周练（三）指对幂函数-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 聚焦指对幂函数核心概念，通过比较大小、奇偶性、单调性及实际应用等题型，系统覆盖定义、性质及运算，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指对幂函数性质|题1,2,4,7|比较大小、过定点、奇偶性判断|从定义到性质，结合函数图象与单调性| |实际应用|题3|牛顿冷却模型|数学语言描述现实问题，体现模型意识| |综合应用|题5,6,11,12|奇偶性与单调性综合、不等式求解|性质应用拓展，培养逻辑推理能力|

周练(三)　指对幂函数 1．B　依题意得，a＝log30.3<log31＝0，b＝log57>log55＝1，c＝0.30.2<0.30＝1，所以0<c<1，故a<c<b，故选B. 2．C　已知函数f(x)＝ax-1＋1(a>0，a≠1)的图象经过点(2，3)，∴a2-1＋1＝3，解得a＝2，∴f(x)＝2x-1＋1，依次代入各选项坐标：当x＝－2时，f(－2)＝2-2-1＋1＝≠，故A错误；当x＝－1时，f(－1)＝2-1-1＋1＝≠，故B错误；当x＝0时，f(0)＝20-1＋1＝，故C正确；当x＝3时，f(3)＝23-1＋1＝4＋1＝5≠，故D错误． 3．D　由题设37＝21＋(85－21)×16a，可得a＝，所以T＝，则29＝，可得t＝8，故选D. 4．B　因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即，整理得2(a－1)x3＝0恒成立，所以2(a－1)＝0，则a＝1.故选B. 5．C　因为定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以不等式<m<4，所以实数m的取值范围为.故选C. 6．C　ex＝ln ⇔ex＋x＝＋ln 2，由0<y<1，得＋ln <＋ln 2<2＋ln 2，因此＋ln <ex＋x<2＋ln 2，即＋ln 2，而x>0，>0，令函数f(t)＝et＋t，t>0，函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，因此f<f(x)<，则ln <x<ln 2，即－ln y<x<－2ln y，于是x＋ln y>0，x＋2ln y<0，A错误，C正确；又x>0，ln y<0，则2x＋ln y>0，x＋3ln y<0，B、D错误． 7．BD　对于A，函数y＝－x-1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，显然该函数在定义域上不单调，A错误；对于B，函数y＝的定义域为R，y＝x，y＝都是奇函数，也都是增函数，因此y＝在R是奇函数，又是增函数，B正确；对于C，函数y＝8x＋8－x的定义域为R，8－x＋8－(－x)＝8x＋8－x，即函数y＝8x＋8－x是偶函数，C错误；对于D，函数f(x)＝x|x|的定义域为R，f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，即函数y＝x|x|是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2在[0，＋∞)上单调递增，当x≤0时，f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，因此函数y＝x|x|在R上单调递增，D正确． 8．ABD　设A(x1，log4x1)，B(x2，log4x2)，则C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，∵O，A，B三点共线，∴kOA＝kOB，即，则，即kOC＝kOD，∴O，C，D三点共线，A选项正确；∵log4x＝log2x，∴AM＝log4x1＝，同理BN＝DN，S梯形CDNM＝＝2＝2S梯形ABNM，B选项正确；由前面分析，＝2，当且仅当，即DN＝CM时取得等号，显然等号取不到，C选项错误；当BC∥x轴时，log2x1＝log4x2，则log2x1＝log2，即x1＝，又∵log4x2＝log4x2，∵log4x2≠0，∴＝1，则x2＝4，∴x1＝＝2，log4x1＝，即A，D选项正确．故选ABD. 9．解析：因为2a＝6，log49＝b，所以log49＝＝log23＝b，因此2b＝3，所以23b＝(2b)3＝33＝27，4a＝(22)a＝(2a)2＝62＝36，所以23b－4a＝27－36＝－9. 答案：－9 10．解析：幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2则(m－1)2＝1，∴m＝0或m＝2，当m＝2时，f(x)＝x-2在(0，＋∞)上单调递减，舍去；故f(x)＝x2，当x∈[1，5)时：f(x)＝x2∈[1，25)，故g(5)＝25－3t≥25，∴t≤；g(1)＝2－3t≤1，∴t≥，综上所述：t∈. 答案： 11．解：(1)设f(x)＝xa，代入点得＝4a，解得a＝－ 即f(x)＝，其定义域为(0，＋∞)． (2)由幂函数的性质可得，函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递减， ∵f(a2＋1)<f(a＋3)，∴a2＋1>a＋3>0， 解得－3<a<－1或a>2.∴实数a的取值范围为(－3，－1)∪(2，＋∞)． 12．解：(1)当x>0时，f(x)＝， 任取x<0，则－x>0，f(－x)＝1－， 又∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝， 又∵f(0)＝0也符合上式，∴f(x)＝. (2)函数f(x)在R上单调递增．证明如下：任取x1，x2∈R且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝ ∵x1<x2∴∴<0， 又∵＋1>0 ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在R上单调递增． (3)由f(m)＋f(m2－2t)<0得f(m)<－f(m2－2t)， ∴f(m)<f(2t－m2)，∴m<2t－m2，即m2＋m<2t， ∴对∀m∈[－1，1]，都有m2＋m<2t恒成立， ∴y＝m2＋m＝2－，当m＝1时ymax＝2， ∴2<2t，解得t>1， ∴实数t的取值范围为(1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周练(三)　指对幂函数 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a＝log30.3，b＝log57，c＝0.30.2，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a 2．已知函数f(x)＝ax-1＋1(a>0，a≠1)的图象经过点(2，3)，那么这个函数的图象也必定经过点(　　) A． B． C． D． 3．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述：设物体的初始温度为T0，环境温度为T1，经过一段时间t(单位：分钟)后物体的温度是T，满足T＝T1＋(T0－T1)at.将85 ℃的热水放到21 ℃的房间中，如果热水降到37 ℃需要16分钟，那么从37 ℃降到29 ℃还需要多少分钟(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知函数f(x)＝为偶函数，则a＝(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(log2m)>f(2)，则实数m的取值范围为(　　) A．(4，＋∞) B． C． D．∪(4，＋∞) 6．已知x>1，0<y<1，且ex＝ln ，则(　　) A．x＋ln y<0 B．2x＋ln y<0 C．x＋2ln y<0 D．x＋3ln y>0 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是(　　) A．y＝－x-1 B．y＝ C．y＝8x＋8－x D．y＝x|x| 8．对数函数y＝log4x与y＝log2x的图象如图所示，过原点O的直线交y＝log4x的图象于不同的A，B两点，过点A，B分别作y轴的平行线交y＝log2x于C，D两点，交x轴于M，N两点，则(　　) A．O，C，D三点共线 B．梯形CDNM的面积为梯形ABNM面积的2倍 C．＝2 D．当BC∥x轴时，点A坐标为 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．已知2a＝6，log49＝b，则23b－4a＝________． 10．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－3t，任意x1∈[1，5)时，总存在x2∈[1，5)使得f(x1)＝g(x2)，则t的取值范围是________． 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)已知y＝f(x)是幂函数， (1)若函数y＝f(x)过定点，求函数y＝f(x)的表达式和定义域； (2)若f(x)＝，f(a2＋1)<f(a＋3)，求实数a的取值范围． 12．(15分)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数， 且当x>0时，f(x)＝. (1)求函数f(x)在R上的解析式； (2)判断函数f(x)在R上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数m∈[－1，1]，f(m)＋f(m2－2t)<0 恒成立，求实数t的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $