周练（十）平面向量与复数-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 聚焦平面向量与复数核心考法，以基础运算为起点，梯度设计综合应用题型，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量|7题|线性运算、投影向量、模的最值、实际应用、参数范围|从线性运算到数量积，再到几何意义与动态范围问题，形成“概念-运算-应用”逻辑链| |复数|4题|代数运算、几何意义、方程根的性质|从四则运算到复平面表示，再到实系数方程虚根成对性，体现“代数-几何-方程”关联|

周练(十)　平面向量与复数 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－1)，则a＋b等于(　　) A．(－3，－1) B．(－1，3) C．(1，3) D．(3，1) 2．设z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则(z－1)i＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 3．若复数z满足＝1＋i，则在复平面内，对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，满足＝0，则等于(　　) A． B． C． D． 5．已知点A(1，0)，B(0，2)，C(3，2)，则在上的投影向量的坐标为(　　) A． B． C． D． 6．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a·b＝0，若|a－c|＝|b－c|，则|c|最小值为(　　) A．1 B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，且＝与的夹角为θ∈(0，π)．给出以下结论，其中正确的是(　　) A．θ越大越费力，θ越小越省力 B．当θ＝时＝|G| C．当θ＝时＝2|G| D．当θ＝时＝|G| 8．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两根，其中b，c∈R.若x1＝－3＋2i(i为虚数单位)，则(　　) A．x1＋x2＝－6 B．b＋c＝19 C．x1·x2＝－13 D．|x1－x2|2＝(x1－x2)2 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．已知b≠0，|a|＝2，(2a－b)⊥b，则|a－b|＝________． 10．在平面几何中的“圆幂定理”有一个重要结论，即相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆E的半径为3，F是圆E内的定点，PQ为过点F的直径，且AC∩BD＝F，，则＝________． 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)已知z1＝5＋10i，z2＝3－4i. (1)求z1z2的值； (2)设，求z的值． 12．(15分)如图，点P是以A为圆心，半径为1的圆弧BC(包含B，C两个端点)上的一点，且∠CAB＝，AB＝1，且(λ，μ∈R)． (1)若P为圆弧BC的中点，求λ和μ的值； (2)若P在圆弧BC(包含B，C两个端点)上运动，求λ＋μ的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周练(十)　平面向量与复数 1．D　a＋b＝(1，2)＋(2，－1)＝(3，1)，故选D. 2．C　因为z＝1＋i，则(z－1)i＝i2＝－1，故选C. 3．A　因为＝1＋i⇒z＋i＝(1＋i)(z－1)⇒z＋i＝(1＋i)z－(1＋i)，所以1＋2i＝(1＋i－1)z⇒z＝＝2－i.所以＝2＋i.所以对应的点位于第一象限，故选A． 4．A　由＝0，得＝3，即，所以，所以＝，所以＝.故选A． 5．C　因为＝(－1，2)，＝(2，2)，所以＝－2＋4＝2，＝，所以在上的投影向量的坐标为：·(2，2)＝·(2，2)＝·(2，2)＝，故选C. 6．C　因为a·b＝0，所以a⊥b，作＝b，以O为原点，分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(1，0)，B，作＝c，设C(x，y)，则a－c＝＝(1－x，－y)，b－c＝＝＝，整理得x＝＝，由二次函数性质可知，当y＝时，.故选C. 7．AD　由|G|＝|F1＋2＝cos θ＝2(1＋cos θ)，解得2＝；由题意知θ∈(0，π)时，y＝cos θ单调递减，且2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力，故A正确；当θ＝时2＝，故B错误；对于C，当θ＝时2＝，所以＝，故C错误；当θ＝时＝＝|G|，故D正确． 8．AB　对于A、B：由题意可得(－3＋2i)2＋b(－3＋2i)＋c＝0，即5－3b＋c＋(2b－12)i＝0，所以⇒2＝|4i|2＝16，而(x1－x2)2＝(4i)2＝－16，故D错误． 9．解析：由题可得2a·b－|b|2＝0，即2a·b＝|b|2，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＝4，即|a－b|＝2. 答案：2 10．解析：由FP＝3－，得＝＝＝＝6，＝＝＝6，由＝0，得＝0，所以＝·＝＝0＋6＋6＋0＝12. 答案：12 11．解：(1)z1z2＝(5＋10i)(3－4i)＝15－20i＋30i－40i2＝55＋10i. (2)， ∴z＝i. 12．解：(1)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 由AB＝1可得B(1，0)， 又∠CAB＝，由三角函数的定义可得C(π，sin )， 即C， 因为P为圆弧BC的中点，所以∠PAB＝， 又AP＝1，则P(，sin )＝， 所以＝＝(1，0)，＝， 由可得＝λ(1，0)＋μ＝， 即解得 (2)设∠PAB＝θ，θ∈，则P(cos θ，sin θ)，所以＝(cos θ，sin θ)， 由可得(cos θ，sin θ)＝λ(1，0)＋＝， 可得解得 所以λ＋μ＝sin θ＋cos θ＝2sin ， 因为θ∈，所以θ＋∈， 当θ＋时，即θ＝时，sin 取得最大值1，此时λ＋μ的最大值为2， 当θ＋或π时，即θ＝0或π时，sin 取得最小值，此时λ＋μ的最小值为1， 所以λ＋μ的取值范围为[1，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $