11.3.1 两数和乘以这两数的差 课件 -2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“两数和乘以这两数的差”即平方差公式，通过“地主租地”情境导入引发认知冲突，衔接整式乘法基础，引导学生计算多项式积发现规律，搭建公式理解与应用的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以图形面积解释公式几何意义（几何直观），设计“算一算”探究规律培养推理意识，例题涵盖简便运算（如1998×2002）、化简求值等。采用情境-探究-应用模式，助学生掌握公式本质，教师可直接用于同步巩固与能力提升。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 11.3.1 两数和乘以这两数的差 第11章 整式的乘除 11.3.1 两数和乘以这两数的差 同步练习题（含解析） 本节习题适配华东师大版八年级上册11.3.1知识点，对应平方差公式，紧扣公式结构特征、正用逆用、简便运算和化简求值。结合整式乘法基础，针对性训练识别公式、替换底数、整体代入等能力，解决公式乱用、结构认错、符号出错等易错问题，适配课后同步巩固与基础检测。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 两数和乘以这两数的差公式：$$(a+b)(a-b)=$$________，叫做________公式。 2. $$(x+3)(x-3)=$$________。 3. $$(2a+1)(2a-1)=$$________。 4. $$(-x+4)(-x-4)=$$________。 5. $$(3x+2y)(3x-2y)=$$________。 6. 若$$a^2-b^2=12$$，$$a-b=2$$，则$$a+b=$$________。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子能用平方差公式计算的是（） A. $$(x+2)(x+2)$$ B. $$(x-3)(3-x)$$ C. $$(x+5)(x-5)$$ D. $$(2x-1)(x+2)$$ 2. 计算$$(4a-b)(4a+b)$$的结果是（） A. $$16a^2-b^2$$ B. $$16a^2+b^2$$ C. $$4a^2-b^2$$ D. $$b^2-16a^2$$ 3. 计算$$99\times101$$的简便结果是（） A. 9900 B. 10000 C. 9999 D. 10001 4. 化简$$x^2-(x+2)(x-2)$$的结果是（） A. 4 B. -4 C. $$2x^2+4$$ D. $$2x^2-4$$ 5. 若$$(m+2n)(m-2n)=m^2-kn^2$$，则k的值为（） A. 2 B. 4 C. -2 D. -4 三、解答题（共50分） 1. 基础计算题（每题6分，共24分） （1）$$(a+6)(a-6)$$ （2）$$(5x-3y)(5x+3y)$$ （3）$$(-2m+5)(-2m-5)$$ （4）$$198\times202$$ 2. 化简计算题（12分）：$$(2x+3)(2x-3)-(x-1)(x+1)$$ 3. 能力提升题（14分）：先化简$$(x+2y)(x-2y)+(2y)^2$$，再代入$$x=3，y=-1$$求值。 四、参考答案与解析 填空题答案：1. $$a^2-b^2$$、平方差 2. $$x^2-9$$ 3. $$4a^2-1$$ 4. $$x^2-16$$ 5. $$9x^2-4y^2$$ 6. 6 选择题答案：1.C 2.A 3.C 4.A 5.B 解答题解析：1.（1）原式$$=a^2-36$$；（2）原式$$=25x^2-9y^2$$；（3）原式$$=4m^2-25$$；（4）原式$$=(200-2)(200+2)=200^2-2^2=39996$$。 2. 原式$$=(4x^2-9)-(x^2-1)=4x^2-9-x^2+1=3x^2-8$$，分别套用平方差公式后去括号合并同类项。 3. 原式$$=x^2-4y^2+4y^2=x^2$$，代入$$x=3$$得原式$$=9$$。 核心考点总结：平方差公式关键是识别“同号项、异号项”，同号平方减异号平方；公式可用于简便运算、整式化简和整体求值；必须区分完全平方与平方差结构，是本章最核心、考查频率最高的乘法公式之一。 学习目标 1.理解两数和乘以这两数差的几何意义.（重点） 2.理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构 学习目标 5m x m 情境导入 从前有一个狡猾的地主，他把一块长为 x m 的正方形的土地租给张老汉种植.有一天，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5m，另一边增加5m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了.回到家中，他把这件事对邻居讲了，邻居一听，说：“张老汉你吃亏了！”，张老汉非常吃惊. 5m x−5m x+5m x2____(x+5)(x−5) ？ ① (x + 1)( x - 1)； ② (m + 2)( m - 2)； ③ (2m + 1)(2m - 1)； ④ (5y + z)(5y - z). 算一算：看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 平方差公式 1 ② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 ③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1 ④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 ① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ = x2 - 12 = m2 - 22 = (2m)2 - 12 = (5y)2 - z2 用自己的语言叙述你的发现. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. (a + b)(a − b) = a2 − b2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (a – b) (a + b) = a2 − b2， (b + a)(−b + a ) = a2 − b2. 平方差公式： 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式， 有时也简称为平方差公式. 知识要点 _____________ ＝ ________ － ________ 几 何 解 释 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算： (a+b)(a-b) = － (a + b)(a - b) a2 b2 b a a b b b2 a2 平方差公式 注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等． (a + b)(a - b) = a2 - b2 相同为 a 相反为 b 适当交换 合理加括号 2米 2米 a米 原来 a2 (a - 2) (a + 2)米 现在 (a + 2)(a - 2) 🔍 数学揭秘：面积变了吗？ 回顾导入 a2 - 4 a2 ＞ 算一算：口答下列各题： （l）(-a + b)(a + b) =  _________. （2）(a - b )(b + a) = __________. （3）(-a - b)(-a + b) = ________. （4）(a - b)(-a - b) = _________. a2 - b2 a2 - b2 b2 - a2 b2 - a2 例1 填一填： (1 + x)(1 - x) ( - 3 + m)( - 3 - m) (0.3y - 1)(1 + 0.3y) (1 + t)( - 1 + t) a b a2 - b2 1 x -3 m 12 - x2 ( - 3)2 - m2 t 1 t2 - 12 0.3y 1 ( 0.3y)2 - 12 (a - b)(a + b) 典例精析 例2 计算： (1) (a + 3)(a－3)； (2) (2a + 3b)(2a－3b)； (3) (1 + 2c)(1－2c)； = a2－9 = 4a2－9b2 = 1－4c2 解：(1) (a + 3)(a－3) = a2－32 = 12－(2c)2 (4) (－2x－y)(2x－y). (2) (2a + 3b)(2a－3b) = (2a)2－(3b)2 (3) (1 + 2c)(1－2c) 典例精析 原式 = －(2x + y)(2x－y) = －(4x2－y2) = －4x2 + y2. 或 (4) (－2x－y) (2x－y) 原式 = (－y－2x)(－y + 2x) = (－y)2－(2x)2 = y2－4x2 (4) (－2x－y)(2x－y). (－y－2x) (－y + 2x) －(2x + y) 例3 计算 1998×2002. (2000 - 2)(2000 + 2) = 4 000 000 - 4 = 3 999 996. 解： 1998×2002 = = 20002 - 22 1.计算： (x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1). (x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x2－1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x4－1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x8－1)(x8 + 1) = x16－1 解： 练一练 跟踪训练 1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是( ) A.(2a−3b)(−2a+3b) B.(−3a+4b)(−4b−3a) C.(a−b)(b−a) D.(a−b−c)(−a+b+c) B 随堂练习 2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样 改正？ （1）(x+2)(x−2)=x2−2 （2）(−3a−2)(3a−2)=9a2−4 改正：(x+2)(x−2)=x2−4 改正：(−3a−2)(3a−2)=4−9a2 随堂练习 3.计算： （1）(a+3b)(a−3b)； （2）(3+2a)(−3+2a)； （3）51×49； （4）(a−b+c)(a+b+c). =a2−(3b)2 =a2−9b2 =(2a)2−32 =4a2−9 =(50+1)×(50−1) =502−12 =2500−1 =2499 =[(a+c)+b][(a+c)−b] =(a+c)2−b2 =(a+c)(a+c)−b2 =a2+2ac+c2−b2 随堂练习 4.用一定长度的篱笆围成一个长方形区域，小明认为围成一个正方形区域可使面积最大，而小亮认为不一定.你认为如何？说说你的道理. 解：长方形区域的周长是一定的，设为4a，如果围成正方形，那么其边长为a，面积为a2；如果围成一般的长方形，设其长为b(b≠a≠0) ，则宽必为(2a-b)，因而其面积为(2a-b)b=2ab-b2而a2- (2ab-b2)=(a-b)2>0(a≠b≠0)，因此围成一般的长方形比围成正方形面积要小. 随堂练习 返回 1. 下列多项式相乘，不能运用平方差公式计算的是(　　) A．(2m－n)(n＋2m) B．(－m＋n)(m＋n) C．(2n－m)(2m－n) D．(－m－n)(－m＋n) C 考试考法 20 返回 2．下列多项式中，与－x＋y相乘的结果为x2－y2的是(　　) A．x＋y　　　　 B．x－y C．－x＋y　　　　 D．－x－y D 考试考法 21 返回 3．若xn－81＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)，则n等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B 考试考法 22 返回 4．三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积为__________． n3－4n 考试考法 23 返回 5. 已知x2－x－1＝0，则式子(x＋3)·(x－3)＋x(x－2)的值为________． －7 考试考法 24 返回 6．计算： (1)(2x－3)(2x＋3)(4x2＋9)；   (2)(x＋y－3)(x－y＋3)． 【解】原式＝(4x2－9)(4x2＋9)＝16x4－81. 【解】原式＝[x＋(y－3)][x－(y－3)]＝x2－(y－3)2＝x2－(y2－3y－3y＋9)＝x2－y2＋6y－9. 考试考法 25 返回 7．已知4x2－y2＝3，则(2x＋y)3(y－2x)3的值是(　　) A．－27 B．－9 C．9 D．27 A 【点拨】(2x＋y)3(y－2x)3＝－(2x＋y)3(2x－y)3＝－[(2x＋y)(2x－y)]3＝－(4x2－y2)3＝－33＝－27. 考试考法 26 返回 8．已知M＝2 0262，N＝2 025×2 027，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M<N C．M＝N D．不能确定 A 【点拨】∵M＝2 0262，N＝2 025×2 027＝(2 026－1)(2 026＋1)＝2 0262－1，∴M－N＝2 0262－(2 0262－1)＝1＞0.∴M＞N. 考试考法 27 返回 9．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝35，则a2＋b2＝________． 6 【点拨】∵(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝35，∴[(a2＋b2)＋1][(a2＋b2)－1]＝35，∴(a2＋b2)2－1＝35，∴(a2＋b2)2＝36.∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝6. 考试考法 28 返回 10. 霍州鼓楼位于山西省霍州市市中心，明万历十一年(1583年)建，又称文昌阁．建筑融合了木构阁楼与琉璃工艺，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯(sǔn mǎo)结构，其精湛的工艺传扬至今．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，截面的整体是一个长为(2a＋b)cm，宽为(2a－b)cm的长方形，中间凿掉一个边长为a cm的正方形，且该零部件的高为a cm.则这个零部件的体积为__________cm3. (3a3－ab2) 考试考法 29 返回 11．解不等式：(1－5x)(x－2)－(3－x)(x＋3)≤(2x－3)(－3－2x)＋x. 【解】原不等式可化为x－2－5x2＋10x－(9－x2)≤(－3)2－(2x)2＋x，则11x－2－5x2－9＋x2≤9－4x2＋x，即11x－11≤9＋x，解得x≤2.故原不等式的解集为x≤2. 考试考法 30 返回 12. 老师在黑板上设置了一个趣味数学游戏：第一步：取一个自然数a1＝5，计算(a1＋1)(a1－1)得到b1；第二步：算出b1的各位数字之和得到a2，计算(a2＋1)(a2－1)得到b2；第三步：算出b2的各位数字之和得到a3，再计算(a3＋1)(a3－1)得到b3……依此类推，则b2 026的值为(　　) A．63 B．80 C．99 D．120 B 考试考法 31 返回 13. 已知a为实数，若有整数b，m，满足(a＋b)(a－b)＝m2，则称a是b，m的弦数．若a＜15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：_____________________． 5，4，3(答案不唯一) 考试考法 32 返回 2 考试考法 33 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.字母表示：(a + b)(a - b) = a2 - b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用 课堂小结 【点拨】原式＝2×××(1＋)×＋＝2×××＋＝2××＋＝2×＋＝2－＋＝2. 14.小丽在计算3×(4＋1)×(42＋1)时，把3写成(4－1)后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似的方法计算：××＋＝________． $