微专题集训25 三角函数的性质及其应用-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦三角函数性质（对称、单调、零点等），通过高考真题与模拟题构建从基础应用到综合参数求解的逻辑链条，强化一轮复习针对性突破，培养推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质应用|5题（含2023全国乙卷T6等）|选择填空为主，直接考查对称中心、对称轴、单调性|从三角函数定义到性质的直接应用，构建概念与性质的对应关系| |综合参数与性质|4题（含2023新课标Ⅰ卷T15等）|填空解答结合，涉及参数ω/φ求解、值域与单调区间综合|性质与参数结合的推导过程，形成“性质应用-参数确定-综合问题解决”的逻辑链|

微专题集训25　三角函数的性质及其应用 1．(2025·全国一卷T4，易)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A． B． C． D． 2．(2023·全国乙卷理T6，文T10，易)已知函数f(x)＝sin (ω x＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 3．(2023·新课标Ⅰ卷T15，中)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是____________． 4．(2025·全国二卷T15，中)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝. (1)求φ； (2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间． 1．已知函数f(x)＝sin (4x－φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为(　　) A． B． C． D． 2．已知函数f(x)＝2sin (ω>0)在(0，π)上单调递增，则ω的最大值为(　　) A． B． C． D． 3．若函数 f(x)＝sin x＋cos (x＋φ)(<φ<)的最大值为1，则常数φ的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 1．(2026·北京首都师范大学附中月考)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤>f(π)，则f(x)的单调递增区间是(　　) A．[，kπ＋](k∈Z) B．(k∈Z) C．[，kπ＋](k∈Z) D．[，2kπ＋](k∈Z) 2．(多选)(2026·河北邯郸九校联考)已知函数f(x)＝tan 的最小正周期为T，点(a，0)是曲线y＝f(x)的一个对称中心，则(　　) A．T＝ B．f(T)＝ C． D．当tan x0＝－时，f(x0)＝－ 3．(2026·陕西咸阳模拟)若x＝θ时，函数f(x)＝2sin x－cos x取得最小值，则sin ＝______． 4．(2026·广东深圳一模)若f(x)＝a sin ＋b cos (ab≠0)是偶函数，则有序实数对(a，b)可以是________．(写出你认为正确的一组数即可)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训25　三角函数的 性质及其应用 [真题精准练] 1．B　正切函数y＝tan x图象的对称中心为(k∈Z)．由点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，可知a－(k∈Z)，即a＝(k∈Z)．由a>0可得，当k＝0时，a取得最小值.故选B. 2．D　由题意得，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝＝sin ＝sin ＝sin ，故选D. 3．解析：因为0≤x≤2π，ω>0， 所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0， 则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 由余弦函数y＝cos t的图象可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. 答案：[2，3) 4．解：(1)因为f(x)＝cos (2x＋φ)，且f(0)＝cos φ＝， 所以φ＝. (2)由(1)可知，f(x)＝cos ， 则g(x)＝cos ＋cos [＋] ＝cos ＋cos 2x ＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x ＝cos 2x－sin 2x ＝cos 2x－) ＝cos . 因为x∈R，所以cos ∈[－1，1]， 所以函数g(x)的值域为. 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递减区间为[，kπ＋]，k∈Z； 令2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递增区间为[，kπ－]，k∈Z. [高考变式练] 1．D　令4×＋kπ，k∈Z，则φ＝－kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以当k＝0时，φ＝.结合选项，A，B，C中的数值取不到．故选D. 2．D　因为ω>0，当0<x<π时，－<ωx－<ωπ－，因为函数f(x)在(0，π)上单调递增，则(，ωπ－)⊆，故解得0<ω≤，故ω的最大值为.故选D. 3．C　f(x)＝sin x＋cos (x＋φ)＝sin x＋cos x cos φ－sin x sin φ＝(1－sin φ)sin x＋cos φcos x，令cos θ＝，sinθ＝，则f(x)＝(sinx cos θ＋cos x sin θ)＝·sin (x＋θ)，因为x∈R，－1≤sin (x＋θ)≤1，所以f(x)的最大值为，从而cos2φ＝1，则sinφ＝，因为－<φ<，所以φ＝.故选C. [最新模拟练] 1．C　若f(x)≤＝sin ＝＝±1，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z⇒φ＝kπ＋，k∈Z，又所以sin >sin (2×π＋φ)⇒－sin φ>sin φ，即sin φ<0，则φ＝2kπ－，k∈Z，由周期性可取φ＝－，所以函数f(x)＝sin ，令2kπ－≤2kπ＋，k∈Z⇒kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是[，kπ＋]，k∈Z.故选C. 2．ABD　对于A，由f(x)＝tan ，得T＝，故A正确；对于B，已知函数周期T＝，则f(T)＝f＝tan ＝，故B正确；对于C，由2x＋(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，即a＝－(k∈Z)，当k＝1时，，故C错误；对于D，已知tan x0＝－，则tan 2x0＝，f(x0)＝tan＝ ＝－.故D正确．故选ABD. 3．解析：f(x)＝2sin x－cos x＝sin x－＝sin (x－φ)，其中锐角φ满足sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ－，k∈Z时，f(x)min＝因此θ＝－＋φ＋2kπ，k∈Z，那么cos θ＝cos ＝sin φ＝，sin θ＝sin ＝－cos φ＝－，所以sin ＝sin θcos ＋cos θsin . 答案： 4．解析：f(x)＝a sin ＋b cos ＝a sin x＋a cos x＋b sin x＝sin x＋cos x，注意到y＝cos x是偶函数，所以当a＋b＝0(ab≠0)时，f(x)＝cos x是偶函数，所以有序实数对(a，b)可以是. 答案：(答案不唯一，满足条件(t≠0)即可) 学科网（北京）股份有限公司 $