周练（二）函数的概念及其性质-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 聚焦函数概念及性质的系统性周测，以题载知，覆盖定义域、奇偶性、单调性等核心考点，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-2|定义域（分式/根号）、奇偶性判断|从函数定义出发，构建概念认知基础| |性质应用|选择3-6、填空9|二次函数值域、含绝对值单调性、周期奇函数求值|以性质推导为核心，形成“定义-性质-应用”逻辑链| |综合拓展|选择7-8、填空10、解答11-12|抽象函数（狄利克雷/赋值法）、对勾函数、零点问题|整合性质综合应用，发展逻辑推理与问题解决能力|

周练(二)　函数的概念及其性质 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[2，4)∪(4，＋∞) B．(2，＋∞) C．[2，4) D．[2，＋∞) 2．函数f(x)＝是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 3．已知函数f(x)＝x2－2x＋5在[－1，3]上的值域为(　　) A．[－1，8] B．[4，8) C．[4，8] D．[1，5] 4．函数f(x)＝|4－x|·(x－1)的单调递减区间为(　　) A． B．(1，4) C．(－∞，4) D．，(4，＋∞) 5．定义在(－1，1)上的函数f(x)＝x3＋3x，如果有f(1－a)＋f(1－a2)>0，则a的取值范围为(　　) A．(－2，1) B．(－1，2) C．(0，1) D． 6．已知函数f(x)＝的图象的对称中心在直线y＝ax＋b上，则a2＋b2的最小值为(　　) A． B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．函数D(x)＝被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是(　　) A．函数D(x)的值域为[0，1] B．若D(x0)＝1，则D(x0－2)＝1 C．若D(x1)－D(x2)＝0，则x1－x2∈Q D．∃x0∈R，D＝1 8．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2ex，h(x)＝，则(　　) A．h(x)是奇函数 B．g(x)是增函数 C．h(x)的值域为(－1，1) D．h(x－y)＝ 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝________． 10．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝________． 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)已知函数f(x)＝x＋，a∈R.函数y＝f(x)的定义域为D. (1)当a＝2，D＝(－∞，0)时，求函数y＝f(x)的值域； (2)当a＝－1，D＝(0，＋∞)时，判断函数y＝f(x)的单调性并说明理由． 12．(15分)已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且x≥0，f(x)＝x2－mx＋1. (1)若m＝1，求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在[1，3]的最小值； (3)若函数y＝f(x)在(0，4)有两个不同的零点，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 周练(二)　函数的概念及其性质 1．A　由题意有解得x≥2且x≠4，所以定义域是[2，4)∪(4，＋∞)，故选A． 2．B　因为x2＋1>0，x2＋2>0，所以函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，而f(0)＝1－≠0，故f(x)不是奇函数，故选B. 3．C　f(x)＝x2－2x＋5的对称轴为x＝1，当x≤1时，f(x)单调递减，当x>1时，f(x)单调递增，因为f(1)＝4，f(－1)＝8，f(3)＝8，所以f(x)的值域为[4，8]，故选C. 4．A　函数f(x)＝|4－x|·(x－1)＝⇒当x≥4时，y＝x2－5x＋4的单调递增区间为[4，＋∞)；当x<4时，y＝－x2＋5x－4的单调递增区间为，单调递减区间为；所以函数的单调递减区间为.故选A． 5．C　因为函数f(x)的定义域为(－1，1)关于原点对称，f(－x)＝(－x)3＋3(－x)＝－(x3＋3x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，且y＝x3在(－1，1)上单调递增，y＝3x在(－1，1)上单调递增，所以f(x)＝x3＋3x在(－1，1)上单调递增，则f(1－a)＋f(1－a2)>0等价于f(1－a)>解得0<a<1，故选C. 6．C　由f(x)＝，可得f(x＋3)－2＝，令g(x)＝，函数g(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，关于原点对称，又g(－x)＝＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，所以函数图象关于原点对称，所以f(x)关于点(3，2)对称，因为f(x)的对称中心在直线y＝ax＋b上，所以2＝3a＋b，所以a2＋b2＝a2＋(2－3a)2＝10a2－12a＋4＝，当且仅当a＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为. 7．BD　由函数的值域定义可知函数D(x)的值域为{0，1}，所以选项A不正确；因为D(x0)＝1，所以x0∈Q⇒x0－2∈Q⇒D(x0－2)＝1，所以选项B正确；当x1＝时，显然满足D(x1)－D(x2)＝0，但是∉Q，所以选项C不正确；当x0＝－时，D＝D(0)＝1，所以选项D正确． 8．ACD　对于A，由f(x)＋g(x)＝2ex，因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，可得g(x)－f(x)＝2e－x，联立方程组，解得f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，所以h(x)＝，可得h(－x)＝＝－h(x)，所以函数h(x)为奇函数，所以A正确；对于B，因为g(x)为偶函数，所以函数g(x)不可能为增函数，所以B错误；对于C，由函数h(x)＝，因为e2x＋1∈(1，＋∞)，所以h(x)∈(－1，1)，所以C正确；对于D，由h(x)＝，可得h(y)＝，h(x－y)＝，则h(x)－h(y)＝＝ ，且1－h(x)h(y)＝1－＝ ＝，所以＝＝ ＝h(x－y)，所以D正确．故选ACD. 9．解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)在R上的周期为2，∴f(2)＝f(0)＝0.又f＝＝－f＝＝－2，∴f＋f(2)＝－2. 答案：－2 10．解析：令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，∴f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，两式相加，得f(x＋3)＝－f(x)，则f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，令x＝1，y＝0得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，由f(1)＝1解得f(0)＝2，又f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝2，∴f(k)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，∴f(k)＝3×0＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－3. 答案：－3 11．解：(1)当a＝2，f(x)＝x＋＝－， 因为x<0，所以－x>0，所以－x＋， 所以f(x)＝－≤－2，当且仅当－x＝，即x＝－时，等号成立， 所以函数y＝f(x)的值域为. (2)当a＝－1，f(x)＝x－，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，理由如下： 设x1，x2是(0，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1－－＝x1－x2－＝x1－x2－ 因为x1<x2，所以x1－x2<0， 又x1>0，x2>0，所以x1x2>0，x1x2＋1>0， 所以<f(x2)， 所以函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 12．解：(1)当m＝1时，x≥0，f(x)＝x2－x＋1. 因为函数f(x)在R上为偶函数，所以f(－x)＝f(x)． 当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝(－x)2－(－x)＋1＝x2＋x＋1. 因此函数f(x)的解析式为： f(x)＝ (2)当x∈[1，3]时，f(x)＝x2－mx＋1，这是开口向上的二次函数，对称轴为x＝. 当<1，即m<2时，f(x)min＝f(1)＝12－m×1＋1＝－m＋2； 当1≤≤3，即2≤m≤6时，f(x)min＝f＋1； 当>3，即m>6时，f(x)min＝f(3)＝32－m×3＋1＝－3m＋10； 综上，函数f(x)在[1，3]的最小值为： f(x)min＝ (3)因为函数y＝f(x)在(0，4)有两个不同的零点， 所以解得2<m<. 所以m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $