周练（七）三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式、诱导公式及三角恒等变换-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 聚焦三角函数概念、公式及应用，通过分层题型构建从基础到综合的知识逻辑链，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题（1,2,7）|角的表示、充要条件、终边坐标|从三角函数定义出发，建立概念与符号运算的联系| |几何应用|2题（3,10）|扇环面积、扇形内接矩形最值|将几何问题转化为三角函数模型，体现数学建模意识| |三角变换|4题（4,5,8,11）|和差角公式、二倍角公式应用|以公式推导为核心，训练运算能力与推理意识| |综合应用|2题（6,12）|单位圆动点相遇、函数性质探究|整合概念与公式，培养综合分析与问题解决能力|

周练(七)　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式、诱导公式及三角恒等变换 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．把－表示成2kπ＋θ(k∈Z)的形式，且使θ∈(0，2π)，则θ的值为(　　) A． B． C． D． 2．“α＝60°”是“tan α＝”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环ABCD的外圆弧CD的长为，圆心为O，点A，B分别为OD，OC的中点，扇环ABCD的面积为16π，则OA＝(　　) A． B．2 C． D．4 4．在△ABC中，若sin (A－B)＋sin C＝0，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 5．已知0<β<α<，sin (α－β)＝，tan α－tan β＝2，则sin αsin β＝(　　) A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系xOy中，单位圆上的动点P，Q同时从点A(1，0)出发，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度．若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第________次相遇．(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．下列说法正确的是(　　) A．若α终边上一点的坐标为(3，－4)，则cos α＝ B．若角α为锐角，则2α为钝角 C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 D．若sin α＋cos α＝，且0<α<π，则tan α＝－ 8．已知cos ＋sin α＝，α∈，则(　　) A．sin ＝ B．cos ＝－ C．sin ＝ D．cos ＝ 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则＝______． 10．如图，OPQ是半径为1，∠POQ＝α的扇形，C是弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝x，cos α＝，当x＝θ时，四边形ABCD的面积S取得最大值，则cos θ的值为________． 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)已知α∈，β∈，tan α＝，tan β＝. (1)求α＋β的值； (2)求sin (2α＋β)的值． 12．(15分)已知函数f(x)＝2cos x·sin . (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若x∈时，函数g(x)＝f(x)＋m的最小值为2.试求出函数g(x)的最大值并指出x取何值时，函数g(x)取得最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周练(七)　三角函数的概念、同角三角函数 的基本关系式、诱导公式及三角恒等变换 1.C　因为－＝－4π＋∈(0，2π)，所以θ的值为，故选C. 2．B　若α＝60°，则tan α＝.若tan α＝，则α＝k·180°＋60°，k∈Z，不一定等于60°.故“α＝60°”是“tan α＝”的充分不必要条件．故选B. 3．D　设OA＝r，∠AOB＝α，则圆弧AB＝αr，由题意得解得r＝4，所以OA＝4，故选D. 4．C　由于0＝sin (A－B)＋sin C＝sin (A－B)＋sin (A＋B)＝2sin A cos B，故cos B＝0，从而B＝.所以△ABC是直角三角形，故选C. 5．B　因为0<β<α<，所以0<α－β<，因为sin (α－β)＝，所以cos (α－β)＝，因为2＝tanα－tan β＝，所以cos αcos β＝，因为cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋sin αsin β＝，则sin αsin β＝.故选B. 6．B　由题设，两点相遇时的坐标是B，则P，Q分别最少旋转了，经过t秒相遇，有＋2k1π，＋2k2π且k1，k2∈N，则t＝6＋16k1＝，所以2＋7k1＝k2，要使P，Q相遇，则t＝2nπ且n∈N，即n＝，若n＝10，则t＝20，此时k1，k2∉N，A错；若n＝11，则t＝22，此时k1＝1，k2＝9，B对；若n＝12，则t＝24，此时k1，k2∉N，C错；若n＝13，则t＝26，此时k1，k2∉N，D错． 7．ACD　由α终边上的点(3，－4)，知cos α＝，A正确；由锐角α＝30°，则2α＝60°也是锐角，B错误；设扇形半径为r，根据弧长公式有弧长L＝r＝π，则r＝3，所以扇形面积为S＝π，C正确；由题设(sin α＋cos α)2＝⇒1＋2sin α·cos α＝，则sin α·cos α＝，又0<α<π，则sin α>0>cos α，结合sin α＋cos α＝，可得sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝，D正确． 8．ABD　由题cos ＋sin α＝cos α－sin α＋＝sin α＋cos α＝sin ＝，A正确；又α∈，所以α＋∈，所以cos ＝，B正确；sin＝sin [＋]＝cos ＝1－2sin2＝1－2×2＝－，C错误；cos＝cos [＋]＝－sin ＝－2sin cos ＝－2×＝，D正确． 9．解析：因为角α的终边经过点P(2，－3)，则tan α＝所以，＝ ＝5. 答案：5 10．解析：由题意可知在Rt△OBC中，OB＝cos x，BC＝sin x，在Rt△OAD中，＝tan α，因为cos α＝，且0<α<，所以tan α＝，所以OA＝，所以S＝AB·BC＝sin x＝(1－cos 2x)＝sin (2x＋φ)－，其中cos φ＝，sin φ＝，所以当x＝θ，即sin (2θ＋φ)＝1时，S最大，即sin 2θ＋cos 2θ＝1⇒sin θcos θ＋(cos 2θ－sin2θ)＝cos2θ＋sin2θ，即(2sinθ－cos θ)2＝0，2sin θ＝cos θ，因为sin2θ＋cos2θ＝1，0<θ<，所以cos θ＝. 答案： 11．解：(1)tan (α＋β)＝＝1， ∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝. (2)由 求得sin α＝，cos α＝， ∴sin (2α＋β)＝sin ＝(sin α＋cos α)＝. 12．解：(1)f(x)＝2cos x·sin ＝2cos x(－cos x sin ) ＝2cos xsin x－)＝sin 2x－cos 2x ＝sin 2x－＝sin －， 所以f(x)的最小正周期为＝π， 令2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为[，kπ＋]，k∈Z. (2)由(1)知，函数f(x)在区间上为增函数，所以函数g(x)＝f(x)＋m在区间上为增函数， 所以g(x)min＝g＝f＋m＝sin －＋m， 所以－1－＋m＝2，即m＝. g(x)max＝g＝f＋＝sin －＝4，此时x＝. 学科网（北京）股份有限公司 $