周练（八）三角函数的图象和性质-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质，覆盖平移、周期性、单调性等核心考点，题型从基础概念到实际建模，逻辑递进，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|题1-2、9|考查周期性、对称性、单调区间|从正切/余弦函数定义出发，结合图象特征分析性质| |图象变换|题3-4、7-8|含平移、伸缩及参数求解|以辅助角公式为桥梁，建立解析式与图象的对应关系| |综合应用|题5-6、10|三角与函数零点、三角形结合|通过函数性质推理，发展逻辑思维与创新意识| |实际建模|题12|摩天轮高度问题|将实际情境抽象为三角函数模型，体现数学语言表达现实世界的能力|

周练(八)　三角函数的图象和性质 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数f(x)＝A tan (A>0，ω>0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是(　　) A． B． C． D．8 2．已知函数f(x)＝cos ，下列说法错误的是(　　) A．f(x)的图象的一个对称中心为 B．f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝ C．f(x)在上单调递增 D．函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的是一个奇函数的图象 3．函数f(x)＝sin ωx＋a cos ωx(a>0，ω>0)的部分图象如图所示，A，B，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．若函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)，N.将f(x)的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得g(x)，则g的值为(　　) A．－ B． C． D．2 5．在锐角三角形ABC中，下列结论正确的是(　　) A．cos(cos C)>cos(sin B) B．cos(sin A)>cos(cos B) C．cos(sin C)>cos(cos B) D．cos(sin A)>cos(cos A) 6．已知定义在R上的函数f(x)＝3|x-1|与函数h(x)＝m cos (1－x)的图象有唯一公共点，则实数m的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．要得到函数y＝sin 的图象，只要将函数y＝sin x图象上所有的点(　　) A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位 B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位 C．向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) D．向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) 8．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期是2π B．a的值为 C．f(x)在上单调递减 D．若f(x＋t)为偶函数，则 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．函数f(x)＝sin 在x∈(0，π)的单调递增区间为________． 10．已知x1，x2，x3(x1<x2<x3)为函数f(x)＝sin (ωx＋φ)－sin φ的3个相邻零点，若2(x2－x1)＝x3－x2，则φ＝________． 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)已知函数f(x)＝2cos x. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值． 12．(15分)如图，某摩天轮最高点距离地面110米，最低点距离地面高度为10米，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟． (1)以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴，PQ所在的直线为y轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，求H关于t的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过85米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．(精确到个位) 参考公式与数据：sin θ＋sin φ＝2sin cos ，sin θ－sin φ＝2cos sin ≈1.41，≈1.73. 学科网（北京）股份有限公司 $ 周练(八)　三角函数的图象和性质 1．A　由题可知，是该函数的周期的整数倍，即×k，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，又ω>0，故其最小值为，故选A． 2．A　∵f＝cos ＝cos π＝－1≠0，不是f(x)的图象的对称中心，A错误；＝－1为最小值，∴直线x＝是f(x)的图象的对称轴，B正确；令2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，故f(x)的单调递增区间为[，kπ－]，k∈Z，当k＝1时，f(x)在上单调递增，C正确；函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到f＝cos [＋]＝＝sin 2x，是奇函数，D正确． 3．B　因为f(x)＝sin ωx＋a cos ωx(a>0，ω>0)过点A，则f(0)＝a＝，可得f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝因为f(x)过点A，B，结合图象可知，即T＝π，且ω>0，可得ω＝＝2，故选B. 4．B　函数图象上有两个相邻顶点为M，N，则＝1－(－3)＝4，即T＝8，可得＝8，解得ω＝，由顶点纵坐标为，得A＝，则f(x)＝cos 过M，代入得cos (×(－3)＋φ)，得－＋φ＝2kπ，解得φ＝<π得φ＝，可知f(x)＝cos ，则g(x)＝cos ((x＋1)＋)＋cos ＋，则g＝cos ＋cos ，故选B. 5．A　因为△ABC为锐角三角形，所以B＋C>，所以0<－C<B<，所以1>sin B>sin ＝cos C>0，所以cos(cos C)>cos(sin B)，故A正确；同理，1>sin A>cos B>0，所以cos (sin A)<cos (cos B)，故B错误；同上，1>sin C>cos B>0，所以cos (sin C)<cos (cos B)，故C错误；又A＝时，cos ＝cos ，故D错误． 6．C　因为f(x)＝3|x-1|＝则f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，且当x>1时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减；又h(x)＝m cos (1－x)＝m cos (x－1)，故可看作由函数y＝m cos x向右平移1个单位得到，所以h(x)＝m cos (x－1)的图象也关于x＝1对称；又由于函数f(x)与函数h(x)的图象有唯一公共点，即方程m cos (x－1)＝3|x-1|只有一根，因为两函数图象都关于x＝1对称，所以方程的根为1，即m cos (1－1)＝3|1-1|，解得m＝1，故选C. 7．BC　要得到函数y＝sin 的图象，只要将函数y＝sin x图象上所有的点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位；或者向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，故选BC. 8．ACD　由题图可知，A＝2，该三角函数的最小正周期T＝＝2π，故A选项正确；由于ω＝＝1，则f(x)＝2sin (x＋φ)，由题图知f＝f，所以该函数图象的一条对称轴为x＝.将代入f(x)＝2sin (x＋φ)，得出＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝2sin ＝2sin ，所以a＝f＝2sin ＝2sin ，故B选项错误；令2kπ＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．当k＝－1时，f(x)在上单调递减，故C选项正确；若f(x＋t)为偶函数，则f(x＋t)＝2sin 为偶函数，所以t－＝kπ＋(k∈Z)，解得t＝kπ＋(k∈Z)，则当k＝－1时，，故D选项正确． 9．解析：因为f(x)＝sin ，令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin 的单调递增区间为[＋kπ，]，k∈Z，所以函数f(x)＝sin 在x∈(0，π)的单调递增区间为和. 答案：和 10．解析：因为ω>0，则f(x)的最小正周期为T＝，可知x3－x1＝，又因为2(x2－x1)＝x3－x2，可得3(x2－x1)＝x3－x1＝，即x2－x1＝，且x3－x2＝－(x2－x1)＝，又f(0)＝0，可知或－为f(x)的零点，若为f(x)的零点，则f＝sin －sin φ＝cos φ－sin φ＝0，可得tan φ＝，且0<φ<，可得φ＝，若－为f(x)的零点，则f＝－sin φ＝－cos φ－sin φ＝0，可得tan φ＝－，这与0<φ<矛盾；综上所述：φ＝. 答案： 11．解：(1)f(x)＝2cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z. (2)因为f(x)＝2cos x在上单调递增，在上单调递减， 且f＝2cos ＝2cos ＝2×＝－1，f＝2cos ， 所以当x＝－时，f(x)min＝－1， 所以函数f(x)在区间上的最小值为－1. 12．解：(1)如图，设座舱距离地面最近的位置为点P， 以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系． 设t＝0 min时，游客甲位于点P(0，－50)，以OP为终边的角为－， 根据摩天轮转一周大约需要30 min，可知座舱转动的角速度约 rad/min， 由题意可得H＝50sin ＋60，0≤t≤30. (2)在运行一周的过程中，由0≤t≤30，则－π， 令H＝50sin ＋60≤85， 可得sin ， 解得0≤t≤10或者20≤t≤30. 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度不超过85 m的时长为20 min. (3)由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示， 不妨设点B相对于A始终落后，则∠AOB＝2×， 经过t min后，甲距离地面的高度为H1＝50sin ＋60， 点B相对于A始终落后 rad，此时乙距离地面的高度H2＝50sin ＋60， 则甲、乙高度差h＝|H1－H2|＝50－， 利用sin θ－sin φ＝2cos sin ， 可得h＝100＝100sin (0≤t≤30)， 当或，即t＝或， 所以hmax＝100sin ＝100sin ＝100(cos －cos sin ) ＝100×， 则将参考数据≈1.41，≈1.73代入， 得hmax≈25×1.41×0.73＝25.7325≈26 m， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为26 m. 学科网（北京）股份有限公司 $