11.3.2 两数和(差)的平方（课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“两数和（差）的平方”公式，通过披萨面积比较、正方形实验田面积推导等生活情境导入，承接平方差公式，以几何直观和代数推理为支架，帮助学生理解公式来源与结构。 其亮点在于融合数学眼光（几何图形面积解释公式）、数学思维（公式正逆向推导与辨析）、数学语言（规范符号表达），通过分层例题、易错总结及简便计算（如99²）等实例，培养学生运算能力与应用意识，助力教师系统教学，提升学生公式掌握效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月31日 11.3.2 两数和(差)的平方 第11章　整式的乘除 华东师大版八年级上册11.3.2两数和（差）的平方同步练习题（含答案解析） 本次练习题围绕11.3.2两数和（差）的平方核心知识点编写，承接平方差公式内容，是整式乘法重要的特殊公式。重点考查完全平方和、完全平方差公式的结构识别、直接套用、变形运算、混合化简及求值计算。题型涵盖选择、填空、解答题，难度循序渐进，贴合八年级同步学习节奏，帮助学生精准区分完全平方公式与平方差公式，掌握公式正向、逆向运用，攻克漏项、符号错误、系数漏平方等高频易错点。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 两数和的平方公式正确的是（） A. $$(a+b)^2=a^2+b^2$$ B. $$(a+b)^2=a^2-ab+b^2$$ C. $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ D. $$(a+b)^2=a^2-2ab+b^2$$ 2. 计算$$(x-4)^2$$的结果是（） A. $$x^2-16$$ B. $$x^2-8x+16$$ C. $$x^2+8x+16$$ D. $$x^2-4x+16$$ 3. 下列计算正确的是（） A. $$(a+1)^2=a^2+1$$ B. $$(2a-3)^2=4a^2-9$$ C.$$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2$$ D. $$(m-n)^2=m^2-n^2$$ 4. 计算$$(3x+2)^2$$的结果是（） A. $$9x^2+4$$ B. $$9x^2+6x+4$$ C. $$9x^2+12x+4$$ D. $$3x^2+12x+4$$ 5. 若$$(x-m)^2=x^2-6x+9$$，则$$m$$的值为（） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 计算：$$(a+5)^2=$$________。 2. $$(2x-3y)^2=$$________。 3. $$(-m+2)^2=$$________。 4. 利用公式简便计算：$$99^2=$$________。 5. 若$$x^2+kx+4$$是完全平方式，则$$k=$$________。 三、解答题（共20分） 1. 运用完全平方公式计算下列各式（8分） （1）$$(x+7)^2$$ （2）$$(5a-2b)^2$$ （3）$$(-3x+4)^2$$ （4）$$(2x^2-y)^2$$ 2. 利用完全平方公式简便计算（6分） （1）$$101^2$$ （2）$$98^2$$ 3. 先化简，再求值：$$(x+2)^2-(x-1)(x+1)$$，其中$$x=-2$$（6分） 四、参考答案与解析 一、选择题 1. C 解析：两数和的平方公式：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$，两数差的平方公式：$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$，核心是“首平方，尾平方，首尾两倍放中央”。 2. B 解析：原式=$$x^2-2\cdot x\cdot4+4^2=x^2-8x+16$$，严格套用完全平方差公式。 3. C 解析：A缺中间项$$2a$$，B缺中间项$$-12a$$，D混淆平方差与完全平方公式，只有C计算正确。 4. C 解析：原式=$$(3x)^2+2\cdot3x\cdot2+2^2=9x^2+12x+4$$，系数参与平方和两倍乘积运算。 5. A 解析：$$(x-3)^2=x^2-6x+9$$，对比系数可得$$m=3$$。 二、填空题 1. $$a^2+10a+25$$ 2. $$4x^2-12xy+9y^2$$ 3. $$m^2-4m+4$$ 4. 9801 5. ±4 三、解答题 1. （1）原式=$$x^2+14x+49$$；（2）原式=$$25a^2-20ab+4b^2$$；（3）原式=$$9x^2-24x+16$$；（4）原式=$$4x^4-4x^2y+y^2$$。 2. （1）原式=$$(100+1)^2=100^2+2\times100\times1+1^2=10201$$；（2）原式=$$(100-2)^2=100^2-2\times100\times2+2^2=9604$$。 3. 解：原式=$$x^2+4x+4-(x^2-1)=x^2+4x+4-x^2+1=4x+5$$，代入$$x=-2$$，原式=$$-8+5=-3$$。 核心易错总结：1. 严禁遗漏完全平方公式的中间两倍乘积项，杜绝$$(a\pm b)^2=a^2\pm b^2$$的错误；2. 首项、尾项含系数时，整体平方，不可漏平方系数；3. 中间项符号由原式符号决定，和则加、差则减；4. 区分完全平方公式与平方差公式，混合运算先套公式，再去括号、合并同类项。 理解并掌握两数和(或差)平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.（重点） 理解两数和(或差)平方公式的结构特征，灵活应用两数和(或差)平方公式.（难点） 明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？ 大披萨的面积：S = π·32 = 9π . 小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π . 你发现了什么？ (2 + 1)2 ≠ 22 + 12. 所以不应该同意. 情境导入 一块边长为a m的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b m，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图）. 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. a m a m b m b m 直接求：总面积= (a+b)(a+b) 间接求：总面积= a2 ab ab b2 a2+2ab+b2 你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 探究新知 用多项式乘法法则计算：(a+b)2. 做一做 (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. 我们又得到一个新的公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 这个公式叫做两数和的平方公式. 利用这个公式，可以直接计算两数和的平方. 试一试 观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算: a a b b a a b b a2 ab ab b2 = + + (a+b)2 a2 2ab = + + b2 几何角度证明. 例4 计算： （1）(2x+3y)2； （2）(2a+ )2. 解（1）(2x+3y)2 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 =(2x)2 +2×2x×3y +(3y)2 =4x2+12xy+9y2. （2）(2a+ )2. =(2a)2+2×2a× +( )2. =4a2+2ab+ . 1.计算： （1）(x+3)2； （2）(2x+y)2. =x2+2·x·3+32 =x2+6x+9 =(2x)2+2·2x·y+y2 =4x2+4xy+y2 推导两数差的平方公式(a−b)2= 试一试 ? 方法1：直接计算 (a−b)2 =(a−b)(a−b) =a2−ab−ab+b2 =a2−2ab+b2 方法2：整体代入 (a−b)2 =[a+(−b)]2 =a2+2×a×(−b)+(−b)2 =a2−2ab+b2 这样就得到了两数差的平方公式： (a−b)2=a2−2ab+b2 这就是说，两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. 指出图形中包含哪些长方形和正方形，你能用图中的面积关系来解释两数差的平方公式吗? a b a b a2 ab ab b2 = - + (a-b)2 a2 2ab = - + b2 a b 例5 计算： （1）(3x−2y)2； （2）(− m+1)2. 解（1）(3x−2y)2 ( a − b )2 = a2 − 2ab + b2 =(3x)2 −2×3x×2y +(2y)2 =9x2−12xy+4y2. 例5 计算： （1）(3x−2y)2； （2）(− m+1)2. 方法1：（2）(− m+1)2 =(− m)2+2×(− m)×1+12 = m2−m+1. 方法2：（2）(− m+1)2 =(1− m)2 =12−2×1× m+( m)2 = m2−m+1. 2.计算： （1）(x-3)2； （2）(2m-3n)2. =x2-2·x·3+32 =x2-6x+9 =(2m)2-2·2m·3n+(3n)2 =4m2-12mn+9n2 3.计算： （1）(-2m+n)2； （2）(-2m-n)2. =(-2m)2+2·(-2m)·n+n2 =4m2-4mn+n2 =(2m)2+2·2m·n+n2 =4m2+4mn+n2 =[- (2m+n)]2 = (2m+n)2 完全平方公式 两数和的平方公式： 两数差的平方公式： (a+b)2=_____________ (a−b)2=_____________ a2−2ab+b2 a2+2ab+b2 公式特征： 左边：两数和（差）的平方. 右边：1.积为二次三项式； 2.前后两项为两数的平方和； 3.中间项是两数积的2倍. 简记为： 前平方，后平方，前后两数积的2倍放中央，符号看前方括号. 1.计算： （1）(a+2b)(a-2b)； （2）(2a+5b)(2a-5b)； =a2-(2b)2 =a2-4b2 =(2a)2-(5b)2 =4a2-25b2 A组 随堂练习 （3）(x2-1)(1+x2) （4） =(x2)2-12 =x4-1 随堂练习 2.计算： （1）(3a+b)2； （2） ； =(3a)2+2·3a·b+b2 =9a2+6ab+b2 随堂练习 20 （3）(2a-4b)2； （4） . =(2a)2-2·2a·4b+(4b)2 =4a2-16ab+16b2 随堂练习 21 3.计算： （1）(-m2-2m)2； （2）(-2x+y)(-2x-y)； （3）(2a+1)(-2a-1). =[-(m2+2m)]2 =(m2+2m)2 =(m2)2+2·m2·2m+(2m)2 =m4+4m3+4m2 =-(-2x+y)(2x+y) =-[y2-(2x)2] =-y2+4x2 =-(2a+1)(2a+1) =-(2a+1)2 =-[(2a)2+2·2a·1+12] =-(4a2+4a+1) =-4a2-4a-1 随堂练习 4.填空： （1）a2+6a+_____=(a+____)2； （2）4x2-20x+_____=(2x-____)2； （3）a2+b2=(a-b)2+_______； （4）(x-y)2+_____=(x+y)2. 9 3 25 5 2ab 4xy 随堂练习 5.用乘法公式计算：(a−b+1)(a−b−1). 解： (a−b+1)(a−b−1) =[(a−b)+1][(a−b)−1] =(a−b)2−12 =a2−2ab+b2−1 随堂练习 B组 6.两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.为什么? 解：设较小的奇数为2x+1，较大的奇数为2x+3. （其中x是整数） (2x+3)2− (2x+1)2 =[(2x+3)+(2x+1)][(2x+3)−(2x+1)] =(4x+4)×2 =8(x+1) 随堂练习 7.已知a+b=4，ab=3，求下列各式的值： （1）a2+b2；（2）(a−b)2. 解：（1）a2+b2=(a+b)2−2ab=42−2×3=10. （2）(a−b)2=(a+b)2−4ab= =42−4×3=4. 随堂练习 8.用总长度为l的篱笆围成一个长方形区域，相邻两边的长度相差d，求篱笆所围成区域的面积. 解：设宽为x，则长为x+d. 由题意得，(x+x+d)×2=l，所以x= l − d. 所以S=x·(x+d)=( l − d )( l − d+d ) =( l − d )( l + d ) = l2 − d2 随堂练习 返回 D 中考考法 28 返回 2．如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是(　　) A．(a－b)(a＋b)＝a2－b2 B．4ab＝(a＋b)2－(a－b)2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C 中考考法 29 【解】原式＝4b2－12ab＋9a2. 中考考法 30 返回 【解】原式＝－(x＋2y)2＝－(x2＋4xy＋4y2)＝－x2－4xy－4y2. 中考考法 31 返回 4．若(x＋9y)2＝(x－9y)2＋A，则代数式A为________． 36xy　 中考考法 32 返回 5. 已知a－b＝3，ab＝10，则a2＋b2＝________． 29 中考考法 33 返回 6．若(a－b)2＝3，(a＋b)2＝7，则a2＋b2－3ab－2的值为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 A 【点拨】∵(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，即4ab＝7－3＝4，解得ab＝1，∴a2＋b2－3ab－2＝(a－b)2－ab－2＝3－1－2＝0，故选A. 中考考法 34 返回 21 中考考法 35 B 中考考法 36 课堂小结 两数和(差)的平方 公式 注意 2.弄清两数和(差)的平方公式的不同； 3.整式的乘方 两数和(差)的平方 特殊情形 1.项数、符号、字母及其指数； (a±b)2=a2±2ab+b2 37 1．下列计算正确的是(　　) A．(2a＋b)2＝4a2＋b2 B．(5x－2y)2＝25x2－10xy＋4y2 C.＝x2－xy＋y2 D.＝x2－x＋ 3．计算： (1)(－3a＋2b)2；　　　　　 (2)； 【解】原式＝＝49a2＋2ab＋b2. 【解】原式＝＝3 600＋2＋＝3 602. (3)(x＋2y)(－x－2y); (4). 【点拨】∵x2－5x＋1＝0，当x＝0时，等式不成立，∴x≠0，∴x－5＋＝0，∴x＋＝5，∴＝－4x·＝52－4＝21. 7．已知x2－5x＋1＝0，则＝________． 8.已知P＝2m＋1，Q＝m2＋2，其中m为正整数，下列对两名同学的结论判断正确的是(　　) 嘉嘉：由已知条件可知P＜Q. 淇淇：由已知条件可知0＜≤1. A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 $