11.3.1 两数和乘以这两数的差-（教学课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“平方差公式”，通过“魔术速算挑战”展示23×17等算式结构，引导学生观察规律，再经多项式乘法推导公式，构建从具体数字到抽象公式的学习支架。 其亮点在于情境导入激发兴趣（数学眼光），代数推导与几何验证结合（数学思维），分层练习巩固应用（数学语言）。如用图形面积验证公式，设计必做与选做题，助学生理解公式本质，教师可高效开展教学。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 11.3.1 两数和乘以这两数的差 第十一章 整式的乘除 11.3.1 两数和乘以这两数的差（平方差公式）同步练习题（适配八上，统一题型格式） 一、核心知识点 1. 平方差公式（本节必考核心） 文字：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。 公式：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$ 2. 公式结构特征（判断能否用公式的关键） 括号中必须是：一项完全相同，一项互为相反数 相同项为$$a$$，相反项为$$b$$ 结果：同项平方 − 反项平方 3. 万能识别口诀 一同一反，平方相减；同方减负方 4. 公式常见变形 $$(b+a)(-b+a)=a^2-b^2$$ $$(-a+b)(-a-b)=a^2-b^2$$ 符号不影响，只要满足“一同一反”即可套用 二、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列式子可以用平方差公式计算的是（） A. $$(x+2)(x+3)$$ B. $$(x-2)(x+2)$$ C. $$(x-2)(2-x)$$ D. $$(x+2)(-x-2)$$ 4. 计算$$(a+3)(a-3)$$的结果是（） A. $$a^2-9$$ B. $$a^2+9$$ C. $$a^2-6a+9$$ D. $$a^2+6a-9$$ 6. 计算$$(2x+1)(2x-1)$$的结果是（） A. $$2x^2-1$$ B. $$4x^2-1$$ C. $$4x^2+1$$ D. $$2x^2+1$$ 8. 计算$$99\times101$$的简便结果是（） A. 9900 B. 10001 C. 9999 D. 10100 10. 化简$$(-m+2)(-m-2)$$正确的是（） A. $$m^2-4$$ B. $$-m^2-4$$ C. $$4-m^2$$ D. $$m^2+4$$ 三、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. $$(x+5)(x-5)=$$________ 4. $$(3a-2)(3a+2)=$$________ 6. $$(xy+4)(xy-4)=$$________ 8. $$(-1+2x)(-1-2x)=$$________ 10. $$199\times201=$$________ 12. 若$$(x+ky)(x-ky)=x^2-16y^2$$，则$$k=$$________ 四、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 直接利用平方差公式计算： (1) $$(m+6)(m-6)$$ (2) $$(4x+3y)(4x-3y)$$ (3) $$\left(\dfrac{1}{2}a-b\right)\left(\dfrac{1}{2}a+b\right)$$ 4. 简便运算： (1) $$98\times102$$ (2) $$20.5\times19.5$$ 6. 整式混合化简： (1) $$(x+2)(x-2)-(x-1)^2$$ (2) $$(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)$$ 8. 公式辨析：简述平方差公式的使用条件，什么样的式子不能用？ 五、综合应用题（共 20 分） 1. 先化简，再求值：$$(x+3)(x-3)-x(x-4)$$，其中$$x=2$$。（10 分） 4. 已知长方形长为$$(2a+3b)$$，宽为$$(2a-3b)$$，求长方形面积。（10 分） --- 参考答案 一、选择题 1.B 2.A 3.B 4.C 5.A 二、填空题 1.$$x^2-25$$ 2. $$9a^2-4$$ 3. $$x^2y^2-16$$ 4. $$1-4x^2$$ 5. $$39999$$ 6. $$\pm4$$ 三、解答题 1. 解： (1) 原式$$=m^2-6^2=m^2-36$$ (2) 原式$$=(4x)^2-(3y)^2=16x^2-9y^2$$ (3) 原式$$=\left(\dfrac{1}{2}a\right)^2-b^2=\dfrac{1}{4}a^2-b^2$$ 2. 解： (1) 原式$$=(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10000-4=9996$$ (2) 原式$$=(20+0.5)(20-0.5)=20^2-0.5^2=400-0.25=399.75$$ 3. 解： (1) 原式$$=x^2-4-(x^2-2x+1)=x^2-4-x^2+2x-1=2x-5$$ (2) 原式$$=4x^2-9-4x^2+4x=4x-9$$ 4. 答： 使用条件：两个二项式相乘，有一项完全相同、另一项互为相反数； 不符合“一同一反”结构的式子不能用，如两项全同、两项全反、多项式项数不匹配等，只能用多项式乘法展开。 四、综合应用题 1. 解： 原式$$=x^2-9-x^2+4x=4x-9$$ 当$$x=2$$时， 原式$$=4\times2-9=8-9=-1$$ 答：代数式的值为$$-1$$。 4. 解： $$S=(2a+3b)(2a-3b)=(2a)^2-(3b)^2=4a^2-9b^2$$ 答：长方形面积为$$4a^2-9b^2$$。 本节易错点总结 1. 公式结构看错：必须严格“一同一反”，两项全同、两项全反都不能直接用平方差。 4. 平方漏括号：底数是多项式、系数、负数时，必须整体平方，如$$(4x)^2 eq4x^2$$。 6. 结果顺序写错：永远是相同项平方 减 相反项平方，顺序颠倒必错。 8. 简便计算不会凑整：不会把$$98\times102$$变形为$$(100-2)(100+2)$$。 10. 混合运算优先级错：先套用公式化简，再去括号、合并同类项。 12. 符号陷阱：$$(-a+b)(-a-b)$$相同项是$$-a$$，结果为$$a^2-b^2$$，不要看错符号。 课堂导入 通过观察我们可以发现所有算式都是（两数和）×（两数差）的结构 情境导入——魔术速算挑战（激发兴趣） ①23×17=（20+3）（20-3）=20²-3²=391 ②51×49=（50+1）（50-1）=50²-1²=499 ③105×95=（100+5）（100-5）=9975 思考：通过上面的方法，把具体的数字换成字母，如（a+b）（a-b），还能用上述方法计算吗？ 新知探究 合作探究（小组讨论） 利用多项式与多项式相乘法则，计算下面的式子，并观察它们之间有什么规律 计算对比： ①（x+3）（x-3）=？ ②（2y+5）（2y-5）=？ 观察发现： ①结果都是两项，且都是平方相减的形式（x2-9）。 ②提问：“为什么中间项消失了，这个规律是否普通实用” 新知探究 计算一般形式： （a+b）（a-b）=a×a+a×（-b）+b×a+b×（-b） =a2-ab+ab-b2 =a2-b2 结论：（a+b）（a-b）=a2-b2 代数推导——从一般到特殊 语言描述：两数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差 典例分析 例1 计算： （1）（a+1）（a-1）= = 。 （2）（ab+3）（ab-3）= = 。 （3）（3a-b）（-3a-b）= = 。 （4）（x-y）（x+y）= = 。 a2-12 a2-1 （ab）2-32 a2b2-9 -[（3a）2-b2] -9a2+b2 （x）2-y2 x2-y2 两数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差： （a+b）（a-b）=a2-b2 典例分析 例2 下列各式中：①(x+3)(x-9)=x2-9；②(x+4)(x-2)=x2-8；③(-x+1)(-1-x)=x2-1；④(3x+1)(3x-1)=3x2-1．正确的个数是（      ） A .1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 B 利用多项式乘多项式：(x+4)(x-2)=x2+2x-8，故②错误 (3x+1)(3x-1)=9x2-1，故④错误 典例分析 例3 按如图所示的方式分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证的等式是（      ） A .(a+b)2=a2+2ab+b2 B . (a-b)2=a2-2ab+b2 C . (a-b)2=(a+b)2-4ab D . a2-b2=(a+b)(a-b) D 典例分析 例4 运用平方差公式计算： (1)51×49； (2) 将原式变形为（50+1）×（50-1），再利用平方差公式求解 将原式变形为（200+）×（200-），再利用平方差公式求解 解：（1）51×49 =（50+1）×（50-1） =502-12 =2500-1 =2499 解：（2） =（200+）×（200-） =2002-（）2 =40000-=39999 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是( ). A. (a- 2b)(2b +a) B. (a - 2b)(-a-2b) C. (2a-b)(-2a-b) D. (a + 2b)(-a- 2b) D 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2. 填空: (1)(x + y)(x - y)=___________; (2)(-x + y)(x + y)=_____________; (3)(5a + 2)(5a _____ )=25a2-4; (4)(-3x - y2)( _____+y² )=9x2 - y4. x2 - y2 y2 - x2 - 2 -3x 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.如图，在边长为2a的正方形中央剪去一个边长为(a+2)的小正方形(a>2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为 ( ). A. a+ 4 B. 2a2+4a C. 3a2 - 4a - 4 D. 4a2 - a - 2 C 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4. 计算. （1）（-3a + 2b）（-3a - 2b） （2）（-5m2+4n2）（4n2+5m2） 解：（1）原式=（-3a）2-（2b）2= 9a2- 4b2 （2）原式=（4n2）2-（5m2）2= 16n4 - 25m4 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5. 先化简，再求值：2m - m(m - 2) + (m +3)(m - 3)， 其中 m=2. 解：2m - m(m - 2) + (m + 3)( m - 3 ) =2m - m2+ 2m + m2- 9= 4m - 9. 当m=2时，原式=4 × 2 - 9=8 - 9=-1. 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6. 如果(2a + 2b +1)(2a + 2b - 1) = 15，那么a + b的值为( ). A. ±8 B. -4 C. 2 D. ±2 D 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. （1）如图②，是将图①阴影部分 裁剪下来，重新拼成的一个长方形， 其面积是_____________________. 如图①，阴影部分的面积是__________. 比较图①②阴影部分的面积，可以得到乘法公式： _____________________________. ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 ( a + b ) ( a - b ) a2 - b2 随堂练习 15 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.（2）运用你所得到的公式计算： 1002 - 98 × 102 解：原式=1002 - (100 - 2)(100 + 2) =1002 - ( 1002 - 22 ) =1002 -1002 +4 =4. 随堂练习 16 1. ［2025深圳龙华区期中］下列多项式相乘，不能运用平方 差公式计算的是( ) C A. B. C. D. 2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是 ( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 17 3. 若，则 等于( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 B 返回 中考考法 4. 已知，，则与 的大小关 系是( ) A A. B. C. D. 不能确定 【点拨】 ， ， . 返回 中考考法 19 5.三个连续偶数，若中间一个是 ，则它们的积为________. 6. 已知 ，则式子 的值为____. 【点拨】 ， ， 原式 . 返回 中考考法 20 两数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差： （a+b）（a-b）=a2-b2 课堂小结 $