11.3.2 两数和（差）的平方-（教学课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过计算具体式子观察规律，结合多项式乘法推导公式，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解公式来源及前后知识联系。 其亮点在于运用口诀记忆、对比表格强化公式结构，结合易错点总结和情境应用题，培养学生运算能力与模型意识。如简便运算102²、利用变形公式求代数式值，助力学生掌握应用，教师可高效开展教学。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 11.3.2 两数和（差）的平方 第十一章 整式的乘除 11.3.2 两数和（差）的平方（完全平方公式）同步练习题（适配八上，统一题型格式） 一、核心知识点 1. 完全平方和公式（必考） 文字：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的2倍。 公式：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ 2. 完全平方差公式（必考） 文字：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的2倍。 公式：$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ 3. 万能记忆口诀 首平方，尾平方，首尾两倍放中央；同号得正，异号得负 4. 公式结构特征 ① 左边：两个相同二项式相乘（和或差的平方）； ② 右边：三项式，首、尾项恒为正，中间项符号与原式一致； ③ 绝对区别于平方差公式：完全平方展开三项，平方差展开两项。 5. 高频常用变形公式 $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$ $$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$$ $$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$$ 二、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 计算$$(x+3)^2$$的结果是（） A. $$x^2+9$$ B. $$x^2+3x+9$$ C. $$x^2+6x+9$$ D. $$x^2-6x+9$$ 2. 计算$$(2a-1)^2$$的结果正确的是（） A. $$4a^2-1$$ B. $$4a^2-4a+1$$ C. $$4a^2+4a+1$$ D. $$2a^2-2a+1$$ 3. 若$$(x+m)^2=x^2-8x+16$$，则$$m$$的值为（） A. 4 B. -4 C. 8 D. -8 4. 下列式子计算结果为$$a^2-2ab+b^2$$的是（） A. $$(a+b)^2$$ B.$$(a-b)^2$$ C. $$(a+b)(a-b)$$ D. $$(a-2b)^2$$ 5. 已知$$x+y=5，xy=6$$，则$$x^2+y^2$$的值为（） A. 13 B. 19 C. 25 D. 37 三、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. $$(x+4)^2=$$________；$$(x-5)^2=$$________ 2. $$(3a+2b)^2=$$________ 3. $$(4m-n)^2=$$________ 4. $$x^2+6x+$$________$$=(x+3)^2$$ 5. $$a^2-10a+$$________$$=(a-$$________$$)^2$$ 6. 已知$$a-b=3，ab=2$$，则$$a^2+b^2=$$________ 四、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 直接利用完全平方公式计算： (1) $$(a+6)^2$$ (2) $$(5x-2y)^2$$ (3) $$\left(\dfrac{1}{3}m+3n\right)^2$$ 2. 简便运算（凑整完全平方）： (1) $$102^2$$ (2) $$99^2$$ 3. 整式混合化简（平方差+完全平方综合）： (1) $$(x+2)^2-(x+1)(x-1)$$ (2) $$(2a-3)^2-4a(a+1)$$ 4. 公式辨析：区分$$(a-b)^2$$与$$a^2-b^2$$的本质区别。 五、综合应用题（共 20 分） 1. 先化简，再求值：$$(x-2)^2+(x+3)(x-3)$$，其中$$x=-1$$。（10 分） 2. 已知$$a+b=4$$，$$ab=3$$，求$$(a-b)^2$$的值。（10 分） --- 参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 二、填空题 1. $$x^2+8x+16$$；$$x^2-10x+25$$ 2. $$9a^2+12ab+4b^2$$ 3. $$16m^2-8mn+n^2$$ 4. $$9$$ 5.$$25$$；$$5$$ 6. $$13$$ 三、解答题 1. 解： (1) 原式$$=a^2+12a+36$$ (2) 原式$$=(5x)^2-2\cdot5x\cdot2y+(2y)^2=25x^2-20xy+4y^2$$ (3) 原式$$=\left(\dfrac{1}{3}m\right)^2+2\cdot\dfrac{1}{3}m\cdot3n+(3n)^2=\dfrac{1}{9}m^2+2mn+9n^2$$ 2. 解： (1) 原式$$=(100+2)^2=100^2+2\times100\times2+2^2=10000+400+4=10404$$ (2) 原式$$=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=10000-200+1=9801$$ 3. 解： (1) 原式$$=x^2+4x+4-(x^2-1)=x^2+4x+4-x^2+1=4x+5$$ (2) 原式$$=4a^2-12a+9-4a^2-4a=-16a+9$$ 4. 答： $$(a-b)^2$$是两数差的平方，属于完全平方公式，展开为三项：$$a^2-2ab+b^2$$； $$a^2-b^2$$是平方差公式，由$$(a+b)(a-b)$$展开得到，为两项式； 二者公式来源、结构、展开项数均不同，绝对不能混淆、互换。 四、综合应用题 1. 解： 原式$$=x^2-4x+4+x^2-9=2x^2-4x-5$$ 当$$x=-1$$时， 原式$$=2\times(-1)^2-4\times(-1)-5=2+4-5=1$$ 答：代数式的值为$$1$$。 2. 解： $$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$$ 代入得：原式$$=4^2-4\times3=16-12=4$$ 答：$$(a-b)^2=4$$。 本节易错点总结 1. 最经典错误：$$(a\pm b)^2 eq a^2\pm b^2$$，完全平方展开必须有中间2ab项，漏写中间项是最高频扣分点。 2. 平方漏括号：系数、多项式整体要完整平方，如$$(2x)^2=4x^2$$，不能算成$$2x^2$$。 3. 符号误区：完全平方差公式首尾项依然为正，只有中间项是负号，首尾永远为正。 4. 公式混淆：完全平方得三项，平方差得两项，做题先判断公式类型。 5. 配方法易错：凑完全平方时，常数项是一次项系数一半的平方。 6. 变形公式不会用：已知和、积求平方和，必须熟练套用变形公式，避免硬解方程。 新知探究 计算以下各组式子的值，观察规律： ①(1+2)2与12+2×1×2+22 ②(x+3)2与x2+2×x×3+32 ③(2a-1)2与(2a)2-2×2a×1+12 关键提问： 等式左右两边是否相同？（可以用多项式与多项式乘法） 你能从特例中归纳出（a±b）2的展开式吗？ 利用多项式乘多项式展开计算验证 新知探究 代数推导（多项式乘法） 1.和的平方 （a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 2.差的平方 （a-b）2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 ①为什么中间项是2ab而不是ab？ ②比较（a+b）2和（a-b）2的异同，符号规律是什么？ 逻辑验证 思考 新知探究 口诀： “首平方，尾平方，首尾二倍方中央” 符号法则：同号加二倍，异号减二倍。 对比记忆： 公式结构化记忆 类型 公式展开 关键点 和的平方 （a+b）2=a2+2ab+b2 中间项为+2ab 差的平方 （a-b）2=a2-2ab+b2 中间项为-2ab 易错警示： ①漏掉“二倍”项（如写成a2+ab+b2） ②符号错误（如（a-b）2误为a2-b2） 典例分析 例1 计算： （1）（2y+3）2； （2）（-a+2b）2； （3）x（x-2y）+（x+y）2 原式=（2y）2+2×2y×3+32=4y2+12y+9 原式=（-a）2+2×（-a）×2b+（2b）2 =a2-ab+4b2 原式=x2-2xy+x2+2xy+y2=2x2+y2 典例分析 例2 已知下列算式：①(a3)3=a6；②2m·3n=6m+n；③-a2·(-a)3=a5；④(b-a)2=a2-b2+2ab．其中计算结果正确的有（      ） A .3个 B . 2个 C . 1个 D . 0个 C 根据幂的乘方(a3)3=a9，故①错误 (b-a)2=a2+b2-2ab，故④错误 不是同底数幂，指数也不相同，故②错误 典例分析 例3 已知x2+y2=20，xy=2，则x-y的值为_______． ±14 本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值，由（x-y）2=x2+y2-2xy，可得：（x-y）2=16，即可求得结果为±4 解：（x-y）2=x2+y2-2xy ∵x2+y2=20，xy=2， ∴（x-y）2=20-2×2=16 ∵（±4）2=16 ∴x-y=±14 典例分析 例4 乘法公式可以帮助我们对数进行简便运算，请用你学过的公式完成题目． (1)1002-99×11； (2)（9）2 将99化为（100-1），将101化为（100+1），正好构造成平方差公式，再利用公式计算即可 将原式变为（10-）2.利用完全平方公式展开计算 解：（1）1002-99×101 =1002-（100-1）×（100+1） =1002-1002+1 =1 解：（2）（9）2 =（10-）2 =102-2×10×+（）2 =98 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.下列计算正确的是( ). A.(a +b)2 = a2 + b2 B.(x +y)2 = x2 + xy +y2 C.(5a + 2b)2 = 25a2 + 4b2 + 20ab D.(3m+2m)2 =3m2+6mn+2n2 C 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2. 计算: (1)(2m + 3)2=__________________; (2)(3m - 5)2=_________________; (3)(0.1x2 - 4y2 )2=_________________________; (4)(－2m－1)2=________________. 4m2+12m+9 9m2-30m+25 4m2+4m+1. 0.01x2-0.8x2y2+16y2 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是( ). A. (a - b)(a +b)=a2 - b2 B. 4ab = (a + b)2 - (a -b)2 C. (a -b)2 = a2- 2ab + b2 D. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 C 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4. 先化简，再求值： （x-2y）2 - 2x（x - 2y），其中x=1，y=4. 解：（x-2y）2 - 2x（x - 2y） =x2 - 4xy +4y2- 2x2+4xy =-x2 +4y2, 当x=1，y=4时，原式=-12 + 4×42 =63. 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5. 已知a - b = 3，ab =10，则a2 + b2 =( ). A.13 B.23 C.29 D.26 C 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6. 若(3x - 2y)2 + (3x + 2y)2 = 2A，则 代数式A=_____________. 9x2+4y2 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.下面是小李同学数学计算本上一道题的解答过程.请认真阅读并完成相应任务. (x-2y)2-x(x- 2y +1) =x2 - 4xy +4y2-x(x-2y+1)…第一步 =x2- 4xy +4y2-x2+2xy …第二步 =4y2- 2xy… 第三步. 任务一： 第一步中用到的乘法公式是________________________； (a - b)2=a2 - 2ab+ b2 随堂练习 15 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.任务二： 第____步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务三： 请求出该题的正确运算结果. 二 漏乘 解：原式=x2 - 4xy +4y2- x(x - 2y+1) =x2 - 4xy +4y2- x2 + 2xy - x =4y2 - 2xy - x. 随堂练习 16 1. 如果 是一个完全平方式，则 的值是( ) C A. 3 B. 9 C. 6或 D. 两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解. 返回 中考考法 17 （第2题） 2. 如图，由图形的面积关系能够直观说明 的代数恒等式是( ) C A. B. C. D. 3.若，则代数式 为______. 返回 中考考法 18 4. 已知，，则 ____. 29 【点拨】， ， . 返回 中考考法 19 5. 小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸 上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是 ， 请在横线上填入恰当的式子，使等式成立：_____ ____ （_______________________） .（写出一种即可） （答案不唯一） 返回 中考考法 20 （第6题） 6. 10月1日，太原 五一广场举行庄严的升国旗仪式. 如图是一块长为 ，宽 为 的长方形地块，在其 中心是一个边长为 的正 方形升旗台，则图中阴影部分的 面积为_____________. （用含, 的代数式表示） 返回 中考考法 21 两个数的和（差）的平方公式 课堂小结 和的平方：（a+b）2=a2+2ab+b2 差的平方：（a-b）2=a2-2ab+b2 结构规律 ①首平方（a2）+尾平方（b2）±中间项（2ab，符号与括号内保持一致） ②口诀：首平方，尾平方，二倍在中央 $