专题05 函数（五大题型）（青海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05函数 考情概览 考点1平面直角坐标系 考点2函数的图象 考点3一次函数 考点4二次函数 考点5反比例函数 五年真题 考点1平面直角坐标系 1.(2025·青海中考真题)在平面直角坐标系中，点P(a一2,1十a)在第三象限，则a的取值范围 是 2.(2024青海西宁，中考真题)在平面直角坐标系x0y中，直线AB与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点 B(0,6),点P在y轴上，且满足∠PAB=15°，则0P的长为_ 3.(2022青海中考真题)如图所示，A(2√2,0)，AB=3V2,以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴 负半轴于点C,则点C的坐标为() A.(32,0)B.(2,0) c.（-2,0)D.（-32,0) 4.(2021青海西宁.中考真题)在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标是(-2，-1)，若AB/y轴，且 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=9,则点B的坐标是 5.(2021·青海中考真题)己知点A(2m-5,6-2m)在第四象限，则m的取值范围是 考点2函数的图象 6.(2025·青海西宁.中考真题)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90·,动点P从点A出发，沿着 A→B→C的路径运动到点C停止，过点P作PQ⊥AC,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PQ-AQ的 值为y,y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长为 P B 图1 图2 7.(2025青海中考真题)如图，甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离开A地的路程 y(km)与时刻t之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是() y/km 300- 甲 06:007:008:3010.0011:007 A.乙车先到达B地 B.A、B两地相距300km C.甲车的平均速度为100km/h D,在8：30时，乙车追上甲车 8.(2024青海西宁中考真题)西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定 比例配套建设新能源汽车充电设施.某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行 了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y(单位：W·h)与充电时间x(单位：h)之间的函数图 象，其中折线ABC表示用快速充电器充电时y1与x的函数关系：线段AD表示用普通充电器充电时y2与x的 函数关系，根据相关信息，回答下列问题： 2/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 v/(kW-h) 100- C ->D B/ 70 10A: 012 x/h (1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从10kW·h充到7OkW.h需h. (2)求y2关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围. (3)该品牌汽车电池电量从10kW.h充到100kW.h,快速充电器比普通充电器少用h 9.(2024青海·中考真题)化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生 沉降，从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的 是() 净水率% 100 84.60 88.15 80 76.54 86.02 75.34 60 40 20 12.48 %0.1 0.20.30.40.50.6体积mL A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B.未加入絮凝剂时，净水率为0 C.絮凝剂的体积每增加0,1mL,净水率的增加量相等 D.加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到76.54% 10.(2023·青海中考真题)生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓 度的关系如图所示，下列说法正确的是() 1/20 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ◆心率（次/分） 250 200 204192 168 150 120 100 84 50 36 0 5% 10%15%20%25%酒精深度 A.酒精浓度越大，心率越高 B.酒精对这种鱼类的心率没有影响 C.当酒精浓度是10%时，心率是168次/分D.心率与酒精浓度是反比例函数关系 11,(2022青海西宁.中考真题)如图，△ABC中，BC=6,BC边上的高为3，点D,E,F分别在边BC,AB ,AC上，且EFBC.设点E到BC的距离为x,△DEF的面积为y,则y关于x的函数图象大致是() 9 4 9 3 32 3 3方 D 12.(2022青海中考真题)2022年2月5日，电影《长津湖》在青海刷场首映，小李一家开车去观看.最初 以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提 下加快了速度，仍保持匀速行驶在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y(千米)与行驶时间t(小时)的函 数关系的大致图象是() 2/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D o 13.(2021·青海西宁.中考真题)如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB,BC上沿A→B→C 的方向，以1cms的速度匀速运动到点C,△APC的面积S(cm2)随运动时间t(s)变化的函数图象如 图2所示，则AB的长是() A D S/cm2 6 B C a a+4 t/s 图1 图2 A.cm B.3cm C.4cm D.6cm 考点3一次函数 14.(2025青海西宁.中考真题)在平面直角坐标系x0y中，点A(4,0),点P在过原点的直线1上，且 AP=OP=4,则直线1的解析式是 15.(2025青海西宁.中考真题)如图，一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图象与两坐标轴分别交于点A, B,与反比例函数y2=餐(k2≠0，x>0)的图象交于点C(1,2),D(m寺).下列结论错误的是() B D A主 A.b= B.△BOC与△AOD的面积相等 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.△COD的面积是好 D.当1≤x≤4时，y12y2 16.(2025青海中考真题)如图，直线y=-X+b与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B,与反比例函 数y=(m为常数m≠0)的图象在第二象限交于点C(一1，a). (1)求反比例函数的解析式； (2)求△B0C的面积. 17.(2024青海.中考真题)如图，一次函数y=2x一3的图象与x轴相交于点A,则点A关于y轴的对称 点是() y=2x-3 A A.(-,0)B.(3,0) C.(0,3) D.(0,-3) 18.(2023·青海西宁.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线1与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点 B(0,一6)，抛物线经过点A,B,且对称轴是直线x=1· (1)求直线1的解析式： (2)求抛物线的解析式： 2/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)点P是直线1下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C,交直线1于点D,过点P作 PM⊥I,垂足为M.求PM的最大值及此时P点的坐标. 19.(2023青海西宁.中考真题)一次函数y=2x-4的图象与x轴交于点A,且经过点B(m,4). 7 5 3 8-7-6-5-4-3-2-10 12345678 4 6 (1)求点A和点B的坐标； (2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x一4的图象； (3)点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标. 20.(2023·青海中考真题)如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点 的横坐标是 第3条 第2条 3 第1条 2 1 12及4678 21.(2022青海西宁.中考真题)如图，直线ykx与直线y2kx+b交于点A(1,2).当yy2时，x的取值 范围是 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y2=k2x+B y=kx 2 22.(2022青海.中考真题)如图1，抛物线y=x2+bx十c与x轴交于A-1,0),B(3,0)两点，与y轴交 于点C y B E 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式： (2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长； (3)设点P是(1)中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△P4B=6的点P?如果存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨） 考点4二次函数 23.(2025·青海西宁.中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为 y=ax2-4ax(a<0),点A的坐标是(-1,0)，以原点为中心，把点A顺时针旋转90°，得到点A 2/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)直接写出A点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当3≤x≤5时，y有最大值为1-2a,求抛物线的解析式： (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A,P,M,N为顶点的四边形是 矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 24.(2025青海中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A,B两点， 点B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当y<O时，根据图象直接写出x的取值范围 (3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请 直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由. 25.(2024青海西宁.中考真题)【感知特例】 (1)如图1，点A,B在直线1上，AC⊥1，DB⊥，垂足分别为A,B,点P在线段AB上，且PC⊥PD, 垂足为P. D B D 图1 图2 图3 结论：AC·BD=AP·BP 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (请将下列证明过程补充完整)》 证明：：AC⊥，BD⊥I,PC⊥PD, ·∠CAP=∠DBP=∠CPD=90°， ·∠C+∠APC=90°， -十∠APC=90°， ·-=-,(同角的余角相等) ·△APC∽-，（两角分别相等的两个三角形相似） ·一=一·（相似三角形的对应边成比例) 即AC·BD=AP·BP 【建构模型】 (2)如图2，点A,B在直线1上，点P在线段AB上，且∠CAP=∠DBP=∠CPD.结论 AC·BD=AP·BP仍成立吗？请说明理由， 【解决问题】 (3)如图3，在△ABC中，AC=BC=5,AB=8,点P和点D分别是线段AB,BC上的动点，始终满 足∠CPD=∠A.设AP长为x(0<x<8),当x=时，BD有最大值是_- 26.(2024青海西宁.中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点B,顶点C 的坐标为(-2，-1). 备用图 (1)求二次函数的解析式. (2)判断△ABC的形状，并说明理由， (3)在直线AB上方的抛物线上是否存在一点P,使S△P4B=2S△4Bc?若存在，求出所有符合条件的点P的 坐标；若不存在，请说明理由. 27.(2024青海西宁中考真题)点Axy,8(x2y)是抛物线y=x2-4ax+1(a是常数，且a>0)上 的两个点.下列结论：①抛物线与y轴的交点是(0,1)：②抛物线的对称轴是直线x=-2;③当 2/20 专题05 函数 考情概览 考点1 平面直角坐标系 考点2 函数的图象 考点3 一次函数 考点4 二次函数 考点5 反比例函数 考点1 平面直角坐标系 1．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 2．（2024·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标，点到轴的距离，等腰三角形的性质，三角函数定义的应用及分类讨论思想．解题的关键是根据点P在y轴上的位置（可能在B点上方或下方），分别计算的长度． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 是等腰直角三角形， ． ①当点在点下方时，， , ②当点在点上方时，， , 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 3．（2022·青海·中考真题）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可． 【详解】解：∵， ∴OA=， ∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C， ∴， ∴， ∵点C为x轴负半轴上的点， ∴C， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键． 4．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标． 【详解】∵轴 ∴设点B的坐标为(-2，y) ∵AB=9 ∴ 解得：y=8或y=－10 ∴点B的坐标为或 故答案为：或 【点睛】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况． 5．（2021·青海·中考真题）已知点在第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直角坐标系、一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵点在第四象限 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握象限、一元一次不等式组的性质，从而完成求解． 考点2 函数的图象 6．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 7．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城， 故选项A、B不符合题意； 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故选项C错误，符合题意； 由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车． 故D不符合题意． 故选：C． 8．（2024·青海西宁·中考真题）西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的函数图象，其中折线表示用快速充电器充电时与的函数关系；线段表示用普通充电器充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： (1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从10充到70需 ． (2)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)该品牌汽车电池电量从10充到100，快速充电器比普通充电器少用 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查根据函数图象得到信息，待定系数法求一次函数解析式等． （1）通过函数图象可知段横坐标即为本题答案； （2）设一次函数解析式为，再将两点坐标代入即可； （3）由（2）问解析式求出点坐标，再分别计算快速充电器和普通充电器使用时间，再利用减法即可求出本题答案． 【详解】（1）解：根据图象可得用快速充电器充电时，汽车电池电量从10 kW·h充到70 kW·h需， 故答案为：； （2）解：设一次函数解析式为， ∵， ∴将代入中得， ，解得：， ∴关于的函数解析式：， 将点纵坐标代入中得：， ∴自变量的取值范围：， ∴； （3）解：根据图象可得普通充电器从10充到100用时， 快速充电器从10充到100用时， ∴快速充电器比普通充电器少用：， 故答案为：． 9．（2024·青海·中考真题）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B．未加入絮凝剂时，净水率为 C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等 D．加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 【答案】D 【分析】本题考查从图像上获取信息，能从图像上获得信息是解题的关键，根据图像信息对选项进行判断即可 【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误； B、未加入絮凝剂时，净水率为，故不符合题意，选项错误； C、当絮凝剂的体积为时，净水率增加量为，絮凝剂的体积为时，净水率增加量为；故絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误； D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，符合题意，选项正确； 故选：D 10．（2023·青海·中考真题）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．酒精浓度越大，心率越高 B．酒精对这种鱼类的心率没有影响 C．当酒精浓度是时，心率是168次/分 D．心率与酒精浓度是反比例函数关系 【答案】C 【分析】观察图象即可判断A、B、C选项，根据反比例函数的定义，即可判断D选项． 【详解】解∶由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误； 酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故B错误； 由图象可知，当酒精浓度是时，心率是168次/分，故C正确； 任意取两个点坐标，，因为，所以心率与酒精浓度不是反比例函数关系，故D错误． 故选∶ C． 【点睛】本题考查了观察图象，读取、分析、处理信息的能力，反比例函数定义，根据反比例函数定义判断是否为反比例函数是解题的关键． 11．（2022·青海西宁·中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案． 【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，    根据相似比可知：， 即， 解得：EF=2（3-x）， 则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+， 故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键． 12．（2022·青海·中考真题）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：汽车行驶的路程y与行驶的时间t之间的关系进行判断即可． 【详解】解：由题意可得函数图像分为三段：第一段由左向右呈下降趋势，第二段与x轴平行，第三段由左向右呈下降趋势，且比第一段更陡，故选项B符合， 随着时间的增多，汽车离剧场的距离越来越近，即离x轴越来越近，排除A、C、D； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 13．（2021·青海西宁·中考真题）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，则由动点P的运动速度可求出BC的长，再根据图象可知的面积为6cm2，即可利用面积公式求解此题． 【详解】解：∵动点P从A点出发到B的过程中，S随t的增大而增大，动点P从B点出发到C的过程中，S随t的增大而减小． ∴观察图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s， ∵点P的运动速度为1cm/s， ∴BC=1×4=4（cm）， ∵当点P在直线AB上运动至点B时，的面积最大， ∴由图象2得：的面积6cm2， ∴， ∴cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．要求能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 考点3 一次函数 14．（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据，结合，得到为等边三角形，分点在点上方和点在点下方两种情况，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作轴，则：，， ∴或， 设直线的解析式为， ∴当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 综上：或； 故答案为：或． 15．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 16．（2025·青海·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数）的图象在第二象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先由点代入求出点的坐标为，然后代入即可求解； （）过点作轴于点，然后求出，，再由即可求解． 【详解】（1）解：把点代入中得， ∴， ∴一次函数解析式为， 把点代入中， 得， ∴点的坐标为， 把代入中， 得，， ∴反比例函数解析式为； （2）解：过点作轴于点， ∵， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 17．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键． 先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可． 【详解】解：令，则， 解得：， 即点为， 则点A关于y轴的对称点是． 故选：A． 18．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．    (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵  ，   ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，，   ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 19．（2023·青海西宁·中考真题）一次函数的图象与轴交于点，且经过点．    (1)求点和点的坐标； (2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)坐标是， 【分析】（1）令得出点的坐标是，把代入，即可求解； （2）画出经过的直线，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，   ∴令 解得 ∴点的坐标是     ∵点在一次函数的图象上 把代入， 得，   ∴， ∴点的坐标是； （2）解：如图所示，    （3）解：如图所示，当时，; ∵，， ∴， 当时，    ∴符合条件的点坐标是，. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．（2023·青海·中考真题）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 .    【答案】10 【分析】根据每条直线与轴交点的横坐标解答即可． 【详解】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与轴交点的横坐标依次是2，4，， 第5条直线与轴的交点的横坐标是10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 21．（2022·青海西宁·中考真题）如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是 ．    【答案】 【分析】据函数图象，写出直线y1=k1x在直线y2=k2x+b2的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：如图，已知直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），则当y1＜y2时，x的取值范围为 x＜1． 故答案是：x＜1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 22．（2022·青海·中考真题）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.           图1                     图2 (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长； (3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨） 【答案】(1) (2)2 (3)当点的坐标分别为，，，时，，理由见解析． 【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）结合抛物线的解析式得到点C、F的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图像上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可； （3）根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S△PAB=8，从而求出P点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，， ∴，解得． ∴所求抛物线的解析式为． （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则， 又， ∴． 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得，则该直线的解析式为． 故当时，，即， ∴， 即． （3）解：设点，由题意，得， ∴，∴， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴当点的坐标分别为，，，时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和待定系数法求一次函数以及一次函数图像上点的坐标特征，抛物线解析式的三种形式之间的转化，熟练掌握函数的性质是解答此题的关键． 考点4 二次函数 23．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 24．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）①令，则，解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当时，即抛物线在轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则； 当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时，x的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 25．（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】 （1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：，，， ， ， ， ，（同角的余角相等） ，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 【建构模型】 （2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ． 【答案】（1）；；；；；；（2）成立，见解析；（3）4， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． （1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明得出，进而即可证明结论； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，进而完成解答； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求最大值即可． 【详解】证明：，，， ， ， ， ，（同角的余角相等） ∴，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 故答案为：；；；；；； （2）成立，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ．即． （3）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵设长为，则， ∴，解得： ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：4，． 26．（2024·青海西宁·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在，点P的坐标是， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，勾股定理的逆定理等知识． （1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得y＝，再将代入求解即可； （2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题； （3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，得，，进而解决问题． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 将顶点代入解析式得， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 抛物线与y轴的交点， 当时，， ∴， 如图1，过点C作轴于点D， ∴， 过点A作于点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，理由如下： ， 设点P的坐标为， 过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q， 设直线的解析式为，将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵轴， ∴， 在中， ∵ ∴ ∴， 解得，， 当时， ∴， 当时，， ∴， ∴所有符合条件的点P的坐标是，． 27．（2024·青海西宁·中考真题）点，是抛物线是常数，且上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练知识点是解题的关键． 根据二次函数开口方向，与轴的交点，与轴的交点，对称轴，以及函数图像逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：抛物线是常数，且， 当时，， 抛物线与轴的交点是， 故结论①正确，此结论符合题意； 抛物线的对称轴为， 故结论②错误，此结论不符合题意； ，是抛物线上的两个点，， 、两点关于对称轴对称， ， ， 而抛物线与轴的交点是， ， 故结论③正确，此结论符合题意； 抛物线是常数，且， 抛物线的开口向上， 在对称轴的右侧的函数图像，随的增大而增大， ， ，两点位于对称轴的右侧， ， 故结论④错误，此结论不符合题意； 当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为1， 故结论⑤正确，此结论符合题意； 综上所述，正确的结论为①③⑤， 故选：C． 28．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 【答案】(1) (2) (3)这棵树的高为2 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线上的一点， 把点代入中，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴抛物线最高点对坐标为； （3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D， ∵，， ∴， ∴， 又∵点B是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴点C的横坐标为1， 将代入中，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， 答：这棵树的高为2． 29．（2023·青海西宁·中考真题）直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论： ①抛物线的对称轴是直线 ②抛物线与x轴一定有两个交点 ③关于x的方程有两个根， ④若，当或时， 其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解． 【详解】解：①直线经过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 故①正确； ②， 由①得， ， ， ， 抛物线与x轴一定有两个交点， 故②正确； ③当时， ， 抛物线也过， 由得 方程， 方程的一个根为， 抛物线， ， 抛物线的对称轴为直线， 与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线与轴的另一个交点为， 关于x的方程有两个根，， 故③正确； ④当，当时，， 故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键． 30．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． 【答案】(1)； (2)； (3)， 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，，表示出和，根据列出方程求得的值，进而求得结果． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵， ∴， ∴，， 由得，， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 31．（2022·青海西宁·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作轴于点，将沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线解析式； (2)连接BE，求的面积； (3)拋物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在，或 【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合 运用待定系数法求解即可； （2）先确定点B的坐标，然后确定直线AB的解析式，进而确定、、，最后根据结合三角形的面积公式即可解答； （3）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可． 【详解】（1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处 ∴ 把A，E两点坐标代入得，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线与y轴交于点B ∴令时， ∴ 设直线AB的解析式为 把A，B两点坐标代入得解得 ∴直线AB的解析式为； ∴点C在直线AB上轴于点 当时 ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴的面积是2． （3）解：存在，理由如下： ∵， ∴ 在中 ∴是等腰直角三角形 ∵点P在抛物线上 ∴设点P的坐标为 ①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M 在中∵∴ 即解得 （舍去） 当时 ∴ ②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N 在中 ∴ ∴ ∴解得 （舍去） 当时 ∴ 综上，符合条件的P点坐标是或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及求二次函数的性质、二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键． 32．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为，抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且，求证：； （3）在（2）的条件下，若直线与抛物线的对称轴l交于点E，连接，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，当P点坐标是时，四边形面积的最大值是 【分析】（1）由一次函数可求得A、B两点的坐标，从而用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）证明即可解决； （3）过点E作轴于点M，由可求得△ABE的面积为定值12；因此只要求出点P的位置使△PAB的面积最大，从而使四边形的面积最大；为此过点P作轴于点，交直线AB于点N，过点B作于点，设点P的坐标为，则可求得PN，且，由可得关于t的二次函数，从而求得△PAB面积的最大值，因而可得四边形BEAP面积的最大值，且可求得此时点P的坐标． 【详解】（1）一次函数与x轴的交点，令，则，解得； 与y轴的交点，令，则 ∴， 设抛物线的解析式为 把A，B，C三点坐标代入解析式，得解得 ∴抛物线的解析式为 （2）在平面直角坐标系中， 在和中 ∴ ∴（全等三角形的对应边相等） （3）存在，理由如下： 过点E作轴于点M ∵ ∴抛物线的对称轴是直线 ∴E点的横坐标是2，即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设点P的坐标为 过点P作轴于点，交直线AB于点N，过点B作于点，如图 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∵，抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当时，面积的最大值是，此时四边形的面积最大 ∴， 当时， ∴ ∴当P点坐标是时，四边形面积的最大值是． 【点睛】本题是二次函数与图形面积的综合问题，它考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，求二次函数的最值，求图形的面积等知识，求图形面积时用到了割补法，这是在平面直角坐标系中常用的求面积方法，用到了转化思想，即求四边形面积最大值问题转化为求三角形面积最大值问题． 33．（2021·青海西宁·中考真题）从，-1，1，2，-5中任取一个数作为a，则抛物线的开口向上的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率计算公式，可得事件总的可能结果数5，事件发生的可能结果数2，问题即可解决． 【详解】从5个数中任取一个的可能结果数为5，使抛物线的开口向上的a值有2个，分别为1和2，则所求的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单事件的概率的计算，二次函数的性质，求出事件总的可能结果数及事件发生的可能结果数是关键． 34．（2021·青海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象写出不等式的解集； （3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点,当时，求P点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）坐标有或或 【分析】(1)先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式； (2)将不等式变形为,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方即可求解； (3)先证明△PDQ为等腰直角三角形，进而求出 ，再分类讨论P点在直线AB上方或下方进而求解． 【详解】解：(1)当时，，解得， 当时，， 则点，点， 把，，，分别代入得 解得：，，， ∴该抛物线的解析式为． (2)由不等式， 得， 由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方， 则不等式的解集为； (3)如图，作轴于点，交于点， 在中，∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设点，则点， 当点在直线上方时， ， 即，解得， 则， ∴点的坐标为：． 当点在直线下方时， ， 即解得， ∴， ∴或， 综上所述，符合条件的点坐标有或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3)问中需要分类讨论P点位于直线AB上方或下方的情况． 考点5 反比例函数 35．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是正确计算的前提．根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形，在轴上， ∴，则， ∵， ∴， 故选：B． 36．（2024·青海·中考真题）如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比函数的交点问题： （1）分别把点，点代入，可求出点A，B的坐标，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入中，得：， ∴点A的坐标为， 把点代入中，得：， ∴点B的坐标为， 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数的解析式为， （2）解：根据一次函数和反比例函数图象，得： 当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， ∴的解集为或． 37．（2023·青海西宁·中考真题）已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是，那么此用电器的电阻是 ． 【答案】 【分析】设，根据函数图象得出，进而即可求解． 【详解】解：设，依题意， ∴， 当时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 38．（2023·青海·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示.    (1)求一次函数的解析式； (2)当时，直接写出不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象中给出交点的横坐标结合反比例函数表达式，可求得此点的坐标，进而求出一次函数的解析式． （2）利用数形结合的思想，可求出不等式得解集． 【详解】（1）解：由图象知， 一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1，且反比例函数表达式为， 则交点的纵坐标为2． 将代入得，． 所以一次函数的解析式为：． （2）解：当，即图象在轴的右侧， 观察图象发现：当图象在直线的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 所以不等式的解集为：． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，以及用数形结合的思想求不等式的解集，由图象给出的信息，求出交点的一个坐标是解题的关键． 39．（2022·青海西宁·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作轴于点． (1)求反比例函数解析式； (2)点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将代入求出，再将代入反比例函数即可求出k； （2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，需分类讨论：当AB为一条对角线时，当AC为一条对角线时，当AD为一条对角线时，根据中点坐标公式分别求出D点坐标，另还需考虑D在第一象限． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A 把代入得 ∴ ∴ 把代入反比例函数得 ∴ ∴反比例函数的解析式是； （2）由（1）知A(1,4)，C(2,0)，反比例函数解析式为， ∵，B在反比例函数图象上， ∴B(2，2), 令D(m,n)， 以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 当AB为一条对角线时，则， 解得m=1，n=6， ∴D(1,6) 当AC为一条对角线时，则， 解得m=1，n=2， ∴D(1,2) 当AD为一条对角线时，则， 解得m=3，n=-2， ∴D(3,-2)（舍去） 综上所述，点D的坐标是或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数相交问题以及平行四边形存在性问题，解题关键是由题中的条件分别求出A，B，C的坐标，再分类讨论求出平行四边形的第四个顶点坐标． 40．（2022·青海·中考真题）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1，如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，，，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则，，的大小关系为 （用小于号连接）. 【答案】 【分析】先根据这块砖的重量不变可得压力的大小不变，且，再根据反比例函数的性质（增减性）即可得． 【详解】解：这块砖的重量不变， 不管三个面中的哪面向下在地上，压力的大小都不变，且， 随的增大而减小， 三个面的面积之比是， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键． 41．（2021·青海西宁·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，轴于点B，延长AB至点C，连接．若，． （1）求的长和反比例函数的解析式； （2）将绕点旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标． 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）由三角函数值，即可求出OB=2，然后求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （2）根据题意，可分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，两种情况进行分析，即可得到答案． 【详解】解：（1） ∵轴于点B ∴ 在中，， ∴， ∴点A的横坐标为2 又∵点A在正比例函数的图象上 ∴， ∴ 把代入，得 ∴， ∴反比例函数的解析式是 ； （2）根据题意， ∵点A为（2，1）， ∵将绕点旋转90°， 则分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，如图： ∴或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，以及三角函数，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的画出图像进行分析． 42．（2021·青海·中考真题）已知点和点在反比例函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到-1•y1=6，-4•y2=6，然后分别计算出y1，y2，再进行大小比较． 【详解】解：∵A（-1，y1）和B（-4，y2）在反比例函数的图象上， ∴-1y1=6，-4•y2=6， ∴y1=-6，y2=， ∴y1<y2． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 43．（2025·青海玉树·模拟预测）如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 【答案】(1) (2)能 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数对称轴等知识点，解决此题的关键是熟练运用二次函数图象的性质； （1）根据二次函数待定系数法求解析式即可； （2）先求出对称轴， 根据对称轴求出最高处，求出题中的高度，进行比较即可； （3）此题要进行分类讨论，注意其结果的取舍； 【详解】（1）解：由题意得，图象过，， ∴． ∴． ∴顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）解：由题意得，对称轴为直线：， ∵车身的宽为， ∴车身的一端点的坐标为， 过作于点， 又将代入，得 ∴，即， ∴小军能将车开进车棚． （3）解：由题意，，在抛物线，之间， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，都在对称轴的左侧时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，舍； 当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， 当时，顶点坐标为， ∴， ∴， ∴舍，舍． 综上所述：． 44．（2025·青海玉树·模拟预测）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：）．两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系．下列结论：；普通列车出发与动车相遇；普通列车行驶时，动车到达终点乙地；经过或两车相距，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图像的应用，熟练掌握图像相关数据是解题的关键. 折线分三段：第一段两车相向而行，第二段背向而行至动车到达乙地，第三段普通列车行至甲地（动车停止）． ①t时刻是相遇后两车相距180千米的时刻，用3小时加两车共行驶180千米的时间即可. ②初始时刻，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻； ③全程除以动车速度即为动车到达终点时间； ④设经过，两车相距，列方程解答验证是否是或． 【详解】解：由图象可得， 普通列车的速度为：， 动车的速度为：， ，故正确，符合题意； 普通列车出发与动车相遇，故正确；符合题意； ， 即普通列车行驶时，动车到达终点乙地，故错误，不符合题意； 设经过，两车相距， 相遇前：，得； 相遇后：，得； 即经过或两车相距，故正确，符合题意； 故选：B． 45．（2025·青海西宁·三模）如图，直线与反比例函数相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； (2)连接，求的面积． (3)直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】(1)直线的函数解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）结合点和点的坐标及三角形的面积公式即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 将点和点代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为． 将点坐标代入得， ， 所以反比例函数的解析式为． （2）∵， ∴中边上的高线长为2， ∵， ∴， ∴的面积为：． （3）由， 解得：，， ∴点的横坐标为． 直线：和反比例函数交于，B两点， 当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为． 46．（2025·青海西宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，求一次函数，二次函数的解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.由四边形是矩形得，，则点的坐标为，求出直线的函数解析式为，然后利用面积公式即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 延长交轴于点， ∴由图可得，点的横坐标，， ∴，点， 即 ∴， ∴， 故答案为： 47．（2025·青海·三模）如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意，，，可判断错误；观察对称轴即可判断正确；根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点是可判断④错误；抛物线 图象与直线只有一个交点，方程有两个相等的实数根，故⑤正确． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∵对称轴在轴右边， ∴， ∴， ∴，故错误， ∵顶点坐标为， ∴， ∴，故②正确； ∵，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点是，故错误， 由题意：图象与直线交于，两点， ∴当时，即不等式的解集为，故④正确， ∵抛物线 图象与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确， 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 48．（2025·青海海东·二模）某水果店购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果进行降价销售，全部售完．销售金额（元）与销售量（千克）之间的函数关系图象如图所示．请根据图象解答下列问题： (1)求降价后销售金额（元）与销售量（千克）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)该水果店余下的苹果每千克降价了多少元销售？ 【答案】(1) (2)该水果店余下的苹果每千克降价了元销售 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答， （1）设降价后销售金额（元）与销售量（千克）之间的函数表达式是，代入点，点求出函数解析式，再写出范围即可； （2）根据函数图象中的数据，可以求得降价前和降价后苹果的单件，然后作差，即可得到该水果店余下的苹果每千克降价了多少元销售． 【详解】（1）解：设降价后销售金额（元）与销售量（千克）之间的函数表达式是， ∵点，点在该函数图象上， ∴， 解得， 即降价后销售金额（元）与销售量（千克）之间的函数表达式是， 当时，， 解得， ∴降价后销售金额（元）与销售量（千克）之间的函数表达式是； （2）由图可得，降价前苹果的单价是（元）， 降价后苹果的单价是（元）， （元） 即该水果店余下的苹果每千克降价了元销售． 49．（2025·青海海东·二模）如图，已知一次函数的图象交反比例函数的图象于点、，交轴于点． (1)求的值和点的坐标； (2)请根据图象，在时，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，求反比例函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点在反比例函数和一次函数图象上，得出，，即可得到反比例函数解析式为，一次函数的解析式是，联立联立，即可求出点的坐标； （2）运用数形结合思想，根据已知一次函数的图象交反比例函数图象于点A、B，且点B的坐标是，点，即可作答． 【详解】（1）解：点在反比例函数和一次函数图象上， ，， 解得，， 反比例函数解析式为，一次函数的解析式是． 联立， 解得：或， 点的坐标是； （2）解：由图象得，不等式的解集是或． 50．（2025·青海海东·二模）（1）解方程：； （2）若在平面直角坐标系中，点的横坐标与纵坐标分别为（1）中方程的两个根，且点在第二象限，求点坐标，及点到坐标原点的距离． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，坐标系中两点距离计算公式，正确求出方程的两个解是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据（1）所求结合第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正得到点A坐标，再根据两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：（1） 移项得， 配方得， 整理得， 直接开方， 解得，； （2）因为第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正， 所以点的坐标为 ∴点到坐标原点的距离为． 51．（2025·青海西宁·一模）如图，在同一直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象的一个交点为． (1)求的值及反比例函数的解析式． (2)若点在轴上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2)或或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、勾股定理、解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入到求出的值，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）由（1）得，设点的坐标为，根据题意分①；②；③三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，分别求出对应的值，即可解答． 【详解】（1）解：代入到，得， ， 代入到，得， 反比例函数的解析式为， ，反比例函数的解析式为． （2）解：由（1）得，， ， 设点的坐标为， 则，， ①若，则， 解得：， 点的坐标为或； ②若，则， 解得：，（舍去）， 点的坐标为； ③若，则， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 52．（2025·青海西宁·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，点在轴的正半轴上，且，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义，如图，连接，由于，根据三角形面积公式得到，再根据反比例函数的的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质得到的值．解题的关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ ∴， 即的值为． 故答案为：． 53．（2025·青海·二模）现如今大街上随处可见外卖骑手的身影，某天骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离该餐饮店4400米远的同一个小区，由于备餐时间不同，甲送餐出发2分钟后乙才出发，甲、乙两骑手之间的距离（单位：米）与骑手甲行驶的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（　　） A．甲的速度是600米/分钟 B．乙出发后用了8分钟追上甲 C．当乙追上甲时，乙距离小区2400米 D．当乙到达小区时，甲距离小区500米 【答案】D 【分析】本题主要考查了从函数图像中获取信息， 根据图像可知甲骑手出发，随着时间的增加两位骑手的距离逐渐增大，至2分钟，两位骑手的距离是600米，之后乙骑手出发，随着时间的增加两人的距离逐渐减小，至8分钟，两人相遇，再根据分析逐项解答即可． 【详解】解：根据图像可知甲骑手出发，随着时间的增加两位骑手的距离逐渐增大，至2分钟，两位骑手的距离是600米，则甲骑手的速度是（米/分），所以A不正确； 之后乙骑手出发，随着时间的增加两人的距离逐渐减小，至8分钟，两人相遇，可知乙出发后用了6分钟追上甲，所以B不正确； 当乙追上甲时，甲行驶了（米），此时乙距离小区（米）， 所以C不正确； 当乙到达小区时用时，此时甲距离小区（米）． 所以D正确． 故选：D． 54．（2025·青海西宁·一模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 【答案】(1) (2)存在满足条件的点，其坐标为或 (3)点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为 【分析】（1）由的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、两种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标； （3）由、的坐标可求得直线的解析式，可设出M点坐标，则可表示出N点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点M的坐标． 【详解】（1）解：在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为； （2）， 抛物线对称轴为直线， 当时，， ，且， ， 点在对称轴上， 可设， ，， 当时，， 解得，此时点坐标为； 当时， 解得（与重合，舍去）或，此时点坐标为； 综上可知：存在满足条件的点，其坐标为或； （3）当时，即，解得或， ，， 设直线解析式为， 由题意可得，解得， 直线解析式为， 点M是线段上的一个动点， 可设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 此时， ，即M为的中点， 点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用M点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 55．（2025·青海·二模）某运动会开幕式上，根据火炬点燃方案，要从位于点正上方的点处发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为一抛物线．火球运行的最高点距地面，与的水平距离为．在地面上的，两个观测点测得火炬的仰角分别为，，，垂足为点，且，，，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求火球运行轨迹抛物线的函数表达式； (2)求火炬的高度的长； (3)按（1）中轨迹运行的火球能否点燃火炬？请说明理由 【答案】(1) (2)12米 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用以及解直角三角形的知识．解题的关键是根据已知条件确定抛物线的表达式，利用三角函数关系求出火炬高度，并判断点是否在抛物线上． （1）根据抛物线顶点坐标设出顶点式，再代入已知点坐标求出参数； （2）设点P坐标为，利用三角函数关系建立方程求解； （3）判断火球能否点燃火炬，将火炬横坐标代入抛物线表达式，看纵坐标是否与火炬高度相等． 【详解】（1）解：已知抛物线的最高点距地面，与的水平距离为， 所以顶点的坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 因为点在抛物线上，将其代入抛物线表达式可得： , 解得; 所以抛物线的函数表达式为； （2）解：设点P坐标为， 由得，即； 由得， 联立解得 故的高度为12米； （3）解：将代入抛物线： ， 点在抛物线上，因此火球能点燃火炬． 56．（2025·青海·二模）综合与实践 【问题提出】 如图1，在中，于点，，，且．点从点出发沿向点运动，速度为每秒1个单位长度；点从点出发沿向点运动，速度为每秒2个单位长度．过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，点出发2秒后点出发，当一个点到达终点时另一个点也停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为． 【初步感知】 （1）如图2，当时，___________； （2）如图3，当时，解答下列问题： ①连接，当四边形是平行四边形时，___________； ②求与的函数解析式； 【延伸探究】 （3）当时，是否存在某一时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（ 2 ）① 5 ；②；（3）或． 【分析】（1）根据题意得，然后利用，代入值即可求出； （2）①根据平行四边形的判定与性质证明，进而可以解决问题； ②根据题意可得，所以，然后利用，代入值可求出，进而可得与的函数解析式； （3）分两种情况讨论，结合相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质即可． 【详解】解：（1）当时，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， 故答案为：5 ； ②， 由勾股定理得：， 根据题意可知：， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∴的面积； ； （3）存在，理由如下： 当时，如图： 由题意得：， 解得：； 当时，如图： ∵， ， ∵， ∴， ， ， 解得， 综上所述：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，函数解析式求解，锐角三角函数，勾股定理等知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． 57．（2025·青海·二模）点，在反比例函数的图象上，且当时，．符合上述条件的反比例函数解析式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．先根据题意判断出k的符号，再写出符合条件的解析式即可． 【详解】解：∵点，为反比例函数图象上的点，当时，， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴反比例函数图象在二、四象限，则． 故答案为：（答案不唯一）． 58．（2025·青海·二模）某宾馆有若干间标准房，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在150~240元之间（含150元，240元）浮动时，每天入住的房间数（间）与每间标准房的价格（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： （元） … 190 200 210 220 … （间） … 65 60 55 50 … (1)根据所给数据在坐标中描出相应的点，并画出图象； (2)求关于（）的函数解析式； (3)若不考虑其他因素，宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)； (3)宾馆标准房的价格定为160元时，客房的日营业额最大，最大为12800元． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，由营业额=入住房间数量×房价得出函数解析式及二次函数的性质是解题关键． （1）依据题意，描点、连线即可得； （2）依据题意，待定系数法求解可得； （3）依据题意，由营业额=入住房间数量×房价得出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得． 【详解】（1）解：描点、连线，函数图象如图所示： （2）解：由题意，设，将、代入， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为元． 答：宾馆标准房的价格定为160元时，客房的日营业额最大，最大为12800元． 59．（2025·青海·二模）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，直线的解析式为．将矩形沿直线折叠，点落在点处，与轴交于点．点是轴负半轴上一个动点，点在坐标平面内，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，且为该菱形的一条边，则点的坐标为 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查矩形与折叠，菱形的判定与性质；先根据题意得，设，根据勾股定理得到，即，再分不同情况进行解答即可． 【详解】解：对于直线， 当时，，解得，即， 当时，，即， ∴， ∵， ∴， 根据题意：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵为直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当运动到，作边，为对角线时， ∵C，D，F，P为顶点的四边形是菱形， ∵，， ∴， 当运动到，作边时， ， ∴， 当运动到时 ∵点F是y轴负半轴上一个动点 ∴不符合题意； 故答案为：或． 60．（2025·青海海东·一模）如图，已知点，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数，待定系数法求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式，即可求解； （2）根据函数图象写出反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数的解析式为：， 把点、的坐标代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：根据图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值， ∴不等式的解集为：或． 61．（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，点是抛物线上一点，以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标； (3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）利用二次函数的对称性可得点坐标，即得，再根据平行四边形的性质可得，，进而解答即可求解； （）先求出直线的解析式，再分和点关于对称轴对称两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形， ∴，， ∴点的纵坐标相同， 设点的横坐标为，则， ∴， ∴或； （3）解：把代入，得， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作交抛物线于点，则， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴； 当点关于对称轴对称时，可知， ∴， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 62．（2025·青海海西·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是数形结合． （1）先求出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出k的值即可； （2）先求出点C的坐标，再利用数形结合思想，根据图象法即可求解． 【详解】（1）解： 在一次函数的图象上， ， 解得， 点A的坐标为， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得：，， ∴ ∴由图象可得， 当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面， 当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或． 2/20 1/20 学科网（北京）股份有限公司 $