9 函数的周期性讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数周期性核心考点，涵盖周期概念、最小正周期、基本结论及周期性与对称性的关系，按“概念辨析-结论推导-性质应用”逻辑架构知识，通过考点梳理（如周期结论证明）、方法指导（易错提醒）、真题训练（分层练习）环节，帮助学生构建系统知识网络，突破抽象函数性质应用难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，设计“结论推导-易错辨析-分层训练”教学活动，如结合双轴对称推导周期公式，设置单选、多选、填空分层练习。通过逻辑推理深化对周期性的理解，规范结论表述，助力学生提升抽象能力和推理意识，为教师精准把控复习节奏提供清晰教学框架。

9函数的周期性 1. 周期的概念 函数 定义域内任意的 ，存在一个不等于 0 的常数 ，使得 恒成立，则称 是周期函数， 是它的一个周期.一般 是 的周期，则 也是 的周期. 最小正周期： 若 为 的一个周期， 也是 的一个周期，在某些周期函数中，往往存在周期中最小的正数，称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数 .基本总结如下： 周期为 ， 周期为 ，，， 的周期情况？ (其中 且 互为质数) 的最小公倍数最小公倍数的求法：(各分子的最小公倍数) (各分母的最大公约数) 易错提醒： ① 比如 的周期是多少呢？答：，并不等于两者周期最小公倍数 . ② 复合函数的周期：主要看内层，内层函数如果不是周期函数，那么复合后一般都不是周期函数，例如 非周期函数！如果内层周期 ，那么复合后 一定是周期（即：若 为周期函数，则复合函数 也是周期函数），但未必是最小正周期，例如 周期是 （另外一个例子：外层是常值函数，直接没有最小正周期），就算外层函数周期也为 ，结论还是不变的，比如 最小正周期为 ，但 最小正周期却为 . 2. 关于周期的基本结论 (1) 周期 的函数抽象关系：；(2) 周期 的函数抽象关系有如下四个. (3) 若 ，或 ，则 是以 为周期的函数.【类比等差中项】 证明： ， (4) 常见的周期函数 ① 若对任何 都有 ()，则 是以 为周期的函数； ② 若对任何 都有 ()，则 是以 为周期的函数； ③ 若对任何 都有 ()，则 是以 为周期的函数； ④ 若对任何 都有 ()，则 是以 为周期的函数； ⑤ 若对任何 都有 ()，则 是以 为周期的函数. ⑥ 有时可由两个函数型不等式联立推出周期.如：由 得 ，. 证明 ①： 证明 ②： 证明 ⑤： 注意：当 无周期了！ (5) 周期性与对称性的关系： 若函数 具有：中心对称、轴对称、周期性中任意两个，则第三个也必然成立. 若 ， 或 ，则 （定义法）； 若 关于点 ， 对称，则 是周期函数，且 （双点）； 若 图象有两条对称轴 ， 则 是周期函数，且 （双轴）； 若 关于点 对称，且关于 对称， 则 是周期函数，且 （点轴）； 若函数 关于点 ， 对称，又关于 对称，则 具备周期性吗？定义法；点轴； 证明（点轴性质）： 由题得：，得：.不妨令 ，则 .具备周期性！周期为 . (6) 其它性质： 若 具有周期 ，且有一对称中心 ，则 所有对称中心可写作：， . 证明： ，所以 所有对称中心可写作： 对称， . 若 具有周期 ，且有一对称轴 ，则 所有对称轴可写作：. 证明： ，所以 所有对称轴可写作：. (7) 若函数 满足： 存在周期性和对称性，则我们可以用如下简图将抽象问题简单化. 给到单调性的描述时，根据单调性选用图象，没有关于单调性的描述，则任选一副图象即可. 若 是奇函数且有对称性、周期性中的一个结论成立，则选用以下图象分析问题： 若 在区间 或 或 ...上有单调性或者特定解析式时，有：① 的对称轴为：.② 的对称中心为：.③ 的周期为：. 若 是偶函数且有对称性、周期性中的一个结论成立，可以用如下图象进行问题分析： 若 在区间 或 或 ...上有单调性或者特定解析式时，有：① 的对称轴为：.② 的对称中心为：.③ 的周期为：. 巩固练习 一、单选题 1．已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（     ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 4．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 5．已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 6．若函数在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（   ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一二象限，则一定不经过三四象限且一定不具有周期性 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 7．设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 下列选项中正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 8．已知函数，的定义域均为，且 ， ．若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（   ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 12．已知定义在上的函数和满足，，若是偶函数，且，则（     ） A．34 B．36 C．38 D．40 13．已知函数及其导函数的定义域为，记．若、均为奇函数，当时，，且，则（    ） A．3 B．－1 C．－5 D．7 14．已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 15．已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（　　） A．函数是奇函数 B．函数的图象关于轴对称 C．函数是最小正周期为2的周期函数 D．若函数满足，则 16．已知函数和都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意，都有（m为常数），则（    ） A． B．在上是增函数 C． D．函数是周期函数 17．已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．关于对称 18．已知函数的定义域为，为的导函数，对任意，均有，且，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D． 19．已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 20．已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 21．已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 三、填空题 22．定义在上的函数满足，当时，，则当时，的最小值为___________. 23．已知 是定义在上的周期函数，其最小正周期为5，设，若在区间上共有26个零点，则在区间上的零点个数为_____. 24．已知函数的定义域是，，，当时，，则________. 25．已知函数满足，且是偶函数，当时，.若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围为________. 26．已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则________． 27．已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 9函数的周期性 1. 周期的概念 函数 定义域内任意的 ，存在一个不等于 0 的常数 ，使得 恒成立，则称 是周期函数， 是它的一个周期.一般 是 的周期，则 也是 的周期. 最小正周期： 若 为 的一个周期， 也是 的一个周期，在某些周期函数中，往往存在周期中最小的正数，称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数 .基本总结如下： 周期为 ， 周期为 ，，， 的周期情况？ (其中 且 互为质数) 的最小公倍数最小公倍数的求法：(各分子的最小公倍数) (各分母的最大公约数) 易错提醒： ① 比如 的周期是多少呢？答：，并不等于两者周期最小公倍数 . ② 复合函数的周期：主要看内层，内层函数如果不是周期函数，那么复合后一般都不是周期函数，例如 非周期函数！如果内层周期 ，那么复合后 一定是周期（即：若 为周期函数，则复合函数 也是周期函数），但未必是最小正周期，例如 周期是 （另外一个例子：外层是常值函数，直接没有最小正周期），就算外层函数周期也为 ，结论还是不变的，比如 最小正周期为 ，但 最小正周期却为 . 2. 关于周期的基本结论 (1) 周期 的函数抽象关系：；(2) 周期 的函数抽象关系有如下四个. (3) 若 ，或 ，则 是以 为周期的函数.【类比等差中项】 证明： ， (4) 常见的周期函数 ① 若对任何 都有 ()，则 是以 为周期的函数； ② 若对任何 都有 ()，则 是以 为周期的函数； ③ 若对任何 都有 ()，则 是以 为周期的函数； ④ 若对任何 都有 ()，则 是以 为周期的函数； ⑤ 若对任何 都有 ()，则 是以 为周期的函数. ⑥ 有时可由两个函数型不等式联立推出周期.如：由 得 ，. 证明 ①： 证明 ②： 证明 ⑤： 注意：当 无周期了！ (5) 周期性与对称性的关系： 若函数 具有：中心对称、轴对称、周期性中任意两个，则第三个也必然成立. 若 ， 或 ，则 （定义法）； 若 关于点 ， 对称，则 是周期函数，且 （双点）； 若 图象有两条对称轴 ， 则 是周期函数，且 （双轴）； 若 关于点 对称，且关于 对称， 则 是周期函数，且 （点轴）； 若函数 关于点 ， 对称，又关于 对称，则 具备周期性吗？定义法；点轴； 证明（点轴性质）： 由题得：，得：.不妨令 ，则 .具备周期性！周期为 . (6) 其它性质： 若 具有周期 ，且有一对称中心 ，则 所有对称中心可写作：， . 证明： ，所以 所有对称中心可写作： 对称， . 若 具有周期 ，且有一对称轴 ，则 所有对称轴可写作：. 证明： ，所以 所有对称轴可写作：. (7) 若函数 满足： 存在周期性和对称性，则我们可以用如下简图将抽象问题简单化. 给到单调性的描述时，根据单调性选用图象，没有关于单调性的描述，则任选一副图象即可. 若 是奇函数且有对称性、周期性中的一个结论成立，则选用以下图象分析问题： 若 在区间 或 或 ...上有单调性或者特定解析式时，有：① 的对称轴为：.② 的对称中心为：.③ 的周期为：. 若 是偶函数且有对称性、周期性中的一个结论成立，可以用如下图象进行问题分析： 若 在区间 或 或 ...上有单调性或者特定解析式时，有：① 的对称轴为：.② 的对称中心为：.③ 的周期为：. 巩固练习 一、单选题 1．已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】首先根据偶函数的定义推导的关系式，对关系式两边求导得到满足的奇偶性相关等式；再结合导函数的轴对称条件推导的周期，最后利用周期与特殊点的导数值计算即可. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即， 两边求导，可得：，可得． 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替，可得. 将代入中，可得①． 用代替可得②． 由②-①可得：. 所以是周期为8的周期函数. 所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得，所以，即．故选C． 【点睛】方法归纳：本题为函数性质综合应用的典型题型，可记忆通用结论：可导偶函数的导函数为奇函数，可导奇函数的导函数为偶函数；若函数满足，则函数图象关于直线对称；若函数同时满足对称性与奇偶性，可推导得到函数的周期，利用周期可将大自变量的函数值转化为已知的小自变量函数值求解. 2．已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据为奇函数，确定的图象关于中心对称，根据复合函数求导确定的图象关于轴对称，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】是奇函数，所以， 即， 且，又，所以， 因为，即， 即，令，得， 即， 即，则关于直线对称， 可得， 可得 则，故函数是周期为4的函数， ， 所以 3．已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】先令、、得出为奇函数，再根据为偶函数，得出是以为周期的函数，结合得出即可求出. 【详解】令，则，得； 令，则，即 ， 令，则， 若，则； 若，则，则，则为奇函数， 因为为偶函数，所以，则， 则， 因为为奇函数，所以， 可得，则是以为周期的函数． 因为，所以，则． 由得，则， 得， 故． 4．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【分析】根据条件结合赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出的值，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 5．已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 6．若函数在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（   ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一二象限，则一定不经过三四象限且一定不具有周期性 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】首先利用导数的知识求出的表达式，然后结合表达式判断两个命题的真假. 【详解】为“级导同函数”，即， 若，则，满足， 若，则，，(其中是常数)， 所以（其中为常数），， 所以或. 命题①，充分性：为偶函数， 若，则，既不是奇函数，也不是偶函数， 所以若为偶函数，则必有，而是奇函数，充分性满足； 必要性：为奇函数，无奇偶性，则，因此是偶函数，必要性满足. 所以命题①正确； 命题②，若经过一二象限，则， 由于且，故恒为正，其图像只经过第一、二象限； 同时，当时，为单调函数，故不具有周期性，所以命题②正确. 7．设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 下列选项中正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【详解】对于①，取，，则， 因为和的正周期分别为和， 而是无理数，则有，所以不是周期函数，①错误； 对于②，若，其中，， 可得； 若，其中，即， 整理得，令， 则，则，其中，下证恒成立. 假设存在，，考虑 ， 因为，所以当足够大时，有， 这与矛盾， 所以即恒成立，故函数存在正整数周期，②正确， 综上，①是假命题，②是真命题． 8．已知函数，的定义域均为，且 ， ．若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象关于直线对称的性质，推导的对称性表达式，判断A；联立已知的两个含和的等式，通过变量替换消去相关项，推导的递推关系，判断B；代入特殊值到已知等式中，结合的条件，计算，判断C；根据的递推关系确定其周期，计算一个周期内的和，再计算26项的总和，判断D. 【详解】  ①，  ②， 关于对称，故  ③， 从②式换元得，代入①式得：， 代入③式的，得： ， 换元得：  ④，再将 得，联立得，即周期为4， 对应也满足，周期也为4. 选项A：即，但由式④， 得，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，由得， ，故C错误； 选项D：由得，又，故，解得，，， ，. 一个周期和为：，从到共6个完整周期（24项）， 剩余，，总和为： ， 故D正确. 9．已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定信息，确定函数的周期，再求出在上的解析式及单调性，再逐项分析判断. 【详解】函数是定义域为R的奇函数，由，得， 即， 则，函数周期为4. 当时，，则， 因此当时，，函数在上单调递增. 对于AB，，而， 则，因此，AB错误； 对于C，， 而，因此，C错误； 对于D，， 而，因此，D正确. 10．已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】运用函数奇偶性及对称性可得函数的周期性，并通过赋值法求得，由此可求得. 【详解】由，得， 即，所以函数关于直线对称， 所以，且. 又，所以，且，. 所以， 所以是周期为的函数，所以. 11．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（   ） A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【分析】利用题干条件得到和是周期为4的周期函数，再利用是奇函数，得到为偶函数，最后求出函数和在一个周期内的函数值，进而利用周期求出和的值. 【详解】因为，所以， 又，则有，因为是奇函数，所以， 可得，即，所以， 所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数， 因为是奇函数，所以， 将替换为可得，又， 所以，所以为偶函数，故A错误； 由是奇函数，则，所以，又， 所以，所以C选项错误； 由，得，所以B选项错误； 因为，， 所以， 所以，所以D选项正确． 12．已知定义在上的函数和满足，，若是偶函数，且，则（     ） A．34 B．36 C．38 D．40 【答案】C 【分析】利用递推关系式及函数的奇偶性得出的周期，再由赋值法求的值即可. 【详解】因为是偶函数，， 所以，所以， 又，两式相减可得， 所以可得，两式相减可得， 即，所以函数的周期， 由，令，可得，所以， 由，令，可得，所以， 由，令，可得， 由，令，可得，两式相减可得， 由，令，可得， 故一个周期中， 所以. 13．已知函数及其导函数的定义域为，记．若、均为奇函数，当时，，且，则（    ） A．3 B．－1 C．－5 D．7 【答案】A 【分析】由、为奇函数及得到、及，进而函数的周期为4，再根据时，结合求得的值，再根据周期性求解即可. 【详解】因为为奇函数， 所以， 所以，即， 因为为奇函数， 所以，， 所以， 所以为周期函数，周期为4， 因为时，， 所以 因为， 所以 故. 14．已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 二、多选题 15．已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（　　） A．函数是奇函数 B．函数的图象关于轴对称 C．函数是最小正周期为2的周期函数 D．若函数满足，则 【答案】ABD 【分析】根据抽象函数的对称性，以及条件的变形，结合函数奇偶性和周期性的定义即可判断ABC；首先判断函数的周期性，再利用周期性和函数的性质，即可求解. 【详解】对于A：因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B：因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以函数为偶函数，故B正确； 对于C：由B可得，所以，所以函数是最小正周期为4的周期函数，故C错误； 对于D：因为, ,又因为 ， 所以，所以是最小正周期为4的函数， 因为，，所以，. 所以 所以，故D正确. 16．已知函数和都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意，都有（m为常数），则（    ） A． B．在上是增函数 C． D．函数是周期函数 【答案】ABD 【分析】根据条件得到，由于任意，都有，则（为常数），即，结合，则，因为 是定义在上的奇函数，且为单调函数，所以，再依次分析即可 【详解】对于A项，因为函数和都是定义在上的奇函数， 所以， 由于任意，都有（m为常数）， 令，得，即，则，故A正确； 对于B项，因为为单调函数，且对任意，都有（m为常数）， 所以（为常数），即， 因为，所以，则在上是增函数，故B正确； 对于C项，因为 ，且为单调函数 所以， 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递减，则，故C错误； 对于D项，是常数函数，根据周期函数的定义，任意非零实数均为周期，所以为周期函数，故D 正确. 17．已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．关于对称 【答案】ACD 【分析】先赋值求出并利用舍去，得判定A正确；再令推出，知函数为偶函数，C正确；令得到递推式，递推推出周期为6，算出一个周期内函数值和为0，由求出前2026项和为，故B错误；利用周期推论与偶函数性质，验证得函数关于中心对称，D正确. 【详解】方法一: 对于A,令,得，整理得，故或. 若，令，则，即恒成立，这与矛盾，故，A正确； 对于C，令，因，则，即，故是偶函数，C正确. 对于B，令，则，即. 由此递推：， 则， 于是，故的一个周期为. 又，，， ，， ，， 则 因， 故,B错误. 对于D，由C项知，则，又是偶函数，有， 即，而， 故，即，故关于对称，D正确. 方法二:令函数,由余弦型函数的性质可判断ACD均正确, 函数最小正周期,与方法一同理计算可知 18．已知函数的定义域为，为的导函数，对任意，均有，且，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D． 【答案】BD 【分析】通过对给定的抽象函数等式进行赋值，结合导数的运算法则和函数的性质来逐一分析选项. 【详解】 令，可得，又，. 令，可得，解得，A选项错误. 令，得，，说明是奇函数，关于对称. 而的图象是由的图象向右平移一个单位得到的，的图象关于点对称，B选项正确. 令，则，的图象关于对称，故是周期函数，且周期. ，D选项正确. 取，，，，. ，，，，C选项错误. 19．已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为偶函数，得. 对作变量代换，得，因此，. 将代入上式，得， 结合，得， 进而，，即的最小正周期为； 由，可得的最小正周期也为. 对于选项A：由，令，得，故A错误. 对于选项B：由，令，得，故B正确. 对于选项C：由，令，得，故C正确. 对于选项D：由周期为，得，故D正确. 20．已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 【答案】BCD 【分析】由题设易得，即可判断A；由直线是对称轴可得，进而得到，即可判断B；先根据周期性可得，再利用赋值法求解判断C；由易得，再求出，进而求解判断D. 【详解】依题意，，则， 即，故的周期，故A错误； 已知直线是对称轴，则， 而，则， 故为的图象的一条对称轴，故B正确； 由，则， 令，可得，则， 由，令，可得，故C正确； 由 ， 所以， 已知，而，则， 则，故D正确． 21．已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BCD 【分析】令可得，再由为奇函数可得，令可得，令，可得，可判断A；令，可得，可判断B；由，可得，从而，可判断C；计算、、、、和的值，结合函数的周期性计算可判断D. 【详解】由， 令，得，即，， 由为奇函数，可得， 即，即， 所以函数关于点对称，令可得， 令，得，可得，故A错误； 令，可得，即， 则，所以，或， 当 时，， 当时，用替换得 ，所以 ，解得 ，满足， 所以，，即，则为偶函数，故B正确； 由，，可得，即， 所以，则是以6为周期的周期函数，则，故C正确； 由，，，，为偶函数，是以6为周期的周期函数，可得 ，，，， 所以，故D正确. 三、填空题 22．定义在上的函数满足，当时，，则当时，的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】结合题意分段求出函数的解析式，然后利用函数性质求解最小值即可. 【详解】当时，， 此时二次函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，； 当时，，则， 又，所以， 即时，， 该二次函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，； 当时，，则， 又，所以， 即时，， 该二次函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，； 综上所述，时，的最小值为. 23．已知 是定义在上的周期函数，其最小正周期为5，设，若在区间上共有26个零点，则在区间上的零点个数为_____. 【答案】10 【分析】先根据与的关系，将在区间内的零点问题转化为在区间内的零点问题，再结合周期内零点个数的关系建立方程求解，最后计算在区间内的零点个数. 【详解】令，则，当时，，所以在区间内的零点个数即为在区间内的零点个数． 设在一个周期内的零点个数为，在内的零点个数为，则在内有个零点． 因为，由已知，．又，则． 因为在内有个零点，在内有2个零点，所以在区间内有10个零点． 24．已知函数的定义域是，，，当时，，则________. 【答案】0 【详解】由得：， 又，， ，， . 25．已知函数满足，且是偶函数，当时，.若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据函数的性质作出函数简图，把零点个数转化为图象交点问题，结合交点个数可求答案. 【详解】依题意得，即函数是以2为周期的函数. 在区间内有4个零点，即函数与的图像在区间内有4个不同的交点. 在坐标平面内画出函数的图像（如图所示），注意直线恒过点， 可知当时，相应的直线与函数在区间内有4个不同的交点，故实数的取值范围是.    26．已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则________． 【答案】3 【分析】通过对称的转化以及特殊值代入求出函数周期求解. 【详解】因关于直线对称，可得关于直线对称，即是偶函数，. 将代入中，，得到，因此， 那么，即的周期为8. . 27．已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 【答案】2 【分析】根据函数的对称性以及奇偶性求出函数的周期，再求解即可. 【详解】由是偶函数，可知是偶函数，则的图像关于直线对称. 由，可知的图象关于点对称，可得 故是的周期. 由，可得，，因此. 学科网（北京）股份有限公司 $