周练（六）导数的极值与综合应用-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 聚焦导数极值与综合应用，以题构建“概念辨析-极值计算-综合应用-证明探究”逻辑链，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|选择1|导函数图像与单调性、极值点关联|从导函数几何意义到极值点判定| |极值与最值计算|选择2、填空9|直接求极值点及函数最值|极值点求法（f'(x)=0）与最值计算| |综合应用|选择3-6、填空10、多选7-8|结合不等式、函数性质、零点问题|极值与函数性质、不等式恒成立/存在性的综合| |证明与探究|解答11-12|极值证明及参数范围探究|运算能力与逻辑推理的综合应用|

周练(六)　导数的极值与综合应用 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)在(1，2)上单调递减 B．x＝－1是函数y＝f(x)的极小值点 C．x＝1是函数y＝f(x)的极大值点 D．f(2)是函数y＝f(x)的极大值 2．函数 f(x)＝ex－ 的最小值为(　　) A． B．1 C．e D．e2 3．若存在x∈，使得a cos x≥x＋sin x成立，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(－∞，0] D．[0，＋∞) 4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ex(x＋1)，则下列说法正确的是(　　) A．当x>0时，f(x)＝ex(1－x) B．函数f(x)有两个零点 C．f(x)<0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞) D．∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2 5．设函数f(x)＝，则方程f2(x)－4ef(x)－5e2＝0的实数根的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 6．若＋ln x＋a≤0对任意x>0均成立，则a的最大值为(　　) A．1 B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．若函数f(x)＝x(x－1)(x＋1)，则下列结论正确的有(　　) A．f(x)为奇函数 B．若x>x2，则f(x)>f(x2) C．f(x)的所有极值点的和为0 D．f 8．已知函数f(x)＝ex(x－aex)，a∈R，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x)只有一个极值点，则a≤0或a＝ B．当a>时，f(x)是减函数 C．当a＝－1时，f(x)有唯一零点 D．当a＝1时，对任意实数t，总存在实数x1，x2，使得f′(t)＝ 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．已知函数f(x)＝(x2＋x－5)ex，则函数f(x)的极大值点为________． 10．已知函数f(x)＝x2－ln x＋ax在区间(1，＋∞)上没有零点，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)已知函数f(x)＝－2x ln x，g(x)＝x2＋x. (1)求f(x)的极值； (2)证明：当x>1时，f(x)＋g(x)>0.(参考数据：ln 2≈0.69) 12．(15分)已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝f(x＋1)－ax2－x. (1)函数f(x)的导函数是f′(x)，求证：f′(x)≤2－1； (2)若函数g(x)在(0，＋∞)上存在最大值，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.ZxXk.c0m 您身边的互联网+教辅专家 周练（六）导数的极值与综合应用 1.D由题图可知x∈(1,2)时，f(x)>0,所以函数y=x)在(1,2)上单调递 增，故A错误；由题图可知x∈（一∞，2）时，fx)≥0，所以函数y=x)在（一∞， 2)上单调递增，x=一1不是函数y=x)的极小值点，故B错误；由B选项可知 函数y=x)在（一∞，2）上单调递增，由题图可知x∈(2，十∞)时，f(w)大0，所以 函数y=x)在(2，+∞)上单调递减，故x=2是函数y=x)的极大值点，2)是函 数y=x)的极大值，故C错误；D正确. 2.C f(x)=e*-x e.x-eln x =xe-e+elnx,设s=re-e十enx,则s 2 )=(㎡+2xe+是0，故为0，十60)上的增西数，而0)=0,0，放当 0<<1时，s()<0即f(x)<0,当x>1时，s(x)>0即f(x)>0,故x)在(0,1)上为减 函数，在(1，十o)上为增函数，故x)im=1)=e,故选C. 3.D当x=2时，不等式显然不成立，当0≤时，可得a≥* 二有解， COSX =X+5mX,O≤x,则f1+coscos米：+s1nsin COSx cosx+xsinx+1 COSx 0恒成立，所以)在[0，乃)上单润道增，所以m 0)=0,故a≥0.故选D. 4.D因为函数x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，x)=e(x十1)，设 x>0,则-K0,x)=一-x)=一e(-x+1),故A错误；由题知0)=0，且 0时，术-1)=0，则1)=--1)=0，故B错误；对于C,当x<0时，x)= e'(x+1)0得x-1,x>0时，x)=-e(-x+1)<0得0<<1，故C错误；对于 D,当x<0时，x)=e(x+1)→f(x)=e'x+2),当-2<x<0时，则f(x)>0,所以 独家授权侵权必究 。学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 )在（一2,0）上单调递增，当<一2时，则(x大0，所以)在(-∞，一2)上单 调递减，则人-2)=-e2,当x一-∞时，)→0，当x一0时，w→1，所以 x)∈[-e2,1),由x)为定义在R上的奇函数，故当x0时，x)∈(-1，e], 因此x1,x∈R,都有x)-x)<1一(-1)儿=2，故D正确. 5.B 树的定义域为R,由)= x+3x+1 ex 得f(x)= 2x+3e-x+3x+1e=.X+x-2=.x-1x+2 lep er ，由fx)>0,得-2<1，由 fx)<0,得x-2或x>1,所以)在(-2,1)上单调递增，在(-∞，一2)和(1， +)上单调递减，所以)的授大值为)-三，板小值为-2)=4-6-一 e e,当x>0时，x)0,则w的大致图象如图所示， y=fx) 0 = 令t=x),则f-4et-5e=(t-5e)(t+e)=0,所以方程f-4et-5e'=0有两 个不相等的实根，ti=-e,=5e,所以由图可知，y=x)的图象与y=i有2个 不同的交点，y=x)的图象与y=有1个不同的交点，所以原方程有3个不同的 根.故选B. 6.A构造x)=x+1nx,x0,可知w)在定义域(0，十∞)内单调递增，且 当x趋近于0时，x)趋近于一∞；当x趋近于十∞时，x)趋近于十∞；则x)在 定义域(0，+∞)内存在难一零点，即x十ln=0,可得n=-x,若 ax2-xe+lnx+a≤0对任意x>0均成立，即ax2-e+nx+lmx+a≤0，令x=可 得ax-e。no+ln和十a≤0，即ax-1-x号+a≤0，整理可得 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 a-1x+1≤0，即a-1≤0，可得a≤1：若a≤1，构造tx=e-x-1,则tx=e-1,令tx> +1nx+a≤ax2-(x2+1nx+1)+lnx+a=(a-1)x2+1)≤0，符合题意；综上所述 a≤1，所以实数a的最大值为1. 7.ACDx)=x-1)x+1)=x3-x,因为函数定义域为R,且x)十-x) =0,则x)为奇函数，故A正确；由x>x台x∈(0,1)，f(x)=3x2-1, (x)>0→x∈ 33 -00, +00 fx)<0→x∈ 3 3 则x)在 3 V3 -00, +00 3 3 上单调递增，在 3 3 3 3 上单调递减.则x)在(0， 1) 上 不 调 故 x>x2 时 x)> X不一定成立，B错误：由B选项分析可知，「x的极值点为.和 3 31 则x的所有极值点的和为 0, C正确；注意到 sinx∈[0,1]，又由B分析可知fx在 3 单调递增，在 [0, 37上单调递减，则flsin x=marO),I》=0,fsi血Xlan=f 3 3 =23 3 9, 故D正确，8.BCD由x)=e'(x-ae),得f(x)=e'(x+1一 2ae),当a=2时，f(=e(r+1-e),令h)=x+1-e,h()=1-e,当x0 时，h(x0,h(x)单调递减；当<0时，h(x)>0,h(x)单调递增；又h(O)=0,故 h≤0)=0，即x+1-e≤0；故当a=时，f)≤0恒成立，故y=网单调递 减，没有极值点，故A错误；令m)=x+1-2ae,m'()-1-2ae,又当a心2时， 1 1 y=1-2ae单调递减，令mG=0,解得x=lh2a,故当x∈o,l 2a,m 的0，m的单洞送接；当En2a,+0,m(0,m单调造减，故m6) 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =In 2a,又2a1,2a∈0,1)，血2a0,故m0,f0,和单 调递减，故B正确；当a=一1时，令w=e'(x十e)=0,则x十e=0,设g(x)= x十e,则g)=1十e0,即g)在R上单调递增，又g(-1)= 1-1<0,g0=1,故存在x∈-1,0，使得gx,=fx=0,故当a=-1时， x)有唯一零点∈(-1,0)，C正确；当a=1时，f)=e'(x-e9,f)=e(x+1 1 -2ey,此时)=x+1-2e,由B可知，m(9≤m1n2=血2<0， 故(x)大0，f(x)<0,x)单调递减，且当x趋近于一∞时，x)趋近于0，当x 趋近于十∞时，x)趋近于一∞；故x)的大致图象如图所示，根据导数的几何意 f x-f x2 义，数形结合可知：对任意实数t,总存在实数x1,3,使得()= X1-X21 故D正确. (x1,fx1) y=fx) (x2,f2)八 9.解析：由题设fx)=(x2+3x-4)e=(x+4)x-1)e,当x<-4或x>1时 (x)0,当-4<x<1时f(x)0,所以x)在(-∞，-4)，(1，+∞)上单调递增，在 (-4,1)上单调递减，所以x)的极大值点为一4. 答案：一4 10.解析：因为画数网=父-hx+m在区间1，十o⊙)上没有零点，且 +o时，侧一十o,所以)=术-nx+a>0在区同(，+o)上恒成立， -x在区间1，十∞)上恒成立，设g)-2文-x,1,可得gG)= 所以2x Inx 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 1-Inx.1 =1-Inx-2x 2x2 2X，因为1，可得1-nx-2x<0,所以g0,所以 m)在区间1，+∞)上单调递减，所以gx)g(1)=-1,所以a≥-1，所以实数 a的取值范围为[-1，十∞). 答案：[一1，+∞) 11.解：(1)函数=-2xnx的定义域为(0，+o), 又f(x)=-2(1+nx), 当0KK。时，f>0,当xe时，大0， 所以函数)在0， 1 上单调递增， e 在刻日+上羊河造减，所以在一。 2 所以田的极大值为。，无极小值， 1 (②)证明：设Fw=)+g)=与x2+x-2x1nx(l), 则F(x)=x-2lnx-1, 令h=x-2nx-161）,h)=1-2=x-2 X 当1<<2时，h'(x)0,h(x)单调递减，当x>2时，h(x)0,h(x)单调递增， 又h(2)=1-1n4<0,h(1)=0,h(4=3-2ln40, 所以存在x∈(2,4)，使得h(xo)=0,即xo-2ln-1=0. 当1<Kx时，(x水0，即F(x)0,F(x)单调递减， 当x>x时，(x)>0,即F'(x)0,F(x)单调递增， 所以当x>1时，F()在x=处取得极小值，即为最小值， 1 2 1 故F)≥()=2。+1-2nw)=一2X 5X+2x0, 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXxk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 1 设p(xo)=- 2x+20,因为x∈(2,4)， 0 由二次函数的性质得函数p()=一 1 2 5x十2在(2,4)上单调递减， 0 故p(xo)>p(4)=0, 所以当x>1时，F(x)>0,即x)+g(x>0, 12.解：(1)证明：由)=xnx,得fx)=1nx+1,其中x∈(0，+o), 要证fx)≤2x-1,即证f)-2Vx+1≤0，即1nx-2Vx+2≤0， 设对-版+2，加0安7-婴 当x∈(0,1)时，(x)>0,h(x)单调递增， 当x∈(1，+o)时，h(x)0,h(x)单调递减， 所以h(x)≤h(1)=0, 即fx)≤27x-1. ②由8=c+1n(c+1)am2-x,其中x∈o,+o), 可得，g'(x)=ln(x+1)+1-ax-1=n(x+1)-ax, 令60-g0侧-hG+)a,可得00)-X1a, ①当a≤0时，p'(x)>0,(x)=g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以g'(x)>g(O) =0, 所以函数(x)在(0，十∞)上单调递增，所以函数g(x)在(0，十∞)上不存在最 大值； 1 ②当a≥1时，p(=x+1-K1-a≤0， 可得p(x)=g(x)在(0，+∞)上单调递减，所以g(x)g(O)=0, 独家授权侵权必究◆ 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以函数g(x)在(0，十∞)上单调递减， 所以函数(x)在(0，十∞)上不存在最大值； ③当01氏，由90)=X对-a=0,可传x=。10, 所以当0，。1时：o0,所以=g)在0，日-1上卓调道拍， 当x∈日-1，+∞时，0，=g在日1，+上单调道减。， 0=0,所以g。10,又当x→+∞时，8网=血+ 0, 所以由函数零点的存在性定理，存在∈ -1，+c度得o0=0, 所以，当x∈(0，x)时，p(x)0,即g(x)0, 当x∈(，+∞)时，p(x)0,即g(x)0 所以x)在(0，)单调递增，在(x,十∞)单调递减， 此时g(x)在(0，十∞)上存在最大值gxo),符合题意， 综上所述，实数a的取值范围是(0,1). 独家授权侵权必究