11.5 第3课时运用两数和（差）的平方分解因式（导学案）2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦运用两数和（差）的平方分解因式，通过温故知新回顾整式乘法完全平方公式及因式分解顺序，以思考探究引导学生从乘法逆推因式分解，搭建前后知识的学习支架。 导学案通过探究活动层层突破完全平方式结构特征与解题步骤，典例涵盖基础、含系数、整体换元等类型，练习分层次且设易错辨析，培养学生抽象能力、推理意识和模型意识，助力规范解题与自主学习，提升因式分解能力。

第3课时 运用两数和（差）的平方分解因式 《运用两数和（差）的平方分解因式》导学案 教材版本：华东师大版八年级上册 课时：1课时 一、学习目标 1. 知识目标：理解完全平方公式因式分解的推导原理，熟记两个完全平方因式分解公式，精准区分完全平方公式与平方差公式的结构差异。 2. 能力目标：熟练识别完全平方式的结构特征，掌握“先提公因式、再套完全平方公式”的综合分解方法，能规范、彻底地分解因式。 3. 素养目标：延续整式乘法与因式分解的互逆思维，培养观察判断、归纳建模的数学能力，养成分解彻底、步骤规范的解题习惯。 二、学习重难点 重点：掌握完全平方式的结构特征，熟练运用完全平方公式进行因式分解。 难点：准确识别隐蔽的完全平方式，处理含系数、负号、整体换元的复杂题型，严格遵循分解顺序，保证分解彻底。 三、课前预习（温故知新） 1. 整式乘法完全平方公式：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$、$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$。 2. 因式分解核心顺序：先提公因式，再套用公式，最后检查是否分解彻底。 3. 平方差公式回顾：适用于二项式、异号、平方型多项式分解。 4. 思考探究：根据整式乘法与因式分解的互逆关系，如何将 $$x^2+6x+9$$、$$x^2-4x+4$$ 化为整式乘积的形式？式子有什么结构特点？ 四、课堂探究（新知突破） 探究1：完全平方因式分解公式推导 将整式乘法的完全平方公式逆向变形，得到因式分解的核心公式： $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$ $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ 文字归纳：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。 探究2：完全平方式核心结构特征（必考） 1. 项数要求：必须是二次三项式； 2. 首尾项特征：首尾两项是两个数（或整式）的平方，且符号同为正； 3. 中间项特征：中间项是首尾两个底数乘积的2倍，符号可正可负； 4. 核心口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央，同正中间两倍项，和方差方看中央。 备注：公式中$$a$$、$$b$$可以是数字、字母、单项式，也可以是多项式整体。 探究3：因式分解通用解题步骤 1. 一提：优先观察多项式，提取所有公因式，化简原式； 2. 二判：判断化简后的式子是否为完全平方式； 3. 三套：找准首尾底数、判断中间符号，套用完全平方公式分解； 4. 四查：检查结果是否分解彻底，无剩余可分解因式。 探究4：高频易错点突破 1. 结构误判：首尾项异号、缺少中间两倍项、不是平方项，均不是完全平方式； 2. 系数误区：首尾平方项含系数时，需整体找底数，如$$4x^2=(2x)^2$$，不可遗漏系数平方； 3. 符号误区：首尾项必须同为正，中间项符号决定是和的平方还是差的平方； 4. 步骤误区：有公因式不提取直接套公式，导致分解不彻底。 五、典例精讲 例1 基础完全平方式分解 （1）$$x^2+8x+16$$ （2）$$x^2-10x+25$$ 解析：识别首尾平方项，核对中间两倍项，判断符号直接套公式。 （1）原式$$=x^2+2\cdot x\cdot4+4^2=(x+4)^2$$ （2）原式$$=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2=(x-5)^2$$ 例2 含系数的完全平方式分解 分解因式：$$4a^2-12ab+9b^2$$ 解析：将$$4a^2$$、$$9b^2$$化为整体平方，找准底数$$2a$$和$$3b$$。 原式$$=(2a)^2-2\cdot2a\cdot3b+(3b)^2=(2a-3b)^2$$ 例3 先提公因式，再套公式 分解因式：$$2x^2-12x+18$$ 解析：先提取公因式2，化简后再判断完全平方式。 原式$$=2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$$ 例4 整体换元分解 分解因式：$$(x+y)^2+4(x+y)+4$$ 解析：将$$x+y$$看作整体底数，套用完全平方和公式。 原式$$=(x+y)^2+2\cdot(x+y)\cdot2+2^2=(x+y+2)^2$$ 六、课堂练习 1. 基础分解（直接套公式）： （1）$$x^2+6x+9$$ （2）$$m^2-12m+36$$ （3）$$9x^2+6x+1$$ 2. 进阶分解（先提公因式再公式）： （1）$$3a^2-24a+48$$ （2）$$-x^2+4xy-4y^2$$ 3. 判断正误并改正： （1）$$x^2+4x+4=(x+2)^2$$（） （2）$$4x^2-4x+1=(2x+1)^2$$（） 七、课堂小结 1. 两大核心公式：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$、$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$。 2. 判定关键：三项式、首尾正平方、中间两倍积，满足即为完全平方式。 3. 解题核心：先提公因式，再套平方公式，区分平方差（二项）与完全平方（三项）。 八、课后作业 1. 基础题：完成教材对应课后习题，熟练掌握完全平方公式因式分解基础运算。 2. 提升题：分解因式 $$(a-b)^2-8(a-b)+16$$，巩固整体换元的综合分解技巧。 自主学习 一、知识链接 填一填：（1）（x+1）2=___________；（2）（2a-3）2=___________． 二、新知预习 试一试：观察以上计算结果，分解下列因式： （1）x2+2x+1=___________；（2）4a2－12a+9=___________． 合作探究 一、探究过程 探究点1：完全平方式 问题1：在整式乘法中我们学过完全平方公式，请写出完全平方公式. 问题2：观察完全平方公式右边的式子，它们有什么特点？ 【要点归纳】把a²+______+b²和a²-______+b²这样的式子叫做完全平方式. 例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 【方法总结】本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免错解、漏解． 【针对训练】 1.下列式子中为完全平方式的是( ) A．a2＋b2 B．a2＋2a C．a2－2ab－b2 D．a2＋4a＋4 2.若x2＋mx＋16是完全平方式，则m的值是________． 探究点2：用完全平方公式进行因式分解 问题1：根据“填一填”“试一试”中的式子，你能写出下列式子分解因式后的结果吗？ 解：a2＋2ab＋b2＝________； a2－2ab＋b2＝________. 【要点归纳】两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 倍，等于这两个数的和(或差)的平方，即为用完全平方公式分解因式的依据. 例2 分解因式： (1)m2－6m＋9； (2)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9. 【针对训练】分解因式：－3x2＋24x－48. 问题2：近两节课中，我们学习了“运用平方差公式分解因式”“运用完全平方公式分解因式”，从名称来看，你能给它们取一个共同的名字吗？ 【要点归纳】利用公式（如__________，__________等）把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 例3 因式分解：(a2＋4)2－16a2. 例4 简便计算. (1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 【方法总结】在较为复杂的有理数运算中，通常要先观察式子的特征，利用因式分解将其变形，转化为较为简单的运算. 例5已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值． 【方法总结】此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质求出未知数的值，然后代入，即可得到所求代数式的值． 【针对训练】已知|x y﹣4|+（x﹣2y﹣2）2＝0，求x2+4xy+4y2的值． 二、课堂小结 因式分解 方法 提公因式法 公式法 平方差公式 完全平方公式 公式 ma+mb+mc=__________ a2-b2=__________ a2±2ab+b2=________ 步骤 1. 提：提____________________;2.套：套_____________________; 3.检查：检查______________________________________________. 易错题型 1.提公因式时易出现漏项、丢系数或符号错误；2.因式分解不彻底. 当堂检测 1.下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 2.分解因式x3y﹣2x2y2+xy3正确的是（　　） A．xy（x+y）2 B．xy（x2﹣2xy+y2） C．xy（x2+2xy﹣y2） D．xy（x﹣y）2 3.填空： (1)x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² (2)a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 4.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是_______． 5.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为_______. 6.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4xy2－4x2y－y3； (3) y2+2y+1－x2. 7.计算： （1）38.92﹣2×38.9×48.9+48.92； （2）20242-2024×4026+20232. 8.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2). 小聪和小明的解答过程如下： 他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. 9.（1）已知a﹣b＝3，求a（a﹣2b）+b2的值； （2）已知ab＝2，a+b＝5，求a3b+2a2b2+ab3的值． 拓展提升 10.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 参考答案 自主学习 一、知识链接 填一填：x2+2x+1 4a2－12a+9 二、新知预习 试一试：（x+1）2 （2a-3）2 合作探究 一、探究过程 探究点1： 问题1：解：（a+b）2=a²+2ab+b²，（a-b）2=a²-2ab+b² . 问题2：解：式子里都含有两个数的平方相加，还有两个数的积的2倍. 【要点归纳】2ab 2ab 例1 B 【针对训练】1.D 2.8 探究点2： 问题1：解：（a+b）2 （a-b）2 【要点归纳】2 例2 解：（1）原式=（m-3）2.（2）原式=（x＋y+3）2. 【针对训练】解：原式=-3（x²-8x+16）=-3（x-4）². 问题2：解：它们都是用公式分解因式的，可以称为公式法. 【要点归纳】平方差公式 完全平方公式 例3 解：原式=（a2+4-4a）（a2+4+4a）=（a-2）2（a+2）2. 例4 解：（1）原式=(100-99)²=1. （2）原式=（34+16）2=2500. 例5 解：x2－4x＋y2－10y＋29＝0,即（x-2）2＋（y-5）2＝0，∴x-2=0，y-5=0，解得x=2，y=5.则x2y2＋2xy＋1=（xy+1）²=11²=121. 【针对训练】 解：∵|xy﹣4|+（x﹣2y﹣2）2＝0，∴xy＝4，x﹣2y＝2，∴x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝（x-2y）²+8xy＝2²+8×4=36． 二、课堂小结 m(a+b+c) (a+b)(a-b) (a±b)² 公因式 公式 因式分解是否彻底 当堂检测 1. B 2.D 3.（1）x x 2 2 x+2 （2）a a 2b 2b a+2b 4.1 5.4 6.解：（1）原式=（x－6）2. （2）原式=-y（2x-y）2. （3）原式=（y+1+x）（y+1-x）. 7.解：（1）原式＝（38.9﹣48.9）2＝100. （2）原式＝（2024-2023）2＝1. 8.解：都做错了．（1）原式=（2x+1）2；（2）原式==. 9.解：（1）∵a﹣b＝3，∴原式＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝32＝9. （2）∵ab＝2，a+b＝5，∴原式＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝2×52＝50． 10.解：△ABC为等边三角形，理由如下:由a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，即（a-b）2+（b-c）2=0，∴a-b=0，b-c=0，∴a=b，b=c，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $