专题04 一元二次方程（3年汇编）（四川专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦一元二次方程，整合四川2024-2026中考真题及模拟题，覆盖6大核心考点，凸显地域考情与命题规律，基础与综合题梯度分布。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约35题|含方程解法、根的判别式、韦达定理等|基础题以因式分解法解方程为主，高频考查“已知根求参数”| |解答题|约15题|实际应用（增长率/利润）、几何综合、二次函数综合|实际应用题结合四川文旅/农业场景，如足球联赛、芝麻糕销售；新定义题型如“倒数点”“单位圆点”，综合题融合菱形面积、直角三角形内切圆等几何知识|

专题04 一元二次方程 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点01一元二次方程的解与解方程 2024年：攀枝花、凉山、巴中、绵阳2025年：绵阳、达州、广元2026年：四川统考 基础必考题型，以因式分解法、直接开平方法解方程为主；高频考查“已知根求参数”，题型以选择、填空为主，难度偏低，侧重基础计算能力考查，每年必考。 考点02一元二次方程根的判别式 2024年：自贡、绵阳、广安、南充、遂宁、泸州2025年：成都、雅安、巴中、广元、德阳、内江、遂宁、广安2026年：遂宁、广元、甘孜、内江、南充 四川中考高频核心考点，覆盖地市最广；固定考查形式：判断根的情况、根据根的个数求参数取值范围、参数值；常结合新定义题型考查，选填、解答证明题均有涉及，稳中基础。 考点03根与系数的关系（韦达定理） 2024年：乐山、眉山、内江、泸州、成都2025年：凉山、乐山、眉山、广安、南充、泸州2026年：凉山、巴中、南充、眉山、乐山、广安 四川中考重难点，区分度题型；以整体代入求值为核心，常结合代数式变形、参数求解考查；既有基础填空选择，也有中档解答题，连续三年全省各地密集考查。 考点04一元二次方程实际应用（增长率、销售利润、几何面积） 2024年：绵阳、眉山、凉山、内江、广安2025年：凉山、达州、泸州2026年：南充、凉山 解答题高频考点，固定两大命题模型：增长率问题、销售利润最值问题；偶尔考查矩形面积几何应用；贴合本地生活、农业、文旅场景，文字阅读量偏大，侧重建模能力。 考点05一元二次方程与几何综合 2025年：乐山2026年：泸州、乐山 四川特色创新题型，每年固定1-2道；结合新定义点、多边形数规律命题，联立方程判断解的个数，侧重学生理解迁移能力，难度中等。 考点06二次函数与一元二次方程综合 2024年：南充2026年：南充 压轴高频考点，结合抛物线与x轴交点、函数最值考查方程思想；多为选择、填空压轴，综合性强，是四川中考数学主要区分点之一。 、 考点01 一元二次方程的解与解方程 1．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 【答案】 5 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 2．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答． ①解方程：； ②解不等式组：． （2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解． 【答案】（1）①；②；（2）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）①利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； ②先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据所求的正整数解，代入计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴或， 解得； ② 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴原不等式组的解集为； （2） ， 由（1）①可得，则原式， 由（1）②可得，则原式． 3．（2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 4．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，再用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 5．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 6．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 7．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 8．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 考点02 一元二次方程根的判别式 1．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 2．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 3．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 4．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 6．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】一元二次方程有两个实数根需要满足两个条件：二次项系数不为0，且根的判别式，据此列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且． 7．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 8．（2025·四川巴中·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则______． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实根，可得，即可解答，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实根， ， 解得， 故答案为：4． 9．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·四川德阳·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故选：C． 11．（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根． 故选：B 12．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 13．（2025·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有实数根对应方程的判别式非负是解题的关键； 根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，解不等式即可确定m的取值范围． 【详解】解：对于方程，其判别式为：， 方程有实数根需满足，即：， 解得； 故选：D． 14．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 15．（2024·四川绵阳·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．因为一元二次方程有实数根，所以可得，解不等式求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， ， 整理得：， 合并同类项得：， 解得：． 故选：D． 16．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 17．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 18．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 19．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 20.（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 考点03 一元二次方程跟与系数的关系 1．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ， ∴，， ∴． 2．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 3．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 4．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 5．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． 6．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 7．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 8．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 9．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 10．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 11．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； (2) 证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）略 12．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 14．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 15．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 16．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 17．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 考点04 一元二次方程与几何综合 1．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 2．（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果. 【详解】设该直角三角形的两直角边长为、，斜边长为， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，由勾股定理得： ， ∵三角形的面积， ∴直角三角形的内切圆半径公式为，代入得：． 3．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算，根据，求解即可． （2）过点作于点M，则四边形是矩形，根据，求解即可． （3）设小路的宽为，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 的宽度为， ， ． （2）解：过点作于点M， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：设小路的宽为， 根据题意，得， 整理，得， ， 解得，（大于16，舍去）， 答：小路的宽为． 4．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 【答案】(1)这两条路与等长，且它们相互垂直； 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴这两条路与等长，且它们相互垂直； (2) 如果另一端点在花园边界上时，能修建成这样的一条直路，理由如下： 由（）得，， ∵米，米， ∴米，米，米， ∴， ∴， ∴， 又∵在中有， ∴， ∴， ∴， 如果另一端点在路段上， 则在中，， ∴此种情况不成立； 如果另一端点在花园边界上时， 设，则在中，有， ∴， ∴， ∵， ∴能修建成这样的一条直路． 【分析】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，则，，证明，故有，，又，则，从而求解； （）由（）得，，由勾股定理得出，由，即，得到，则有，然后分另一端点在路段上和另一端点在花园边界上时两种情况分析即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解． 【详解】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，， 设，，假设存在点，且，则， 在中，， 在中，， ， ，即， 整理得， ，又，即， ， ，， ， 方程无解，即点不存在． 故选：D． 考点05 一元二次方程实际应用 1．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 2．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 4．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 5．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案． 【详解】解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故选：C． 6．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 7．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 8．（2024·四川绵阳·中考真题）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键． 4月份价格从元开始降价，如果两个月平均降价率为r，根据“5月份的售价为486元”作为相等关系得到方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得，（不合理舍去）． 所以4，5月份两个月平均降价率为．即． 故答案为：． 9．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 10．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 考点06 新定义题型、规律探究 1．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“倒数点”定义，若为倒数点，则满足，即，联立各函数与，判断方程解的个数，逐个验证结论即可. 【详解】解：由定义得，倒数点满足，，即， ① 联立，则， 整理得， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ② 联立， ， ， 当时，，整理得， ， 解得，， 正根，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③ 联立， ∴， 画出函数和图象的草图如图所示： 由图象知：函数和图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④ 联立， 整理得， 当时，方程为，解得，，满足，是倒数点， 此时，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 2．（2026·四川乐山·中考真题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的，， ， 称为三角形数，第二行的，，， 称为四边形数，第三行的， ， ，称为五边形数． （1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有_________（填序号）： ①；        ②；        ③． （2）我们将 边形数中第 个数记为．已知，，则_________．（用含有 的代数式表示） 【答案】 ①③ 【分析】（1）根据图形规律，往后写几个数即可求解； （2）设，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：1和36既是三角形数又是四边形数； 根据题意，第一行的三角形数分别为1,3,6,10,15,21,28,36， 第二行的四边形数分别为1,4,9,16,25,36,49， 第三行的五边形数分别为1,5,12,22,35,51， 故1和36既是三角形数又是四边形数． （2）解：，都是n的二次函数， 也可能是n的二次函数， 不妨设， 根据题意，得， 解得， 故． 3．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为______． 【答案】 ③ 【分析】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”． （1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断． （2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围． 【详解】解：（1）①联立， 整理得：， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ②联立， 整理得：， 令，则方程变为，即， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立， 整理得：， 则， ∵恒成立， ∴， 解得：， 当时，， 则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”． 故答案为：③ （2）联立， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为： 考点07 二次函数与一元二次方程综合 1．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是_____．（填写序号） 【答案】 【分析】由题意得，根据可以判断；令求出，，由可以判断；抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），根据根的判别式得出或，或，可以判断，利用两点间的距离可以判断． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴与交点为，故正确， 当时，，解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则有：， ∵， ∴，故正确； ∵抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧）， ∴，， 解得：或，或， 由得， ∴， 当时，，或当时，， ∴，故错误； 由得：，解得， ∵在的左侧，在的左侧， ∴，，，， ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴由对称性可知：，两点关于对称，故正确； 综上可知：正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 1．（2026·四川泸州·模拟预测）近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“增长后出口量=初始出口量×（1+年平均增长率）的增长年数次方”列方程，从2023年到2025年间隔2年，即可得出对应方程． 【详解】∵年平均增长率为x，从2023年到2025年共经过2年，初始出口量为2023年的120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆， ∴可列方程为：． 2．（2026·四川广元·三模）已知关于x的一元二次方程 的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用判别式大于0求解即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴一元二次方程 的判别式为， ∴方程有两个不相等的实数根． 3．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果. 【详解】解：原方程为 . 移项得 . 方程两边同时加得 . 配方得 . 4．（2026·重庆巴南·模拟预测）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】理解题意，找到剩余知识量的等量关系．每天遗忘百分比为，剩余知识量每天在上一天剩余的基础上按比例衰减，据此列出方程即可． 【详解】解：设原始知识量为， ∵每天遗忘的百分比为， ∴第一天后剩余的知识量为， 第二天后剩余的知识量为， 又∵两天不练丢一半，即两天后剩余知识量为原来的， ∴． 5．（2026·四川广安·三模）对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据新定义代入，，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系即可得到答案. 【详解】∵ ，且， ∴ 将，代入得： ， 整理得：， ∴ ． 6．（2026·四川南充·三模）关于的方程有两个不相等的实数根，，若，则实数（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系结合已知条件列方程求，最后舍去不符合范围的解即可． 【详解】对于方程 ，其中 ，，， ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 代入计算得 ， 解得 ， 根据根与系数的关系可得 ，， ∵ ， ∴ 代入得 ， 整理得 ，即 ， 解得 或 ， ∵ ， ∴． 7．（2026·四川乐山·一模）关于的方程 有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况分析，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的判定方法结合具体的数值列式解答即可． 【详解】解：当时，方程为有两个不同的实数根，不符合题意； 当且时，方程  有个不同的实数根， ∴方程 一定有2个不同的正实数根， ∴ 解得：； 当且时，方程  有个不同的实数根， ∴方程 一定有2个不同的负实数根， ∴ 解得：； 的取值范围是． 8．（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 9．（2026·四川南充·二模）关于的一元二次方程有一个根为，则实数，之间的关系为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，化简整理即可得到与的关系． 【详解】∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， ， 整理得． 10．（2026·四川遂宁·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 11．（2026·四川广安·二模）若实数x满足，则______． 【答案】 【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 【详解】 ， ∴ 12．（2026·四川广元·二模）若是方程的根，则代数式的值是____． 【答案】2029 【分析】利用方程的根的定义，得到；两边同除以，构造出的形式；对平方，求出的值；代入代数式，直接算出最终结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ， 方程两边同时除以，得： 整理得： ∴ 化简得： 移项得： 将其代入代数式得： ． 13．（2026·四川成都·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再结合“有两个不相等的实数根”的条件得到根的判别式大于0，解不等式后得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上，实数的取值范围是且． 14．（2026·四川成都·三模）已知关于的方程的两实根为，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，由根的判别式求出的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积. 将所求代数式整理为关于的二次函数，根据二次函数的性质结合的范围求出最小值． 【详解】解：关于的方程有两个实根， 根的判别式，即 ， 解得， 由根与系数的关系可得，， ， 设，对称轴为， 二次项系数， 抛物线开口向上， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为， 即的最小值是． 15．（2026·四川广安·二模）已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且． （1）若，则满足条件的所有整式的和为___； （2）满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有___个． 【答案】 3 【分析】根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）当时，则， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式为，，， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式为， ∵，，均为正整数， ∴， 而当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式的和为； （2）多项式为二次三项式， ， ， ∵多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则只有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， ∴其值一定为非负数的整式M共有3个． 16．（2026·四川广元·一模）某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价 60 59 58 57 56 日销售量 20 22 24 26 28 (1)此玩具的进价是多少元？ (2)从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (3)如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？ 【答案】(1)此玩具的进价是20元 (2)日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为 (3)该益智玩具的销售单价定为30元 【分析】（1）设此玩具的进价是m元，根据题意玩具数量相等列分式方程，然后解方程即可解答； （2）通过分析表中数据可以看出，日销售量y与销售单价x之间成一次函数关系，故可设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为，利用待定系数法求出k与b的值，进而得出该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （3）根据“每日利润＝（销售单价－进价）×日销售量－房租等运营成本”可得，然后解方程，再结合“要尽量减少库存”即可解答． 【详解】（1）解：设此玩具的进价是m元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：此玩具的进价是20元； （2）解：通过分析表中数据可以看出，该益智玩具日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 设该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将，代入，得： ，解得：， 答：该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为； （3）解：该益智玩具的销售单价定为x元， 根据题意，得：， 解得：，， 当销售单价为60元时，日销售量为个， 当销售单价为30元时，日销售量为个， ，且要尽量减少库存， ∴ 应选择日销售量较大的方案， ． 答：该益智玩具的销售单价定为30元． 17．（2026·四川广元·二模）如图，农户家有两面垂直的院墙，墙角内侧N处有一棵果树，距两侧院墙的距离分别为10米和5米．现计划借助这两面院墙（足够长），用总长为24米的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆只围、两边），果树在围成的区域内，设为x米． (1)菜园的面积能否为119平方米？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (2)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围，并求出当x为何值时，菜园面积最大？ 【答案】(1)菜园面积能为119平方米，此时 (2)，当时，菜园面积最大 【分析】（1）设为x米，则米，根据矩形的面积公式列出方程求解； （）根据矩形的面积公式列出与的函数解析式，再根据题意求出的取值范围，进而根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：设为x米，则米， 由题意得，， 即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴， 答：菜园面积能为119平方米，此时； （2）解：， ∵点N距两侧院墙的距离分别为10米和5米， ∴， 解得， ∴， ∵二次项系数， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，菜园面积S的值最大． 18．（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 19．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ． 20．（2026·四川南充·一模）如图，是某小区矩形停车场平面图，长60米，宽30米，其中共有A、B、C三个矩形停车区域（宽度分别为a米，米，a米），面积和为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位长a米，宽2.5米．两端和停车区域间分别为宽度相同的车道． (1)求行车道宽度和车位数量； (2)停车场实行按天收费，在试营业期间，调查发现：按每个车位12元/天的标准收费，车位全部被租完，当车位费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求w的最大值． (3)在（2）的条件下，停车场确定收费标准为每个车位16元/天，同时将未出租车位中的m个普通车位改装为充电车位（充电车位每天都能全出租）．充电车位每个改装费为5000元．若改装m个车位后，停车场全年总收入（扣除改装费后）超过未改装前全年停车收费总金额的最大值（全年均按365天计），求m的最小值． 【答案】(1)行车道宽度米，车位数量个 (2)的最大值为元 (3)的最小值为 【分析】（1）设行车道宽度为米，根据图形和题意可得，则， 三个停车区水平总长度为，则，将代入得：，求出，则，据此即可求解； （2）由题意，涨价元后，每个车位收费元，出租数量为个，则，再根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意可得原出租数量为个，未出租数量为个，未改装前全年最大总收入为元， 改装个后，每天收入为，根据题意可得，解得，即可解答； 【详解】（1）解：设行车道宽度为米， 根据图形和题意： 竖直方向总高度关系：， 化简得，即， 三个停车区水平总长度为， 则， 化简得， 将代入得：， 解得：（负根舍去）， 则， 停车区总水平长度为米， ∵每个车位宽2.5米，故每排可停个车位； 总排数为排，总车位数个； （2）解：由题意，涨价元后，每个车位收费元，出租数量为个， 总金额：， 这是开口向下的二次函数，对称轴为，为正整数， 故当时：； （3）解：收费为16元/天时，，则原出租数量为个，未出租数量为个， 未改装前全年最大总收入为元； 改装个后，每天收入为， 全年扣除改装费后总收入满足：， 化简得：， ∵为正整数，且， 故最小值为9． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点01一元二次方程的解与解方程 2024年：攀枝花、凉山、巴中、绵阳2025年：绵阳、达州、广元2026年：四川统考 基础必考题型，以因式分解法、直接开平方法解方程为主；高频考查“已知根求参数”，题型以选择、填空为主，难度偏低，侧重基础计算能力考查，每年必考。 考点02一元二次方程根的判别式 2024年：自贡、绵阳、广安、南充、遂宁、泸州2025年：成都、雅安、巴中、广元、德阳、内江、遂宁、广安2026年：遂宁、广元、甘孜、内江、南充 四川中考高频核心考点，覆盖地市最广；固定考查形式：判断根的情况、根据根的个数求参数取值范围、参数值；常结合新定义题型考查，选填、解答证明题均有涉及，稳中基础。 考点03根与系数的关系（韦达定理） 2024年：乐山、眉山、内江、泸州、成都2025年：凉山、乐山、眉山、广安、南充、泸州2026年：凉山、巴中、南充、眉山、乐山、广安 四川中考重难点，区分度题型；以整体代入求值为核心，常结合代数式变形、参数求解考查；既有基础填空选择，也有中档解答题，连续三年全省各地密集考查。 考点04一元二次方程实际应用（增长率、销售利润、几何面积） 2024年：绵阳、眉山、凉山、内江、广安2025年：凉山、达州、泸州2026年：南充、凉山 解答题高频考点，固定两大命题模型：增长率问题、销售利润最值问题；偶尔考查矩形面积几何应用；贴合本地生活、农业、文旅场景，文字阅读量偏大，侧重建模能力。 考点05一元二次方程与几何综合 2025年：乐山2026年：泸州、乐山 四川特色创新题型，每年固定1-2道；结合新定义点、多边形数规律命题，联立方程判断解的个数，侧重学生理解迁移能力，难度中等。 考点06二次函数与一元二次方程综合 2024年：南充2026年：南充 压轴高频考点，结合抛物线与x轴交点、函数最值考查方程思想；多为选择、填空压轴，综合性强，是四川中考数学主要区分点之一。 、 考点01 一元二次方程的解与解方程 1．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 2．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答． ①解方程：； ②解不等式组：． （2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解． 3．（2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 4．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 5．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 6．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为______． 7．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 8．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为___________． 考点02 一元二次方程根的判别式 1．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 2．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 5．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 7．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 8．（2025·四川巴中·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则______． 9．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 10．（2025·四川德阳·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 11．（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 12．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 13．（2025·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 15．（2024·四川绵阳·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 17．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 18．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 20.（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 考点03 一元二次方程跟与系数的关系 1．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 2．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 3．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 4．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 5．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 6．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 7．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 8．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 9．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为________． 10．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 11．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 12．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 14．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为______． 15．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 16．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 17．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 考点04 一元二次方程与几何综合 1．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 4．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 5．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 考点05 一元二次方程实际应用 1．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 4．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 7．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 8．（2024·四川绵阳·中考真题）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则______． 9．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（    ） A． B． C． D． 考点06 新定义题型、规律探究 1．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川乐山·中考真题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的，， ， 称为三角形数，第二行的，，， 称为四边形数，第三行的， ， ，称为五边形数． （1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有_________（填序号）： ①；        ②；        ③． （2）我们将 边形数中第 个数记为．已知，，则_________．（用含有 的代数式表示） 3．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为______． 考点07 二次函数与一元二次方程综合 1．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是_____．（填写序号） 2．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 1．（2026·四川泸州·模拟预测）近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广元·三模）已知关于x的一元二次方程 的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·重庆巴南·模拟预测）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川广安·三模）对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 6．（2026·四川南充·三模）关于的方程有两个不相等的实数根，，若，则实数（     ） A． B． C． D．或 7．（2026·四川乐山·一模）关于的方程 有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 9．（2026·四川南充·二模）关于的一元二次方程有一个根为，则实数，之间的关系为________． 10．（2026·四川遂宁·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 11．（2026·四川广安·二模）若实数x满足，则______． 12．（2026·四川广元·二模）若是方程的根，则代数式的值是____． 13．（2026·四川成都·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 14．（2026·四川成都·三模）已知关于的方程的两实根为，，则的最小值是________． 15．（2026·四川广安·二模）已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且． （1）若，则满足条件的所有整式的和为___； （2）满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有___个． 16．（2026·四川广元·一模）某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价 60 59 58 57 56 日销售量 20 22 24 26 28 (1)此玩具的进价是多少元？ (2)从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (3)如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？ 17．（2026·四川广元·二模）如图，农户家有两面垂直的院墙，墙角内侧N处有一棵果树，距两侧院墙的距离分别为10米和5米．现计划借助这两面院墙（足够长），用总长为24米的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆只围、两边），果树在围成的区域内，设为x米． (1)菜园的面积能否为119平方米？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (2)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围，并求出当x为何值时，菜园面积最大？ 18．（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 19．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 20．（2026·四川南充·一模）如图，是某小区矩形停车场平面图，长60米，宽30米，其中共有A、B、C三个矩形停车区域（宽度分别为a米，米，a米），面积和为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位长a米，宽2.5米．两端和停车区域间分别为宽度相同的车道． (1)求行车道宽度和车位数量； (2)停车场实行按天收费，在试营业期间，调查发现：按每个车位12元/天的标准收费，车位全部被租完，当车位费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求w的最大值． (3)在（2）的条件下，停车场确定收费标准为每个车位16元/天，同时将未出租车位中的m个普通车位改装为充电车位（充电车位每天都能全出租）．充电车位每个改装费为5000元．若改装m个车位后，停车场全年总收入（扣除改装费后）超过未改装前全年停车收费总金额的最大值（全年均按365天计），求m的最小值． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04一元二次方程 3年真题1年模拟：答案版 三年真题分类凤 考点01一元二次方程的解与解方程 1.5 2.(1)①x=b=V2;②-1<x<2:(2)x-2,-1 【详解】解：(1)O-(N2+小x+2=0 :(x-1x-2)=0 -1=0或-5=0 解得=山戈=V2 x+1>0 ②2x+1<5 解不等式x+1>0,得：x>-1, 解不等式2x+1<5,得：x<2, ∴.原不等式组的解集为-1<x<2; x+3- ,x2-4x+4 (2)x+2x2-4 =x+3-x-22-4x+4 x+2 x2-4 1/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =-1 (x-2) x+2(x+2)(x-2) =1.(x+2x-2) x+2(x-22 s、1 x-2 1 由()①可得x=1则原式21， 1 由(1)②可得x=1则原式1-2-1 3.2 4=15=-3 5.4 6.3 7.A 8.-4 考点02一元二次方程根的判别式 2-(2k+1)x+k2+k-2=0 1.(1)证明：，原方程为 :△=[-(2k+1)-4×1x(k2+k-2) =4k2+4k+1-4k2-4k+8 =9>0. .方程有两个不相等的实数根. (②解：“方程的两个实数根为，古。 :+3=2k+15=k2+k-2 2 2/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2x2+x2=2k+1 2k+1 3 3， 2(2k+1) 水= 3 代入5=+-2得：242+=+k-2, 9 整理得k2+k-20=0, 解得k=4或k=-5 2.A 3.B 4.a<4 5.A 6.B 7.1 8.4 9.-1 10.c 11.B 12.C 13.D 14.A 15.D 16.A 17.1)k>1 2)2 【详解】山)解：：，5是关于的方程-2+-+1=0的两个不相等的实数根， .4>0, 3/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△=(-2k)-4×1×(k2-k+1）=4h2-4k2+4k-4=4k-4>0 解得：k>1: (2)解：k<5,由(1)得k>1, .1<k<5, .整数k的值有2,3,4， 当k=2时，方程为x2-4x+3=0, =1x2=3 解得： (都是整数，此情况符合题意)； 当k=3时，方程为x2-6x+7=0, x=3±√2 解得： (不是整数，此情况不符合题意)： 当x=4时，方程为x2-8x+13=0, x=4±V5 解得： (不是整数，此情况不符合题意)； 综上所述，k的值为2 18.A 19.1) 证明：△=[-(m+2订-4×1x(m-1)=m2+8 ,无论m取何值，m2+8>0,恒成立， ∴，无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)解：，是方程 2-(m+2)x+m-1=0 的两个实数根， :名+5=m+2写x=m-1 :+号-=(6+-3xx=(m+2-3(m-1)=9 解得：%或=之 4/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 20.20.5 考点3一元二次方程跟与系数的关系 1.22 2 3.1或3 4.-12 5.3 6时 2 1.3 8.C 9.-2 10.29 1.)5=4m=±6 ②证明：方程x-x-2)=m 化为r-3x+2-m2=0. .△=4m2+1>0, ∴.原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得+6=3.5=2-m2 .（飞-(5-)=5-(G+x)+1=2-m2-3+1=-m2 ,-m2≤0， .6-1x-s0 12.10 5/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.A 14.2/0.5 15.1)P,1: 1,1 1 -+一=卫x1+一=卫 ②)x，x: 【详解】(1)解：由根与系数的关系得，+5=P,1 故答案为：P,1: (②)解：+6=px=1 1+L=+五=p 为为， :关于”的一元二次方程-r+1=0(P为常数)有两个不相等的实数根和， 2 :-%+1=0 1 -p+二=0 X1; 1 x1+一=p (3)解：由根与系数的关系得， +x2=pxx2=1 +发=2p+1 :(年+x》-2x5=2p+1 P2-2=2p+1 6/17 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .p2-2p-3=0 解得p=-1或p=3, 片一元=次方程-四+1=0为++1=0或2-3x+1=0, 当p=-1时，△=12-4×1×1=-3<0，不合题意，舍去： 当P=3时，△=(3-4x1x1=5>0,符合题意 p=3 16.7 17.14 考点04一元二次方程与几何综合 1.D 2.A 3.(1)45 (2)2.7m (3)4m 【详解】(1)解：根据题意，得AF=AC-CF=3-2.2=0.8m, :AB的宽度为0.8m, tan∠ABF= AF =1 AB ∴.∠ABF=45° (2)解：过点B作B'M⊥CE于点M, 则四边形ACMB'是矩形， .AB'=CM AC=MB'=3m, .AB'CM=CD+DM, 7/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 人C与 CDME:∠a=68 tan∠a=B'M DM ∴DM=BM、3 ian68°251.2(m), CD=1.5m, .AB'=CM=CD+DM=1.5+1.2=2.7(m) (3)解：设小路的宽为m, 根据恩惠，得6-02-)-=×16x12. 整理，得x2-28x+96=0, ∴(x-4)(x-24)=0 =42=24 解得 (大于16，舍去)， 答：小路的宽为4m. 4.(1)这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直： 理由：：四边形ABCD是正方形， .AD=AB=DC,∠BAE=∠ADF=90°， .DE =CF, :AE=DF, △BAE≌△ADF(SAS) .BE=AF,∠DAF=∠ABE, 又，∠ABE+∠AEB=90°， .∠DAF+∠AEB=90°， .∠A0E=90°， 8/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AF⊥BE, ∴.这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直： 2) 如果另一端点P在花园边界BC上时，能修建成这样的一条直路，理由如下： 由(I)得AE=DF,BE=AF, ,AE=3米，AD=4米， .DF=3米，DC=4米，FC=1米， .AF2=AD2+DF2=42+32=25, AF=5, BE=5, 又：在RIAABE中有5E=BE,A0=)ABAE, 1 2 .5A0=4×3 :A0=2 5 ÷0F=AF-A0=5-213 55 ① OB 如果另一端点在路段上， 则在R△OPF中，PF>0F=1号>25 5 .此种情况不成立； ② P BC 如果另一端点在花园边界上时， 设PC=x,则在Rt△PFC中，有PF=PC+FC2=2+1=(2.5. :② 2 :P℃②i 2 9/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BP=BC-PC=4-T4-2-15 2 2 .能修建成这样的一条直路. 5.D 考点05一元二次方程实际应用 1.B 2.【详解】(1)解：设每月产量的增长率为x, 20001+x)2=2880 根据题意列方程得： x=0.2=20%x2=-2.2 解得 ,增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答：每月产量的增长率为20%： (2)解：设降价x元，每天总利润为元， 30-x) 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量 60+5刘)件， :y=(30-(60+5x)=-5r2+90x+1800=-5x-9y2+205 -5<0 ·当x=9时，取得最大值，最大值为2205， 答：该食品厂应降价9元，才能使利润最大，最大利润为2205元. 3.(1)解：设垂直于墙的一边长m, 则*(40-2x)=150 解得：=5、515 当x=5时，40-2x=30>25(不符合题意，舍去) 当x=15时，40-2x=10<25(符合题意) 三边长分别为：10ml5ml5m (2)解：设矩形围栏的面积为S. =x(40-2x)=-2(x-10)2+200 则有 当x=10时.S有最大值S=200 10117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当x=10时，40-2x=20<25(符合题意) 三边长分别为：20m、l0m、10m 4.D 5.c 6.(1)解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 60+10x件： (60+10x) 故答案为： (2)解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， (40-30-x)(60+10x)=630 根据题意可得： 整理可得：x2-4x+3=0. X1=1,x2=3 解得： 由于要让利于游客，x=1舍去， ∴.该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元 (3)解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则P=(40-30-x(60+10y =(10-x)(60+10x) =-10x2+40x+600 =-10(x-2)2+640 -10<0, “.当x=2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 7.(1)解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x, 由题意得，125(-x)2=80 解得x=0.2=20%或x=1.8(舍去)， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%： 11/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (100-m) (2)解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品 件， (125-25×2)m+80(100-m)≤7800 由题意得， .75m+8000-80m≤7800 解得m≥40」 .m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件. 8.解：根据题意得500(1+20%)0-}=486 解得=0.15=1.9 (不合理舍去)· 所以4,5月份两个月平均降价率为10%.即r=10%, 故答案为：10%. 9.B 10.B 品 考点06新定义题型、规律探究 1.B 3n2-n 2. ①③ 2 5 ③ 2 2 考点07二次函数与一元二次方程综合 1.①②④ 2.A /一年模孤练测园 1.c 2.C 12117 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.C 4.A 5.A 6.c 7.D 8.A 9.a-b=1 10.3 11.2026 12.2029 1 13.a>-8且a≠1 14.16 15, 5x3+5x2+5x+13 16.(1)解：设此玩具的进价是m元， 3600048000 根据题意，得50-m60-m' 解得m=20, 经检验，m=20是所列方程的解， 答：此玩具的进价是20元： (2)解：通过分析表中数据可以看出，该益智玩具日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 设该益智玩具的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=x+b, 将（60,20）(59,2) 代入，得： 60k+b=20 「k=-2 59k+b=22,解得：b=140, 答：该益智玩具的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2x+140: (③)解：该益智玩具的销售单价定为x元， 根据题意，得：（-2x+140(x-20)-20=600 13117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x1=30x2=60 解得： 当销售单价为60元时，日销售量为-2×60+140=20个， 当销售单价为30元时，日销售量为-2×30+140=80个， :20<80,且要尽量减少库存， ∴.应选择日销售量较大的方案。 .x=30 答：该益智玩具的销售单价定为30元. 17.(4)解：设8C为米，则CD=(24-米， x(24-x)=119 由题意得， 即x2-24x+119=0, =7x2=17 解得 当2=7时，24-x=17>10 符合题意： 当2=17时，24-x=7<10,不符合题意，舍去； .x=7, 答：菜园面积能为119平方米，此时x=7: (2)解：S=x(24-)=-2+24x=-(x-12}+144 ,点W距两侧院墙的距离分别为10米和5米， x>5 .24-x>10. 解得5<x<14, :S=-(x-12+14(5<x<14) :二次项系数1<0， ∴.抛物线的开口向下， 当x=12时，菜园面积S的值最大. 14117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2+(m-2)x+1-m=0 18.(1)解：原方程为一元二次方程，可化为 △=(m-2)2-4×1×(1-m) =m2-4m+4-4+4m =m2 无论m为何实数，m都是非负数.即△≥0. 原方程总有两个实数根. -(m-2)±m X=- (2)解：由(1)，原方程的根2. ∴.x=1或x=1-m. 若21-1-m）=3,则2-1+m=3, .m=2 若20-m）1=3.则2-2m-1=3. .∴.m=-1 综上，m的值为2或-1. (x-4)2=9 19.(1)解： .x-4=3, .x-4=3或x-4=-3, :=7专1 (2)解：x2-3x-1=0. 4=(-3)-4×1x(-)=9+4=13>0 :*店 2, 3+√13 3-√13 、2—63s3 2. 15117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.(1)解：设行车道宽度为x米， 根据图形和题意：竖直方向总高度关系：a+x+2a+x+a=30, 化简得2a+x=15,即x=15-2a, 三个停车区水平总长度为60-2x, 则0(60-2x)+2a(60-2x)+a(60-2x)=100 化简得a(60-2x)=250 将x=15-2a代入得： a(30+4a）=250 解得：a=5(负根舍去)， 则x=15-2×5=5, 停车区总水平长度为60-2x=50米， ,每个车位宽2.5米，故每排可停50÷2.5=20个车位： 总排数为1+2+1=4排，总车位数4×20=80个： (2)解：由题意，涨价x元后，每个车位收费12+)元，出租数量为(80-5x)个， 总金额： w=(12+x)(80-5x)=-5x2+20x+960 20 这是开口向下的二次函数，对称轴为=2X52,x为正整数， 故当x=2时：m=(12+2)x(80-10)=980 (3)解：收费为16元/天时，x=16-12=4,则原出租数量为80-5×4=60个，未出租数量为80-60=20 个， 未改装前全年最大总收入为980×365=357700元： 改装m个后，每天收入为16(60+m), 365×16(60+m)-5000m>357700 全年扣除改装费后总收入满足： 7300 化简得：m> ≈8.69 840 :m为正整数，且m≤20， 16117 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故m最小值为9. 17/17