微专题集训23 三角恒等变换-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦三角恒等变换高频考点，通过高考真题与模拟题系统覆盖公式应用，强化运算能力与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高考真题|9题|给值求值、公式逆用、二倍角转化|以两角和差公式为核心，关联同角关系、二倍角公式的推导与变形应用| |模拟提升|10题|综合恒等变形、最值问题、跨模块结合|从基础公式应用到复杂情境转化，构建“公式记忆-结构识别-灵活变形”的逻辑链条，体现模型意识|

微专题集训23　三角恒等变换 1．(2025·全国二卷T8，易)已知0<α<π，cos ，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 2．(2024·新课标Ⅰ卷T4，易)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 3．(2021·新高考Ⅰ卷T6，易)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． 4．(2023·新课标Ⅱ卷T7，易)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 5．(2023·新课标Ⅰ卷T8，易)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 6．(2020·全国Ⅰ卷理T9，易)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 7．(2021·全国甲卷文T11，中)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A． B． C． D． 8．(2022·新高考Ⅱ卷T6，中)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 9．(2024·新课标Ⅱ卷T13，中)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 1．已知α，β满足sin (2α＋β)＝，cos (α＋β)sin α＝，则sin β的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 2．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°－＝(　　) A．0 B．2 C．2 D．－2 3．已知α，β都是锐角，且＝cos (α＋β)，则tan β的最大值为________． 4．已知sin α＋2sin β＝2，则cos (α＋β)的最大值为________． 1．(2026·广西来宾模拟)已知tan －＝4，则＝(　　) A．2 B． C． D．3 2．(2026·云南昆明月考)若0<α<，0<β<，cos (α＋β)＝，sin ＝，则cos ＝(　　) A． B． C． D． 3．(2026·江苏扬州月考)已知cos (α＋β)＝，tan αtan β＝2，则cos (2α－2β)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 4．(2026·山东日照模拟)已知α，β∈，sin (α＋β)＝，tan α＝5tan β，则α－β＝(　　) A．－ B． C．－ D． 5．(多选)(2026·河南南阳期中)已知cos ＋sin α＝，α∈，则(　　) A．sin ＝ B．cos ＝－ C．sin ＝ D．cos ＝ 6．(2026·辽宁丹东阶段测试)已知f(x)＝a sin x＋b cos x，f(x0)为f(x)的最大值，f(x0)＝当tan x0＝－时，则ab＝________． 7．(2026·内蒙古赤峰模拟)已知sin β＝，cos α·cos (α－β)＝，则tan α－tan (α－β)＝________． 8．(2026·江苏南通期中)若tan (α－20°)＝，则tan (2α＋140°)＝________． 9．(2026·吉林长春期中)已知m＝，n＝(2cos x，sin x)，函数f(x)＝m·n. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若f＝，求sin . 10．(2026·江苏扬州模拟)已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训23　三角恒等变换 [真题精准练] 1．D　因为cos ，所以cos α＝2cos2，又0<α<π，所以sin α＝，则sin ＝(sin α－cos α)＝＝.故选D. 2．A　由cos (α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①.由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m，故选A. 3．C　＝ ＝ ＝sin2θ＋sinθcos θ＝.故选C. 4．D　因为cosα＝1－2sin2，而α为锐角， 解得sin＝ ＝ .故选D. 5．B　因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，所以sin αcos β＝即sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以cos (2α＋2β)＝cos [2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×2＝.故选B. 6．A　由3cos2α－8cos α＝5，得3cos2α－4cosα－4＝0，所以cos α＝－或cos α＝2(舍去)，因为α∈(0，π)，所以sin α＝.故选A. 7．A　因为tan 2α＝，所以cosα－＝2(2－sin α)，即， 所以sin α＝.又α∈，所以cos α＝，所以tan α＝.故选A. 8．C　由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，所以tan (α－β)＝－1.故选C. 9．解析：由题知tan (α＋β) ＝ ＝－2，即sin (α＋β)＝－2×cos (α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan (α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，故sin (α＋β)＝－. 答案：－ [高考变式练] 1．B　由题意知sin (2α＋β)＝，即sin [(α＋β)＋α]＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α＝，而cos (α＋β)sin α＝，故sin (α＋β)cos α＝－cos (α＋β)sin α＝，故sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝.故选B. 2．B　由tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan (25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋＝＝tan (45°＋75°)＝所以，原式＝－＝2.故选B. 3．解析：因为＝cos (α＋β)，所以cos (α＋β)sin α＝sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α，所以tan (α＋β)＝2tan α，即tanα＋tan β＝0，又因为α为锐角，所以该方程有解，即Δ＝1－8tan 2β≥0，解得－≤tan β≤，又因为β锐角，所以0<tan β≤.所以tan β的最大值是. 答案： 4．解析：设α＋β＝θ，则α＝θ－β，所以sin (θ－β)＋2sin β＝(2－cos θ)sin β＋sin θcos β＝2，由辅助角公式得sin(β＋φ)＝2≤，其中tan φ＝，当β＋φ＝＋2kπ时取等号，解得cos θ≤，即cos (α＋β)的最大值为，不妨取θ为锐角，此时有tan φ＝，tan β＝，符合题意． 答案： [最新模拟练] 1．B　因为tan －tan ＝4，所以＝4，即＝4，所以tan2α＋tanα＝1，所以 ＝ ＝.故选B. 2．C　因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，所以sin (α＋β)＝，又－<β－<，所以cos＝，所以cos＝cos ＝cos (α＋β)·cos ＋sin (α＋β)·sin ＝.故选C. 3．B　已知cos (α＋β)＝，tan αtan β＝2，则cos αcos β－sin αsin β＝＝2，即cos αcos β＝－，sin αsin β＝－，则cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，所以cos (2α－2β)＝2cos2(α－β)－1＝2×2－1＝－.故选B. 4．B　因为tan α＝5tan β，所以，即sin αcos β＝5cos αsin β，又因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，又因为α，β∈，可得α－β∈，所以α－β＝.故选B. 5．ABD　由题得cos ＋sin α＝cos α－sin α＋sin α＝sin α＋cos α＝sin ＝，故A正确；又α∈，所以α＋∈，所以cos ＝，故B正确；sin＝sin [＋]＝cos ＝1－2sin 2＝1－2×2＝－，故C错误；cos ＝cos [＋]＝－sin ＝－2sin cos ＝－2×＝，故D正确．故选ABD. 6．解析：　利用辅助角公式得f(x)＝a sin x＋b cos x＝sin (x＋α)，其中α满足 cos α＝ 和 sin α＝.这个函数的最大值是 ，因此：，平方得a2＋b2＝20，在 x＝x0 时，f(x) 取得最大值，此时x0＋α＝＋2kπ，k∈Z即x0＝－α＋2kπ，tan x0＝，又cos α＝ 和 sin α＝，代入得tan x0＝＝ －，得b＝－3a，联立 解得 或 所以ab＝－6. 答案：－6 7．解析：tan α－tan (α－β)＝＝ ＝. 答案： 8．解析：tan (α－20°)＝＝ ＝ ＝－4，所以tan (α＋70°)＝tan (90°＋α－20°)＝，所以tan (2α＋140°)＝. 答案： 9．解：(1)由f(x)＝m·n＝2sinx cos x＋2sin2x＝sin2x－cos 2x＋1＝令－＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[＋kπ，](k∈Z)． (2)由f＝2sin ＋1＝，得sin ＝，则sin ＝sin [＋]＝cos ＝1－2sin 2＝. 10．解：(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α. 因为sin2α＋cos2α＝1，cos2α＝， 因此cos2α＝2cos2α－1＝－. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝，所以tan 2α＝， 因此tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $