－1，0)，所以过左焦点F1与直线l的垂直的直线方程为y＝2(x＋1)，联立方程组解得x＝0，y＝2，所以Q(0，2)，所以点Q与原点O之间的距离为2.故选B. 6．B　显然F(－2，0)为椭圆＝1的左焦点，令其右焦点为F′(2，0)，圆x2＋y2－2y＝0的圆心C(0，1)，半径r＝1，由椭圆定义得|PF|＝6－|PF′|，则|PQ|＋|PF|＝6＋|PQ|－|PF′|≤6＋r＋|PC|－|PF′|＝7＋|PC|－|PF′|，当且仅当点C在线段PQ上时取等号，而|PC|－|PF′|≤|CF′|＝，当且仅当F′在线段PC上时取等号，所以当P是线段CF′延长线与椭圆的交点、Q是线段CF′反向延长线与圆的交点时，，故选B. 7．BCD　在椭圆＝1中，a＝4，b＝2，则c＝＝2a＝8，A错；椭圆的离心率为e＝，B对；联立可得y＝±，所以直线x＝－2被椭圆截得的弦长为2＝8，则|PF1|·|PF2|＝＝8，因此＝×8＝4，D对． 8．ACD　由a＝2，b＝1，c＝，可得e＝·|PF2|＝＝×(16－12)＝2，故B选项错误；设点P(m，n)，有＋n2＝1，又由A(2，0)，B(0，1)，直线AP的方程为y＝(x－2)，令x＝0，可得点N的纵坐标为，直线BP的方程为y＝x＋1，令y＝0，可得点M的横坐标为＝＝4，故C选项正确；若MN∥AB，由直线AB的斜率为－，有，有4n2－4n＝m2－2m，代入4n2＝4－m2，有－2n＝m2－m－2，有－2n＝(m－2)(m＋1)，平方后有4n2＝(m－2)2(m＋1)2，代入4n2＝4－m2，有4－m2＝(m－2)2·(m＋1)2，有(m－2)[(m－2)(m＋1)2＋(m＋2)]＝0，又由－2<m<0，有m(m2－2)＝0，可得m＝－＝，故D选项正确． 9．解析：由题可得，F1(－2，0)，F2(2，0)，设O为坐标原点，则，所以＝＋＝·＝2－4＝λ，即2＝λ＋4，因为λ∈[1，4]，所以2∈[5，8]，若存在四个不同的点P满足2∈[5，8]，又b2<2<a2，所以即所以8<a2<9，所以e2＝∈，所以e∈. 答案： 10．解析：以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．因为|ON|＝1，所以点N的运动轨迹C1是以O为圆心，半径为1的圆，其方程为x2＋y2＝1.设点D(t，0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，，且＝＝1，所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，且 即且t(t－2x0)＝0.由于t不恒等于0，于是t＝2x0，故x0＝，代入＝1，可得＝1，故曲线C2的方程为＝1.设C2上的点P(4cos α，2sin α)，则|OP|2＝16cos2α＋4sin2α＝4＋12cos2α≤16， 则切线长为，故切线长的最大值为. 答案： 11．解：(1)因为椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以a＝2，b＝1， 又因为焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)由题意，得解得a＝3，b＝， 又因为焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＝1. 12．解：(1)由椭圆C的焦距为2，得半焦距c＝， 由椭圆C的离心率为，得a＝2，则b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由椭圆C的离心率为，得，则a＝2b，椭圆C：x2＋4y2＝4b2， 由消去y得：5x2－8x＋4－4b2＝0，Δ＝64－80(1－b2)>0⇔b2>， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， 由OA⊥OB，得＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0， 则＋1＝0，解得b2＝，符合题意，b＝， 所以椭圆C的长轴长为. 学科网（北京）股份有限公司 $