微专题集训26 正、余弦定理-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦正、余弦定理的基础应用与综合拓展，通过高考真题与模拟题构建从边角互化到范围最值的完整训练体系，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|4题|直接应用定理求角、边，判断三角形形状|从定理直接应用到边角关系转化，强化运算能力| |综合应用|5题|结合面积公式、三角恒等变换、中线问题|知识链：内角和定理→正余弦定理→面积公式→代数变形| |拓展提升|3题|范围最值、存在性问题、跨知识点综合|通过方程思想与函数思想，实现从静态计算到动态分析的逻辑提升|

微专题集训26　正、余弦定理 [真题精准练] 1．A　根据余弦定理有cos A＝，因为0°<A<180°，所以A＝45°.故选A. 2．C　由题意结合正弦定理可得sin A cos B－sin B cos A＝sin C，即sin A cos B－sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋sin B cos A，整理可得sin B cos A＝0，由于B∈(0，π)，故sin B＞0，据此可得cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－.故选C. 3．C　由正弦定理得sin A sin C＝sin2B，因为B＝，所以sinA sin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin A sin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin A sin C＝sin C＝，又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝.故选C. 4．ABC　因为cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，所以2cos2A－1＋2cos2B－1＋2sinC＝2，即cos2A＋cos2B＋sinC＝2，所以1－sin2A＋1－sin2B＋sinC＝2，即sin C＝sin2A＋sin2B.故A正确；当C>时，A＋B<，即0<A<－B<，故有0<sin A<sin ，即0<sin A<cos B，同理有0<sin B<cos A，所以sin2A＋sin2B<sinA cos B＋sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin C，与A选项矛盾，故C>不成立，同理可得C<也不成立，故C＝，则sin C＝1，cos C＝0.因为cos A cos B sin C＝，所以cos A cos B＝，因为A＋B＝，所以cos B＝sin A，所以cos A sin A＝，即sin 2A＝，又A∈，2A∈(0，π)，故2A＝或，即A＝或.当A＝时，tan ＝tan ＝2－，所以.　① S△ABC＝，故AC·BC＝，　② 结合①②可得所以AB2＝AC2＋BC2＝2，则AB＝，当A＝时，同理可得AC2＋BC2＝2，AB＝，故B正确，D错误；当A＝时，sin ＝sin ＝，sin ＝sin ＝，所以sin A＋sin B＝，当A＝时，同理可得sin A＋sin B＝，故C正确．故选ABC. 5．解：(1)因为A＋B＝3C， 所以π－C＝3C，即C＝， 又2sin (A－C)＝sin B＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以sin A cos C＝3cos A sin C， 所以sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0<A<， 所以sin A＝. (2)由(1)知，cos A＝， 由sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝＝， 由正弦定理，， 可得AC＝， 故AB边上的高为AC·sin A＝2＝6. [高考变式练] 1．B　根据余弦定理，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD cos C＝64＋，所以AD＝.故选B. 2．D　由a2－(b－c)2≥bc，可得a2－b2－c2＋2bc≥bc，即b2＋c2－a2≤bc，又由余弦定理，可得cos A＝，又因为角A为锐角，即0<A<，所以≤A<，即角A的取值范围是.故选D. 3．A　因为△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin (A－B＋C)＝sin (C－A－B)＋，所以sin 2A＋sin 2B＝－sin 2C＋，所以2sin A cos A＋2sin (B＋C)cos (B－C)＝，2sin A[cos (B－C)－cos (B＋C)]＝，化为2sin A[－2sin B sin (－C)]＝，所以sin A sin B sin C＝.设外接圆的半径为R，由正弦定理可得＝2R，由sin A sin B sin C＝可得8≤abc＝8sin A sin B sin C·R3≤16，则8≤R3≤16，即2≤R≤2，则4≤R2≤8由S＝ab sin C及正弦定理得， sin A sin B sin C＝，即R2＝4S，则面积S满足1≤S≤2，故选A. 4．解：(1)由题设2a cos B cos C＋2c cos A cos B＝b，则2sin A cos B cos C＋2sin C cos Acos B＝sin B， 所以2cos B(sin A cos C＋sin C cos A)＝sin B，则2cos B sin (A＋C)＝sin B， 所以2cos B sin (π－B)＝2cos B sin B＝sin B，sin B≠0，故易得cos B＝， 由B∈(0，π)，则B＝. (2)由AB＝2，AC＝2，则，故sin C＝，由A＋C＝，则0<C<，所以C＝，则∠BAC＝，故BC＝4， 又∠CAD＝，则△ACD为等腰三角形，且AD＝CD，故BD＝4－CD＝4－AD， 在△ABD中AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos 60°＝4＋(4－AD)2－2(4－AD)， 所以AD＝2. [最新模拟练] 1．B　由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c，而S△ABC＝b2sin B＝ac sin B，所以b2＝ac＝，整理得(a－c)2＝0，所以a＝c＝b，即△ABC为正三角形，则cos B＝cos 60°＝.故选B. 2．C　如图所示，在边AB、AC上分别取点D、E，使、，以AD、AE为邻边作平行四边形ADFE，则，显然＝＝1，因此平行四边形ADFE为菱形，AF平分∠BAC，而·＝0，所以＝0，即AF⊥BC，于是得△ABC是等腰三角形，即b＝c，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，S△ABC＝a·AO，而S△ABC＝因此AO＝BC，从而得∠BAC＝90°，综上，△ABC是等腰直角三角形．故选C. 3．ABD　对于B，因为sin A＋sin C＝2sin B，所以a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列，故B正确；对于A，因为b＝2，所以a＋c＝4，可得△ABC的周长为6，故A正确；对于C，由余弦定理得cos B＝＝ －1，由基本不等式得ac≤＝4，当且仅当a＝c＝2时取等，可得cos B＝，由余弦函数性质得y＝cos x在(0，π)上单调递减，而B∈(0，π)，得到B∈，即角B的最大值为，故C错误；对于D，由三角形面积公式得S△ABC＝，当且仅当a＝c＝2时等号成立，可得△ABC面积的最大值为，故D正确．故选ABD. 4．BCD　对于A，若△ABC为直角三角形，A＝60°，B＝30°，则cos A＝<cos B＝，故A错误；对于B，由b cos A－a cos B＝0和正弦定理，sin B cos A－sin A cos B＝0，即sin (B－A)＝0，因为A，B均是三角形中的角，则A－B＝0，即A＝B，故B正确；对于C，因为△ABC的内角只能为锐角、直角或钝角，由cos A cos B cos C>0可知，cos A，cos B，cos C在符号上只能是三正或者两负一正，而三角形中最多只有一个钝角，故三者只能是三正，即A，B，C都是锐角，故C正确；对于D，由满足条件A＝，c＝2的△ABC有两个，可知c sin A<a<c，即<a<2，故D正确．故选BCD. 5．解析：由余弦定理得，cos A＝，则c2－4c cos A＋3＝0，由题意知，c有两解，且c>0，则解得cos A>，又A∈(0，π)，则0<A<，即A的取值范围为. 答案： 6．解析：因为DE＝3，DF＝2，∠DEF＝90°，所以EF＝，设∠BED＝θ，θ∈，则∠BDE＝－θ，∠CEF＝－θ，∠CFE＝－＝＋θ，在△BDE中，由正弦定理知，即，所以BE＝2sin ，在△CEF中，由正弦定理得，即＝2，所以CE＝2sin ，所以BC＝BE＋CE＝2sin ＋2sin ＝2cos θ－)＋2(cos θ＋cos )＝2sin θ＋4cos θ＝2sin (θ＋φ)(其中tan φ＝，则存在θ使sin (θ＋φ)＝1，所以BCmax＝2. 答案：2 7．解：(1)因为(b＋c)(sin C－sin B) ＝a(sin A－sin B)， 由正弦定理可得(b＋c)(c－b)＝a(a－b)， 整理可得a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理得a2＋b2－c2＝2ab cos C，所以ab＝2ab cos C，所以cos C＝. 又因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)因为c＝2，由正弦定理得， 可得a＝sin A，b＝sin B， 因为A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin (B＋C)＝sin ， 则a＋b＝＝·(sin B＋＝4sin ， 又0<B<，则<B＋<， 当B＋，即B＝时，a＋b取得最大值为4. (3)由题意知：CD＝，c＝2， 由(1)知a2＋b2－c2＝ab，即4＝a2＋b2－ab， 因为CD为AB边上的中线，所以2， 两边平方得42＝2＋2＋2＝a2＋b2＋2ab cos C＝a2＋b2＋ab， 所以12＝a2＋b2＋ab， 联立方程组解得2ab＝8，所以ab＝4， 所以△ABC的面积S＝ab sin C＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训26　正、余弦定理 1．(2025·全国二卷T5，易)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 2．(2023·全国乙卷文T4，易)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则∠B＝(　　) A． B． C． D． 3．(2024·全国甲卷理T11，难)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝则sin A＋sin C＝(　　) A． B． C． D． 4．(多选)(2025·全国一卷T11，中)已知△ABC的面积为，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos A cos B sin C＝，则(　　) A．sin C＝sin2A＋sin2B B．AB＝ C．sinA＋sin B＝ D．AC2＋BC2＝3 5．(2023·新课标Ⅰ卷T17，中)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝7，b＝8，cos C＝，D为BC的中点，则AD＝(　　) A． B． C． D．11 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2－(b－c)2≥bc，角A为锐角，则角A的取值范围是(　　) A． B． C． D． 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin 2A＋sin (A－B＋C)＝sin (C－A－B)＋，且abc的取值范围是，则△ABC面积的取值范围是(　　) A．[1，2] B．[1，8] C．[2，4] D．[4，8] 4．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝2，点D在BC上，且∠CAD＝，2a cos B cos C＋2c cos A cos B－b＝0. (1)求B的大小； (2)若AC＝2，求AD的长． 1．(2026·云南昆明期中)已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，S△ABC＝b2sin B，则cos B＝(　　) A． B． C．－ D．－ 2．(2026·辽宁名校联盟联考)△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若S△ABC＝且·＝0，则△ABC的形状是(　　) A．顶角为120°的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 3．(多选)(2026·四川资阳一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin A＋sin C＝2sin B，b＝2，则(　　) A．△ABC的周长为6 B．a，b，c成等差数列 C．角B的最大值为 D．△ABC面积的最大值为 4．(多选)(2026·福建宁德期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列判断正确的是(　　) A．若A>B，则cos A>cos B B．若b cos A－a cos B＝0，则△ABC为等腰三角形 C．若cos A cos B cos C>0，则△ABC为锐角三角形 D．若满足条件A＝，c＝2的△ABC有两个，则a的取值范围为 5．(2026·山东烟台期中)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，若求c时有两解，则A的取值范围为________． 6．(2026·安徽六安月考)在等边三角形ABC的三边上各取一点D，E，F，满足DE＝3，DF＝2，∠DEF＝90°，则三角形ABC边长的最大值为________． 7．(2026·吉林长春月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，(b＋c)(sin C－sin B)＝a(sin A－sin B)． (1)求角C的值； (2)求a＋b的最大值； (3)若AB边上的中线CD长为，求△ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $