解题大招21 轻松突破函数图象问题的7大题型（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以“作图-变换-对称-应用”为逻辑主线，通过5大知识点+7类题型构建函数图象问题的系统性解题方法体系，提炼“变换四步法”“识辨五要素”等可迁移技巧，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|5个（含描点法、变换、对称性等）|描点法四步骤、变换策略（平移/伸缩/对称）、对称性口诀（内同周期内反对称）|从基础作图到图象变换，再到对称性（自身/相互）及周期性推导，形成“概念-性质-应用”链条| |题型|7类（含作图、变换、选图、零点等）|识辨五要素（定义域/值域/单调性/奇偶性/特征点）、零点问题数形结合法|题型覆盖高考高频考法，典例含绝对值函数、基本初等函数变换等，实现“以题载法”|

解题大招21 轻松突破函数图象问题的7大题型 知识点01 描点法作函数的图象 1．函数图象的概念 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象． 2．利用描点法作函数图象的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； (4)描点连线，画出函数的图象． 知识点02 利用图象变换法作函数的图象 1．平移变换 y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象． 2．伸缩变换 y＝f(x)的图象 y＝f(ωx)的图象； y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象． 3．对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象． 4．翻折变换 y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象； y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象． 知识点03 同一个函数图象的对称性（自身对称） 1．对称性和周期性的区别 若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”. 2．函数图象本身的对称性(自身对称) ⑴图象关于直线对称. 推论1: 的图象关于直线对称. 推论2、的图象关于直线对称. 推论3、)的图象关于直线对称. ⑵的图象关于点对称. 推论1、的图象关于点对称. 推论2、的图象关于点对称. 推论3、的图象关于点对称. 3．函数的对称性与奇偶性的关系 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 4．函数图象对称性的扩充（秒杀图象问题的必记结论） (1)的图象关于直线对称. (2)的图象关于直线对称的图象关于直线对称. 知识点04 两个函数图象间的对称性（相互对称） 1． 函数与图象关于直线对称. （提示：令与中的相等，即， 从而可求得对称轴方程为） 推论1:函数与图象关于直线对称. 推论2:函数与图象关于直线对称. 推论3:函数与图象关于直线对称. 2．函数与图象关于点对称. （提示：令与中的相等，即， 从而可解得对称中心的横坐标为） 推论1: 函数与图象关于点（0，0）对称. 推论2: 函数与图象关于点（，0）对称. 推论3: 函数与图象关于点（-，0）对称. 3．其他的一些特殊的对称结论： ⑴与图象关于y轴对称. ⑵与图象关于原点对称函数. ⑶函数与图象关于x轴对称. ⑷函数与其反函数图象关于直线对称. 知识点05 函数图象双对称性和周期性的关系 1．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. 2．若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. 3．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜. 题型01 画函数的图象 函数图象的常见画法 (1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象． (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． 【典例1-1】作出下列函数的图象： (1)y＝－； (2)y＝－1； (3)y＝｜log2(x＋1)｜. 【典例1-2】（26-27高三一轮复习）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和详解法表示函数． 【跟踪训练】 1．作出下列函数的图象： (1)y＝|x－2|·(x＋2)； (2)y＝； (3)y＝x2－4|x|. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 3．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象． (1)； (2)． 题型02函数图象的变换 函数图象的变换策略 1． 分清变换对象：针对 x 仅改 x，整体改全部；左加右减、上加下减。 2．伸缩优先整理：x 前系数提取，如 y=f (2x+4) 化为 y=f [2 (x+2)] 再平移。 3．多变换按顺序平移伸缩对称分步演算，特殊点跟踪验证。 4．逆向题型反向操作，反向变换符号反转，最后代点核对。 【典例2-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 【典例2-2】（2026·北京·三模）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 2．（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 3．（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 4．(多选)（25-26高三上·河南·阶段检测）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 题型03由函数解析式选择图象 函数图象的识辨策略 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不符合要求的图象． 【典例3-1】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江西鹰潭·阶段检测）函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上的简图是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（   ） A． B． C． D． 题型04 由函数图象选择解析式 由函数图象选择解析式的策略 1．辨类型：看图象形状定函数（直线→一次、抛物线→二次、双曲线→反比例、波浪→三角函数）； 2．抓特征点：取顶点、交点、零点、渐近线代入通用式； 3．判参数符号：增减性定斜率、 开口方向，极值、周期求系数； 4．验证：代图象上一点校验，排除不符解析式. 【典例4-1】（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津南开·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 题型05 利用函数图象研究函数性质 利用函数图象研究函数性质的策略 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性； (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 【典例5-1】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【典例5-2】（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图象上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【跟踪训练】 1．（2026·湖南长沙·一模）定义在R上的偶函数的部分图象如图，则下列函数在区间上与的单调性不同的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁·一模）已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽合肥·期末）对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”. (1)求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”； (2)若函数是“同比不减函数”，求的取值范围； (3)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.是否存在正常数，使得对于任意的，函数都为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 题型06 利用函数图象解决零点（根）的问题 利用函数图象解决函数零点（方程根）问题的思路 当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究函数零点或方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标． 【典例6-1】（25-26高三下·湖北十堰·阶段检测）已知函数若有个不同的实数根，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，的取值为或．有如下两个命题：①若有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，则函数至少存在2025个严格减区间；②若对任意满足条件的函数，方程都有解，则实数存在4051个可能的取值；则（    ） A．①正确；②正确 B．①正确；②错误 C．①错误；②正确 D．①错误；②错误 4．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07 利用函数图象解决不等式问题 用函数图象解决不等式问题的思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解． 【典例7-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】（25-26高三下·湖南长沙·期中）定义在上的三个函数，若，则的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．函数有6个零点 3．（25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________. 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图象及的图象，则（　　） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 4．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 7．（2025高一上·安徽·竞赛）函数的函数值表示不小于x的最小的整数，例如，则函数的零点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 8．（25-26高三·全国·一轮复习）设定义域为的函数，则关于的方程，有7个不同实数根的充要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 9．（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．(多选)（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）（25-26高三上·山东淄博·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象.则称为“旋转函数”.那么（    ） A．存在旋转函数 B．旋转函数一定是旋转函数 C．若为旋转函数，则 D．若为旋转函数.则 15．（多选）（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C． D． 16．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 17．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是_________． 18．（2026·重庆万州·三模）若直线与函数的图象的公共点构成的集合为，直线与函数的图象的公共点构成的集合为，且只有个元素，则的取值范围是_________________ 19．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 20．（25-26高三上·天津河西·期中）若函数且函数在区间内恰有4个零点，则的取值范围为_____. 21．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数且点在函数的图象上． (1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； (2)若方程有两个实根，结合图象简单说明，求实数的取值范围． (3)结合图象简单说明，求不等式的解集； 22．（25-26高三上·上海奉贤·期末）定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”. (1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由； (2)求证：函数（且）不具有“性质”； (3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招21 轻松突破函数图象问题的7大题型 知识点01 描点法作函数的图象 1．函数图象的概念 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象． 2．利用描点法作函数图象的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； (4)描点连线，画出函数的图象． 知识点02 利用图象变换法作函数的图象 1．平移变换 y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象． 2．伸缩变换 y＝f(x)的图象 y＝f(ωx)的图象； y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象． 3．对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象． 4．翻折变换 y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象； y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象． 知识点03 同一个函数图象的对称性（自身对称） 1．对称性和周期性的区别 若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”. 2．函数图象本身的对称性(自身对称) ⑴图象关于直线对称. 推论1: 的图象关于直线对称. 推论2、的图象关于直线对称. 推论3、)的图象关于直线对称. ⑵的图象关于点对称. 推论1、的图象关于点对称. 推论2、的图象关于点对称. 推论3、的图象关于点对称. 3．函数的对称性与奇偶性的关系 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 4．函数图象对称性的扩充（秒杀图象问题的必记结论） (1)的图象关于直线对称. (2)的图象关于直线对称的图象关于直线对称. 知识点04 两个函数图象间的对称性（相互对称） 1． 函数与图象关于直线对称. （提示：令与中的相等，即， 从而可求得对称轴方程为） 推论1:函数与图象关于直线对称. 推论2:函数与图象关于直线对称. 推论3:函数与图象关于直线对称. 2．函数与图象关于点对称. （提示：令与中的相等，即， 从而可解得对称中心的横坐标为） 推论1: 函数与图象关于点（0，0）对称. 推论2: 函数与图象关于点（，0）对称. 推论3: 函数与图象关于点（-，0）对称. 3．其他的一些特殊的对称结论： ⑴与图象关于y轴对称. ⑵与图象关于原点对称函数. ⑶函数与图象关于x轴对称. ⑷函数与其反函数图象关于直线对称. 知识点05 函数图象双对称性和周期性的关系 1．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. 2．若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. 3．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜. 题型01 画函数的图象 函数图象的常见画法 (1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象． (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． 【典例1-1】作出下列函数的图象： (1)y＝－； (2)y＝－1； (3)y＝｜log2(x＋1)｜. 【详解】(1)函数y＝－＝－2－，则其图象可看作由反比例函数y＝－的图象，先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图所示. (2)设h(x)＝y＝－1，其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，而y＝＝其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y＝－1图象如图所示. (3)设t(x)＝y＝｜log2(x＋1)｜，则其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，其图象如图所示. 【典例1-2】（26-27高三一轮复习）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和详解法表示函数． 【详解】（1）同一直角坐标系中函数，的图象如下：    （2）结合的定义，可得函数的图象：    由，得，解得，或． 由图易知的解析式为. 【跟踪训练】 1．作出下列函数的图象： (1)y＝|x－2|·(x＋2)； (2)y＝； (3)y＝x2－4|x|. 【详解】(1)函数解析式可化为y＝ 其图象如图①实线所示． 　　 (2)函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图③所示． (3)y＝x2－4|x|＝ 作出图象如图④所示． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【详解】（1）先作出的图象，再将横轴下方的图象沿横轴上翻，并去除横轴下方的图象， 如下： （2）先作出的图象，保留并作关于纵轴对称的图象，如下： （3）同上先作出，将图象向右平移一个单位得到的图象， 再保留横轴上方的图象，并将横轴下方的图象向上翻折，去除横轴下方的图象可得， 如下： 3．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象． (1)； (2)． 【详解】（1）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变， 将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示： （2），其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度， 再向下平移1个单位长度得到，而， 其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到， 则的图象如图所示： 题型02函数图象的变换 函数图象的变换策略 1． 分清变换对象：针对 x 仅改 x，整体改全部；左加右减、上加下减。 2．伸缩优先整理：x 前系数提取，如 y=f (2x+4) 化为 y=f [2 (x+2)] 再平移。 3．多变换按顺序平移伸缩对称分步演算，特殊点跟踪验证。 4．逆向题型反向操作，反向变换符号反转，最后代点核对。 【典例2-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 【答案】A 【详解】因为， 所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 【典例2-2】（2026·北京·三模）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得， 将向右平移1个单位长度，所得图象恰好与的图象重合，可得， 选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误. 【跟踪训练】 1．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 2．（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 则再将的图象向右平移1个单位长度后所得图象为函数的图象， 由题可知函数图象恰好与函数的图象重合， 所以，即， 又且，所以. 3．（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值. 【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度， 得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍， 得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以， 即，解得，. 4．(多选)（25-26高三上·河南·阶段检测）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 【答案】AC 【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将化为，结合函数图象的变换即可进行判断. 【详解】因为， 即,将函数图象上所有点横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得到的图象； 又因为， 所以还可以将函数图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到的图象． 故选：AC． 题型03由函数解析式选择图象 函数图象的识辨策略 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不符合要求的图象． 【典例3-1】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将图象向右平移1个单位，可得图象. 将图象x轴下方部分，沿x轴翻折至上方，x轴上方部分不变可得图象. 将图象向上平移1个单位，可得图象.故选项C满足题意. 故选：C 【典例2-2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，且定义域为R， 所以为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项， 并且在y轴右侧，趋近于0时，，故， 故只有选项满足题意. 【跟踪训练】 1．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 2．（25-26高三下·江西鹰潭·阶段检测）函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可． 【详解】由，， 可得， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项C、D， 当时，可得，可排除选项B， 所以该函数的图象大致为选项A． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上的简图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的单调性及相关点的函数值符号，应用排除法确定函数图象. 【详解】由，则，令， 则在，上单调递减，在，上单调递增， 所以在，上单调递减，在，上单调递增，排除B、C， 由时，，排除D. 4．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设图象对应函数为，由图可得奇偶性，结合可判断选项正误. 【详解】设图象对应函数为，由图可得为奇函数， 注意到为偶函数，为奇函数. 则为偶函数，不满足题设，故BC错误； 又由图可得，，则D不满足题意，故选A 题型04 由函数图象选择解析式 由函数图象选择解析式的策略 1．辨类型：看图象形状定函数（直线→一次、抛物线→二次、双曲线→反比例、波浪→三角函数）； 2．抓特征点：取顶点、交点、零点、渐近线代入通用式； 3．判参数符号：增减性定斜率、 开口方向，极值、周期求系数； 4．验证：代图象上一点校验，排除不符解析式. 【典例4-1】（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项，由正弦函数的周期性可得原函数图象和坐标轴有无数个交点排除A项；B选项，对函数求导，判断单调性和函数图象趋势即可判断；C选项，对所给函数的奇偶性进行判断即可； D选项，判断所给函数的定义域即可. 【详解】A选项，取，则令，解得：，其中，即：和轴有无数个交点，所以A错误； B选项，取，则，令，得或，令，得， 故在和上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，，所以B正确； C选项，取，则函数定义域为，且，所以是偶函数，所以C错误； D选项，，由可得，由图知，D错误. 【典例4-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解 【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数； 对于B，是偶函数，不符合，排除B； 对于C， 的定义域不含，不符合，排除C； 对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D； 所以A正确. 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由取值情况判断B；由时函数值情况判断C；由的值判断D；分析函数性质判断A. 【详解】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 2．（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数性质，利用排除法逐项判断即可得. 【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且， 对B：的定义域为，不符，故B错误； 对C：时，，不符，故C错误； 对D：时，，不符，故D错误； 对A：时，，定义域为， 且， 故该函数为奇函数，符合题意，故A正确. 3．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 4．（2026·天津南开·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及，逐一验证选项，即可求解. 【详解】由图可知：的图象关于坐标原点对称，故为奇函数，且， 对于A， ，故为偶函数，不合题意， 对于C， ，故为偶函数，不合题意， 对于B， ，故为奇函数，但，不合题意， 对于D， ，故为奇函数，，符合题意. 题型05 利用函数图象研究函数性质 利用函数图象研究函数性质的策略 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性； (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 【典例5-1】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图象，观察图象可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 【典例5-2】（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图象上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】点关于原点的对称点为，即时，， 已知函数， ， 当时，，方程图象有两个交点； 当时，，方程图象有1个交点； 综上，图象上关于原点对称的点有3对． 【跟踪训练】 1．（2026·湖南长沙·一模）定义在R上的偶函数的部分图象如图，则下列函数在区间上与的单调性不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】利用偶函数的对称性知在上单调递减. 又在上单调递减，在上单调递减， 易知在上单调递增， 当时，在上单调递减， 综上，只有选项C的函数在上与的单调性不同. 2．（2026·辽宁·一模）已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图象后可得、、的关系，再求出的范围后可用表示出，即可得的取值范围. 【详解】作出图象如下： 由，且，则， 即有，，且，则， 故， 则. 3．（23-24高一下·安徽合肥·期末）对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”. (1)求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”； (2)若函数是“同比不减函数”，求的取值范围； (3)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.是否存在正常数，使得对于任意的，函数都为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）由得到，故不恒成立，从而得到证明； （2）恒成立，从而，根据得到，得到答案； （3）写出时分段函数表达式，结合函数奇偶性画出函数图象，数形结合只需对任意的恒成立，故即可，得到答案. 【详解】（1）证明：任取正常数T，存在，即， ∵，即不恒成立， ∴不是“T同比不减函数”. （2）∵函数是“同比不减函数”， ∴恒成立， 即恒成立， ， 故， 因为，，所以， ∴， ∴k的取值范围为. （3）当时，， 当，， 当，， 当， 由题知为奇函数，关于原点对称，如图所示： 根据图象易得：要使对任意的x恒成立， 只需，对任意的恒成立， ∴即可， ∴. 题型06 利用函数图象解决零点（根）的问题 利用函数图象解决函数零点（方程根）问题的思路 当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究函数零点或方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标． 【典例6-1】（25-26高三下·湖北十堰·阶段检测）已知函数若有个不同的实数根，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简分段函数，画出函数的图象，分析的根的个数，确定的范围. 【详解】， 将函数的图象关于轴对称并将轴下方部分翻折到轴上方，即可得到的图象； 对于，最小正周期为， 故上有个周期，令，， 则可得，， 由此作出函数的图象， 如图， 当时，由图可知，当时，， 取其他值时，，故D正确. 【典例6-2】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可. 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，令，可得或. 作出函数的大致图象，结合图象和题意求解的取值范围. 【详解】设，令，得， 即，解得或. 作出函数的大致图象如图所示： 由图可知，直线与函数的图象有3个交点，又因为原方程恰有5个不同的实数根， 所以直线与函数的图象有2个交点，由图可得，所以实数的取值范围是. 2．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，的取值为或．有如下两个命题：①若有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，则函数至少存在2025个严格减区间；②若对任意满足条件的函数，方程都有解，则实数存在4051个可能的取值；则（    ） A．①正确；②正确 B．①正确；②错误 C．①错误；②正确 D．①错误；②错误 【答案】B 【分析】通过画图由与的图象情况，分析函数取值情况进行分析. 【详解】由函数的定义域为，对定义域内任意的，的取值为或． ①若有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解， 由当时，，无意义，此时， 即对所有的，均有， 由题意有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解， 说明当，且，时， 从而在区间内包含函数的2025个周期，必有2025个严格递减区间. 从而在区间内至少存在2025个严格递减区间.命题①为真. ②由与在内有4050个交点 由定义域内任意的，的取值为或， 对任意满足条件的函数，方程都有解， 只要实数取上述交点纵坐标，则不论取值为或， 方程都有解， 故存在4050个可能的取值，命题②为错误. 4．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的周期性画出函数的图象，利用对称性判断轴两个函数图象交点个数列出不等式，解不等式即可得到范围. 【详解】由已知满足， 且函数为偶函数， 所以， 令， 所以函数是周期为的周期函数. 又因为与函数都是偶函数，由对称性可知 由于关于的方程至少有8个实数解， 故当时，与至少有个交点. 函数与图象如图所示. 由图可知：当时，只需，解得 ， 当时，只需，解得， 当时，显然符合题意. 综上所述：. 题型07 利用函数图象解决不等式问题 用函数图象解决不等式问题的思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解． 【典例7-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象关于对称，可得，结合图象即可求解. 【详解】由题可得，由于图象关于对称，所以，， 得，， 所以不等式，即的解集为. 【典例7-2】（25-26高三下·湖南长沙·期中）定义在上的三个函数，若，则的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】采用描点法作出草图如下表： 1 2 3 4 5 6 3 6 11 20 37 70 3 8 15 24 35 48 3 函数图象如下： 令， 当时，，故A正确； 当时，，故C正确； 当时，，故B正确． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图所示： 由时，则与矛盾，故A错误； 选项B，如图所示： 由时，则与矛盾，故B错误； 对于C，如图所示： 由时，，但是此时，故C错误； 对于D，由函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 若时，有，则，无法确定， 如图所示： 由，则，即， 由，所以，故D正确. 2．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．函数有6个零点 【答案】C 【分析】作出函数的图象，对于A：直接观察即可；对于B：根据图象得到，，进一步计算求解；对于C：通过求解；对于D：令，求出的根，代入，继续根据图象可求根的个数. 【详解】因为， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象如下： 对于A：关于x的方程有四个不同的根， 即函数与的图象有4个交点，由图象可得，故A错误； 对于B：由图象知，所以，且， 所以， 又由， 所以，故B错误； 对于C：知，即，解得，故C正确； 对于D：对于函数，令，则， 即，因为，，， 可得， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 综合得函数有个零点，故D错误. 3．（25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】根据图象得到函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而求得不等式的解集． 【详解】由图象可知，在，上单调递增，在上单调递减， 故当，时，，当时，. 原不等式等价于或，则或. 所以不等式的解集为. 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图象及的图象，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象变换可得解. 【详解】由图象可知图象上点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得到函数的图象， 所以. 故选：A 2.（25-26高三上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象. 【详解】， 函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度， 则C选项符合所得函数图象. 故选：C. 3．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【分析】利用函数的图象平移和伸缩变换，可得结论. 【详解】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为， 再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为. 故选：A. 4．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性和复合函数的单调性求解. 【详解】从图象上看，的图象不关于轴对称， 选项A，是奇函数，对称轴为， 所以对称轴为， ，为单调递增函数，为单调递增函数， 则在上是单调递增函数，符合题意，故A正确； 选项B，，关于轴对称，不满足题意，故B错误； 选项C，，为单调递增函数，为单调递减函数， 则在上是单调递减函数，不符合题意，故C错误； 选项D，，不满足题意，故D错误； 5．（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确. 【详解】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得：；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 6．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，令，即，即. 在同一直角坐标系中作出两函数与（）的图象，如图， 由图可知两图象只有一个交点. 综上可知，函数的零点个数为. 7．（2025高一上·安徽·竞赛）函数的函数值表示不小于x的最小的整数，例如，则函数的零点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】则已知可设，，则，代入原函数，转换得到，再从可确定整数的个数，再代入原函数进行验证. 【详解】解法一：令，则. 由已知可设，，则. 所以，则. 又因为，所以，解得. 又因为，所以的取值为. 当时，，则. 所以，所以是的零点； 当时，，则. 所以，所以是的零点； 当时，，则. 所以，所以2是的零点. 综上所述，的零点有3个. 解法二：作出函数的图象，其与直线的交点个数即为函数零点的个数， 观察图象有，，共3个交点，即函数有3个零点. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）设定义域为的函数，则关于的方程，有7个不同实数根的充要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题为复合函数零点问题，关键是换元后，通过函数图象和数形结合思想把每个函数零点研究清楚. 【详解】令，考虑方程的根，该方程必有解，设解为， 题设方程和方程的解即为方程的解， 因为方程有7个不同的解， 根据的图象（如图所示）可得，直线与的图象有3个不同公共点， 直线与的图象有4个不同公共点， 故所以，即，故选C. 9．（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对该方程进行因式分解，得到的可能取值，分析时的分段函数图象和性质，再利用奇函数性质得到和时的图象，结合的图象确定的取值. 【详解】由因式分解得： 即或. 是定义在上的奇函数，则； 由题意知当 时， ， 当 时，，则， 当 时，，则， 以此类推，可作出当时时的图象，再由奇函数对称性可得时时的图象，如图所示： 结合图象可知，和的图象有2个交点，即有2个根； 当时，和的图象有2个交点，即有2个根， 结合图象可知其他选项不合题意， 所以，满足原方程恰有4个互不相等的实数根. 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图象法进行求解. 【详解】由，知函数的一个周期为2． 因为方程等价于． 令，又当时，， 由此作出函数与的图象， 如图所示．因为，，， 所以和的函数图象交点个数为4，故方程有4个实数根． 11．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得与的图象有三个不同的交点，作出与的图象，根据二次函数的对称性，可得，根据图象可得k的范围，进而可得的范围，即可得答案. 【详解】因为函数有三个不同的零点， 所以，即有三个不同的根， 则与的图象有三个不同的交点， 作出与的图象，如下图所示 当时，为开口向下，对称轴为的抛物线， 则关于对称，所以，即， 由图象可得， 令，解得，令，解得， 所以， 则， 即的取值范围为. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式作出函数的图象，然后根据已知条件确定，最后将所求表达式构造新函数，根据函数的单调性求出范围即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示，设， 所以，解得：，， 解得：，， 所以，， 令，则在上单调递减，则，即， 令，则在上单调递增，则， 所以，则， 所以，则. 故选：B． 13．(多选)（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数，与函数的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得． 【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意； 对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在 原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意； 对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到， 又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意； 对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意. 14．（多选）（25-26高三上·山东淄博·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象.则称为“旋转函数”.那么（    ） A．存在旋转函数 B．旋转函数一定是旋转函数 C．若为旋转函数，则 D．若为旋转函数.则 【答案】AC 【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可. 【详解】对A，如满足条件，故A正确； 对B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误； 对C，若为旋转函数，则根据函数的性质可得， 逆时针旋转后，不存在与轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点. 故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点. 即与至多1个交点. 联立，可得. 当时，最多1个解，满足题意； 当时，的判别式， 对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意，故.故C正确； 对D，同C，与的交点个数小于等于1， 即对任意的，使得方程至多1个解， 故为单调函数，即为非正或非负函数. 又，故，即恒成立. 即图象在上方，故，即. 当与相切时，可设切点， 对求导有，故，解得，此时， 所以.故D错误. 故选；AC 15．（多选）（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，先判断函数与函数的图象有相同的对称中心，再依次判断各个选项即可. 【详解】选项A:函数为定义在R上的奇函数，则有，即，又，所以函数的图象关于点中心对称，无法判断是否关于点对称，所以选项A错误； 方法二：函数为定义在R上的奇函数，则函数的图象关于坐标原点对称.函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，因此函数的图象关于点对称.无法判断是否关于点对称，所以选项A错误； 选项B:函数，因此函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到.因为反比例函数的图象关于坐标原点对称，所以函数的图象关于点对称，所以选项B正确； 选项C、D:函数与函数的图象都关于点对称，且函数的图象不过点，所以它们的所有交点关于点对称，不妨设，则有，， 所以，，所以C选项正确；D选项错误． 故选：BC. 16．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】令，的图象如图所示， 由题知与有四个不同的交点，由图知， 所以的取值范围为. 17．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】要使分段函数的值域为，需两段函数值域衔接覆盖全体实数，即满足部分的最小值不大于部分的上界. 【详解】当时，，这部分值域为； 当时，，是增函数，这部分值域为， 要使整个函数的值域为，则， 画出和的图象，可知两个函数的交点为和，且当且仅当时，成立， 因此的取值范围是. 18．（2026·重庆万州·三模）若直线与函数的图象的公共点构成的集合为，直线与函数的图象的公共点构成的集合为，且只有个元素，则的取值范围是_________________ 【答案】 【分析】利用导数研究的单调性及极值，作出的大致图象，转化为与图象有2个交点，数形结合即可得解. 【详解】由指数函数性质知，在上单调递减，且值域为， 的定义域为，， 令，解得，令，解得， 则的单调递增区间是，单调递减区间是， 所以，作出的大致图象，如图，    当只有个元素时，即直线与的图象总共有2个交点， 由图象可知，的取值范围是. 19．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 【答案】 4 【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围；对于方程，设，作出函数的图象，数形结合可得出函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再结合图形得出方程、、的根的个数即可. 【详解】如图，作出函数的图象， 由题意，直线与函数的图象有两个不同的交点. 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 故实数m的取值范围为； 对于方程，设，则有， 依题意，即是求解函数与直线的交点个数问题. 作出函数的图象如下图所示： 因为，函数与有个交点， 即有三个根、、，其中、、， 再结合的图象可知，方程有个不同的根，方程有个根，方程有个根， 综上所述，方程有个不同的解. 故答案为：；. 20．（25-26高三上·天津河西·期中）若函数且函数在区间内恰有4个零点，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据题意，要使函数在内有4个零点，须使.分和两种情况讨论，将零点个数问题转化为函数图象间的交点个数问题，结合一次函数与二次函数的性质可解. 【详解】由题意得. 因为当时，最多有两个零点， 所以要使函数在内恰有4个零点，须有两个零点. 因为的对称轴是，所以. 当时，令，则，即. 即与有两个交点. 所以，解得. 当时，有两个零点. 因为的图象开口向上，对称轴为. 所以，解是. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 21．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数且点在函数的图象上． (1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； (2)若方程有两个实根，结合图象简单说明，求实数的取值范围． (3)结合图象简单说明，求不等式的解集； 【分析】（1）求出，作出函数图象即可； （2）根据图象平移动直线即可得到答案； （3）作出直线，求出交点坐标即可得到解集. 【详解】（1）点在函数的图象上，，则， 则函数的图象如图所示． （2）方程等价于， 与的图象交点为两个，则由图知. （3）从图象上来看即观察该函数图象在直线以上的部分， 令和，解得和2， 则直线与函数交点分别为，， 则由图知不等式的解集为. 22．（25-26高三上·上海奉贤·期末）定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”. (1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由； (2)求证：函数（且）不具有“性质”； (3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）函数具有“性质”， 因为，且， 则，整理得， 可得，解得， 所以函数是否具有“性质”，此时. （2）证明：假设函数（且）具有“性质”， 则，则，解得， 整理得，则， 取，可得，解得； 取，可得，解得； 显然，即对任意，不存在实数、使得恒成立， 假设不成立，所以函数（且）不具有“性质”. (3)具有“性质”，则，可知关于点对称， 可得，即 又因为为定义域为的奇函数，则， 可得，即函数的周期为2， 令，则， 由题意可得：与在内有5个不同的交点， 注意到为奇函数，可知为与的一个交点， 由对称性可知：与在内有2个不同的交点， 作出在内的图象， 当过时，可得； 当过时，可得； 当过时，可得； 结合图象可知：实数的取值范围为. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $