周练（十二）数列求和及综合应用-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 聚焦数列求和及综合应用，通过基础到创新的题型梯度，系统覆盖公式法、裂项相消等核心方法，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求和|3题（1-3）|含公式法、裂项相消、周期数列求和|从通项到求和公式推导，体现数列性质与求和方法的对应| |综合应用|4题（4-7）|递推关系、等差等比综合、性质判断|融合通项求法与求和技巧，构建“递推-通项-求和”逻辑链| |创新拓展|3题（6,8,10）|新定义、数学文化、恒成立问题|通过跨情境应用，发展模型观念与创新意识|

周练(十二)　数列求和及综合应用 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则＝(　　) A． B． C． D． 2．已知数列{an}中，an＝，则S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98＝(　　) A．96 B．97 C．98 D．99 3．若数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝3(n∈N*)，则其前2025项的和为(　　) A．1517 B．1519 C．1521 D．1523 4．已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1＝(n＋1)an.数列{bn}满足b1＝2，b2＝4，且数列}是等比数列．设数列{nbn}的前n项和为Tn，则满足不等式Tn≥99·2n+2＋2成立的整数n的最小值为(　　) A．99 B．100 C．199 D．200 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋1＝则S100＝(　　) A．3×251－156 B．3×251－103 C．3×250－156 D．3×250－103 6．定义：设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有S2n＝kSn(k为非零常数)，则称数列{an}为“和等比数列”，其中k为“和公比”．已知数列{an}是首项为1，公差不为0的等差数列，且{an}是“和等比数列”，bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式Tn>(－1)nm＋－3对任意的n∈N*恒成立，则m的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．Sn，Tn分别是等差数列{an}和等比数列{bn}的前n项和，则下列说法正确的是(　　) A．若a15＋a16>0，a15＋a17<0，则使Sn>0的最大正整数n的值为15 B．若Tn＝5n＋c(c为常数)，则必有c＝－1 C．S5，S10－S5，S15－S10必为等差数列 D．T5，T10－T5，T15－T10必为等比数列 8．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则(　　) A．a5＝14 B．S10＝220 C．an＋1＝an＋n＋1 D． 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．已知数列{an}的前n项积为Tn，若an＝－n，则满足Tk∈的正整数k的最小值为________． 10．在数列{an}中，a1＝1，3n-1an＝3n-2an－1－2·3n-2＋2(n≥2)，Sn是数列{}的前n项和，当不等式<1(m∈N*)恒成立时，mn的所有可能取值为________． 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)已知数列{an}满足a1＝2，＝3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝n(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Sn. 12．(15分)已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列且公比大于0，a1＝2，b1＝3，2a3＝5(a5－a4)，6b3＝b5－b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝(－1)n-1(n∈N*)，记数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn. 学科网（北京）股份有限公司 $ 周练(十二)　数列求和及综合应用 1．A　，则，故选A． 2．C　S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98＝　①，S＝a98＋a97＋…＋a2＋a1＝　②，①＋②得2S＝＋＝＋＋…＋＋＝2＋2＋…＋2＋2＝98×2，所以S＝98，故选C. 3．B　因为a1＝1，an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝3，则S2025＝a1＋(a2＋a3＋a4＋a5)＋(a6＋a7＋a8＋a9)＋…＋(a2022＋a2023＋a2024＋a2025)＝1＋506×3＝1519，故选B. 4．C　由nan＋1＝(n＋1)an，得，则数列为常数列，＝2，因此an＝＝a4＝8，由数列}是等比数列，得数列}的公比为＝4·2n-1＝2n+1，又＝2bn，则bn＝2n，Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1，两式相减，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n+1＝－n×2n+1＝(1－n)·2n+1－2，则Tn＝(n－1)·2n+1＋2，不等式Tn≥99·2n+2＋2⇔(n－1)·2n+1＋2≥198·2n+1＋2，解得n≥199，所以不等式Tn≥99·2n+2＋2成立的整数n的最小值为199，故选C. 5．A　因为a1＝1，an＋1＝所以a2k＋2＝a2k＋1＋1＝2a2k＋1，a2k＋1＝2a2k＝2a2k－1＋2，k∈N*，且a2＝2，所以a2k＋2＋a2k＋1＝2(a2k＋a2k－1)＋3，记bn＝a2n＋a2n－1，n≥1，则bn＋1＝2bn＋3，所以bn＋1＋3＝2(bn＋3)，所以{bn＋3}是以b1＋3＝a1＋a2＋3＝6为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋3＝6×2n-1，bn＝6×2n-1－3，记{bn}的前n项和为Tn，则S100＝T50＝(6×20＋6×21＋6×22＋…＋6×249)－3×50＝3×251－156，故选A． 6．D　设数列{an}的公差为d，d≠0，∵{an}是“和等比数列”，且a1＝1，∴S2＝kS1，S4＝kS2，∴故d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0(舍)，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，bn＝＝2n×n，∴Tn＝2[＋2×2＋…＋n×]，Tn＝2[2＋2×3＋…＋n×]，两式相减得Tn＝2[＋1×2＋…＋1×n－n×]＝2[－n×]，∴－]－n×n+1＝－n+1，∴Tn＝－n+1＝－n，若不等式Tn>(－1)nm＋－3对任意的n∈N*恒成立，则－n－＋3>(－1)nm，化简得>(－1)nm恒成立，令cn＝，当n≥2时，cn－cn－1＝<0，∴cn<cn－1，c1>c2>c3>…>cn，∴{cn}是递减数列，故cn在n∈N*上单调递增，当n为奇数时，－m<min＝＝0，解得m>0，当n为偶数时，m<min＝，解得m<，∴m的取值范围是，故选D. 7．BCD　设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以故－d<a1<－15d，且d<0，使Sn＝na1＋n2＋n>0，则0<n<1－，而29<－<30，即1－∈(30，31)，故0<n≤30，所以使Sn>0的最大正整数n的值为30，A错误；设等比数列{bn}的公比为q，q≠0，则Tn＝＝5n＋c，所以即c＝－1，B正确；根据等差、等比数列片段和的性质知，S5，S10－S5，S15－S10必为等差数列，T5，T10－T5，T15－T10必为等比数列，C、D正确．故选BCD. 8．BC　由题意a1＝.a5＝＝15，故A错误；S10＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝220，故B正确；an＋1－an＝＝n＋1，即an＋1＝an＋n＋1，故C正确；＝2＝2＝2，故D错误． 9．解析：由满足Tk∈，即＝＝1+2+…＋n＝，当n≥4时，，又n为偶数时，Tn>0，n为奇数时，Tn<0，所以要满足Tk∈，所以k的最小值为5. 答案：5 10．解析：由3n-1an＝3n-2an－1－2·3n-2＋2(n≥2)，得3n-1·(an＋1)＝3n-2(an－1＋1)＋3n-1－3n-2－2·3n-2＋2(n≥2)，即3n-1(an＋1)＝3n-2(an－1＋1)＋2(n≥2)，所以数列{3n-1(an＋1)}是以31-1(a1＋1)＝2为首项、2为公差的等差数列，所以3n-1(an＋1)＝2n，由＝3，所以＝ ＝1＋ <1，即<0，当m＝3时，该不等式不成立，当m≠3时有<0恒成立，当m＝1时，<3n<，n＝1，这时mn＝1，当m＝2时，1<3n<21，n＝1，2，这时mn＝2或mn＝4，当m≥4时，<0不成立，所以mn的所有可能取值为1或2或4. 答案：1或2或4 11．解：(1)由＝3，又a1＋1＝3，可得数列{an＋1}是首项、公比均为3的等比数列， 故an＋1＝3n，∴an＝3n－1. (2)由(1)可得bn＝n·3n， 则Sn＝1·31＋2·32＋…＋n·3n， 所以3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n+1， 两式相减得－2Sn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n+1＝－n·3n+1＝·3n+1－， 所以Sn＝. 12．解：(1)设数列{an}公差为d，数列{bn}公比为q(q>0)， 由a1＝2，2a3＝5(a5－a4)，得2(2＋2d)＝5d解得d＝4. 所以an＝4n－2. 由于6b3＝b5－b4，即6b1q2＝b1q4－b1q3，又b1＝3，q>0， 所以q2－q－6＝0，解得q＝3或q＝－2(舍去)， 所以bn＝3n. (2)由(1)得：cn＝(－1)n-1， 所以cn＝(－1)n-1， 所以cn＝(－1)n-1， 所以cn＝(－1)n-1＋n. 当n为偶数时： Sn＝＝＋n. 当n为奇数时： Sn＝[－＋－…＋]＋[＋2＋…＋]＝＋. Sn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $