周练（九）解三角形-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 聚焦解三角形核心素养，以题构建“定理应用-实际建模-综合探究”逻辑链，覆盖高频考点与易错点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|4题（1-2,7-8）|定理直接应用、多解判断|正弦/余弦定理概念生成与简单推理| |实际建模|2题（3,5）|俯角/基站距离问题|几何直观转化为边角关系，发展模型意识| |综合探究|4题（4,6,9-12）|解的条件、范围求解、面积最值|运算能力与推理能力结合，深化边角互化逻辑|

周练(九)　解三角形 1．A　由题意得cos A＝，又0°<A<180°，所以A＝45°.故选A． 2．C　由正弦定理可得，则b＝sin B，c＝sin C，则，故选C. 3．A　在Rt△MNC中，∠MCN＝60°，MN＝150，则MC＝，在△ACM中，∠MAC＝15°＋45°＝60°，∠AMC＝60°－15°＝45°，由正弦定理得，解得AC＝，在Rt△ABC中，AB＝BC＝AC sin 45°＝100＝100，所以山的高度AB为100 m，故选A． 4．B　若△ABC有两解，则BC sin A<AC<BC，即BC<5<BC，所以5<BC<<7，所以△ABC有两解可以推出5<BC<7.所以“5<BC<7”是“△ABC有两解”的必要不充分条件，故选B. 5．A　在△ACD中，∠CAD＝180°－105°－30°＝45°，由正弦定理，即，得AC＝10 km.在△BCD中，∠BCD＝105°－60°＝45°，∠BDC＝30°＋60°＝90°，故∠CBD＝45°，由正弦定理，即，得BC＝20 km.在△ACB中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos 60°，代入得AB2＝2＋2－2×10＝600，故AB＝10 km，故选A． 6．B　因为锐角△ABC中A＝2B，所以即解得<B<，所以＝2cos B，因为<B<，所以cos B∈，所以＝2cos B∈，即的取值范围为，故选B. 7．BC　∵b＝10，C＝45°，∴由余弦定理得：c2＝a2＋102－2×a×10×cos 45°，即a2－10a＋100－c2＝0，∵三角形有两解，∴方程a2－10a＋100－c2＝0有两个不相等的正根a1，a2，∴Δ＝2－4×1×(100－c2)＝4c2－200>0，a1＋a2＝10>0，a1a2＝100－c2>0，解得：5<c<10，结合选项可得B、C正确． 8．BCD　因为△ABC为等边三角形且边长为2，所以＝2×2×cos ＝－2，故A错误；因为(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，即a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝，因为C∈(0，π)，所以C＝，故B正确；因为ab＝c2，可得cos C＝，当且仅当a＝b时取等号，因为C∈(0，π)，所以0<C≤，故C正确；因为sin2A＋sin2B＋cos2C<1，即sin2A＋sin2B－sin2C<0，即a2＋b2－c2<0，所以cosC＝<0，即C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D正确． 9．解析：由c＝(a＋2b)cos B及正弦定理得sin C＝sin A cos B＋2sin B cos B，又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以cos A sin B＝2sin B cos B，因为sin B≠0，所以cos A＝2cos B．由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B，即b2－c2＝a2－2ac cos B，即2＝4－4c cos B，所以c·cos B＝，所以c·cos A＝c×2cos B＝1. 答案：1 10．解析：因为tan B＝，所以，所以cos C cos B－sin C sin B＝sin B cos C＋cos B sin C，所以cos (B＋C)＝sin (B＋C)，即－cos ∠BAC＝sin ∠BAC，所以tan ∠BAC＝－1，因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝，因为，所以sin C＝，又0<C<，所以C＝，因为点D在边BC上，AD＝b，所以C＝∠ADC＝，因为∠ADC＝B＋∠BAD，B＝π－，所以∠BAD＝，所以AD＝BD＝b，所以S△ADB＝·DB·sin ∠ADB＝b2×sin ，得b＝－1，在△ADC中，∠DAC＝，由余弦定理可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos ∠DAC＝2b2－2b2×＝3b2，得CD＝. 答案：3－ 11．解：(1)在△ABC中，因为， 所以由正弦定理得， 而A∈(0，π)，则sin A≠0，得到2sin C＝cos C， 结合同角三角函数的基本关系可得tan C＝. (2)因为tan C＝>0，所以C∈， 联立方程组 解得sin C＝，cos C＝(负根舍去)， 由题意得a＝，b＝3，由余弦定理得，解得c＝(负根舍去)， 则△ABC的周长为＋3. 12．解：(1)在△ABC中，(3b－c)(b2＋c2－a2)＝2abc cos C，由余弦定理b2＋c2－a2＝2bc cos A得， (3b－c)·2bc cos A＝2abc cos C，整理得3b cos A＝a cos C＋c cos A，由正弦定理得： 3sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin B，而sin B>0，解得cos A＝. (2)由(1)知sin A＝，而b＋c＝4，则bc≤2＝8，当且仅当b＝c＝2时取等号， 于是得S△ABC＝bc sin A≤， 所以当b＝c＝2时，△ABC面积取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 周练(九)　解三角形 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，A＝135°，则的值为(　　) A． B． C． D．2 3．如图，无人机在离地面高150 m的M处，观测到山顶A处的俯角为15°，山脚C处的俯角为60°，已知AB＝BC，则山的高度AB为(　　) A．100 m B．100 m C．200 m D．200 m 4．在△ABC中，AC＝5, B＝，则“5<BC<7”是“△ABC有两解”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20 km，基站A，B在河的北岸，测得∠ACB＝60°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，∠ADB＝60°，则A，B两个基站的距离为(　　) A．10 km B．30km C．15 km D．10 km 6．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长a，b，c，若A＝2B，则的取值范围为(　　) A． B． C． D．(1，2) 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝10，C＝45°.若三角形有两解，则边c的取值可以是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 8．已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的有(　　) A．若△ABC为等边三角形且边长为2，则＝2 B．若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C＝120° C．若ab＝c2，则0<C≤ D．若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形 答题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，c＝(a＋2b)cos B．若b2－c2＝2，则c·cos A＝________． 10．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan B＝c，点D在边BC上，AD＝b且△ADB的面积为，则CD＝________． 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求tan C； (2)若a＝，b＝3，求△ABC的周长． 12．(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(3b－c)(b2＋c2－a2)＝2abc cos C． (1)求cos A； (2)若b＋c＝4，求△ABC面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $