微专题集训21 利用导数研究函数零点-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦利用导数研究函数零点，通过高考真题与模拟题系统覆盖参数范围、零点证明等核心题型，构建导数应用与函数性质的逻辑链条，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |参数范围确定|4题（含2023全国乙卷文T8）|已知零点个数求参数，涉及三次、指数函数|导数求单调性→极值→最值与零点关系| |零点证明与比较|3题（含2025全国二卷T18）|证明零点唯一性、比较极值点与零点大小|函数构造→导数分析单调性→零点存在定理| |综合应用|2题|含切线、恒成立的零点综合问题|导数几何意义与函数性质综合应用|

微专题集训21　利用导数研究函数零点 1．(2023·全国乙卷文T8，中)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3，0) 2．(2025·全国二卷T18，难)已知函数f(x)＝ln (1＋x)－x＋x2－kx3，其中0<k<. (1)证明：f(x)在区间(0，＋∞)存在唯一的极值点和唯一的零点． (2)设x1，x2分别为f(x)在区间(0，＋∞)的极值点和零点． (ⅰ)设函数g(t)＝f(x1＋t)－f(x1－t)，证明：g(t)在区间(0，x1)单调递减； (ⅱ)比较2x1与x2的大小，并证明你的结论． 1．已知函数f(x)＝eax－x2在(0，＋∞)内有两个不同的零点，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2．已知函数f(x)＝(2x＋a)ex，其中a为常数． (1)若函数f(x)的极小值点为x＝－，求a的值； (2)若f(x)≥e3在x∈[0，1]时恒成立，求实数a的取值范围； (3)当a＝1时，若函数g(x)＝f(x)－kx在(－∞，0)上恰有两个不同的零点，求实数k的取值范围． 1．(2026·北京东城模拟)设函数f(x)＝4ln x－x(x>0)，则y＝f(x)满足(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 D．在区间，(1，e)内均无零点 2．(2026·四川南充月考)若函数f(x)＝ex(x2－2x＋1－a)－x恒有2个零点，则a的取值范围为________． 3．(2026·河南开封阶段性检测)已知函数f(x)＝a2e2x－x ln x＋x ln a(a>0)，若方程f(x)＝0有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是________． 4．(2026·安徽池州模拟)已知f(x)＝2x＋a－x2. (1)当 a＝0时，求f(x)在x＝2处的切线方程； (2)若f(x)只有一个零点，求 a的取值范围． 5．(2026·广东广州模拟)已知函数f(x)＝ae2x－(a＋2)ex＋x＋2，a∈R. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 微专题集训21 利用导数 研究函数零点 [真题精准练] 1.Bw)=x+x十2，则fx)=3x2+a,若)要存在3个零点，则x)要 存在报大值布报小值，则0，令)3r-a0,锯得x=一号或号，且 当x∈(-0，- 号u号，网0：当e枵.号 fx)<0,故)的极大值为 极小值为 Q 3 若)要存在3个零点，则 & >0 即 <0， &.2a 90+2>0, 3V3 解得K-3,故选B. 2a.0+2<0, & 3Y3 2.解：证明：由)=1血1+)-x+2-, 当0时，令f)=0,解得和=3R-1.因为0有，所以031，则= 3K1>0. 当0<x时，f(x)>0,x)单调递增；当xx时，f(x)大0，w单调递减， 所以利在0，十9让有唯-一的极大食点如=欢-1 因为x=0时，x)=0,当x一→+∞时，x)→-∞，且xo)≥0)=0，所以x) 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 在(x,十∞)上有唯一的零点，所以)在(0，十∞)上有唯一的零点· ②)证明：0=+力-九-)，且由0①知==3头1，则3派 1 X1+1 则g()=f(十)+f(x-) -10313 1 /1 1 1 1 =a+0x+t+1x++-0x-t+1x+ - t =6+0x+t+1x+1+61-0x-t+1x+1 tt+xt+1 x1+t+1x1-t+1x1+1 tt-+x--- (x+t+1x1-t+1x,+1 -t[2tx好-t+4xt] x+t+1x1-t+1x+1 -2t2x-t2+2x (x,+t+1x1-t+1x1+1? 因为t∈(0，)时x好-t+2x>0,x+t+1川x1-t+1川x1+1>0,-2t<0,所以 8(00, 则g()在区间(0，x)上单调递减. (i)2x1>x2,证明如下： 由(1)知g()在(0，x1)上单调递减，则gx)g0)=x1+0)一一0)=0， 所以gx1)=x1+x)-x-x1)=2x)-0)=2x1)-0=2x)0 因为x是x)在(0，十∞)上的零点，所以x)=0,即2x1下x). 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 由(1)知x∈(1，十o),且x)在(1，+o)上单调递减，所以2x1>x2. [高考变式练] 1.B显然0)=1，x)=e-x2有两个零点，即方程e=x2在(0，十∞)上 有两个解，x=2m飞，在0，+o9)上有两个解，令的=2hmx-,g)三是 0,g)-a0▣成立，即g)=2hx-am在(0，+c∞)上 不袋合是考：枚0，白g0的是0，界名出0的是0，得0名 :8的在0，名上染调随型，后，上*调递流又当一0时，8对- +世，)，因为的有两个零点，则区2222 得aK。所以a的取值范围是0， e 故选B 2.解：(1)因为x=(2x+a)e,则f(x)=e'(2x十a+2e=e(2x+a+2), 易知当> 2时，)>0，当K-a+2 Q+ 时，fx大0， 则)在-0，.a+2 2 单河造减，在生，+四上单活造装， 故函数树的极小值点为x= a+2=.1 2,解得a=-1. (2)x)≥e3在x∈[0,1]时恒成立，等价于a≥e3x-2x在x∈[0,1]时恒成立， 令(x)=e3x-2x,x∈[0,1]，则a≥1(x)mx, 因为m'(x)=一ex-2<0,则m(x)在[0,1]上单调递减， 则(xmx=(0)=e3,所以a≥e3, 所以实数a的取值范围是[e3,十∞). (3)当a=1时，x)=(2x+1)e,则gx)=x)-kx=(2x+1)e-kx, 独家授权侵权必究 。学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 令2x+1De--0,0,则k-2x+1C0, 令h)=2x+1e 则0的2x+3kc2x+1e-2x-1小x+e, 因为x<0,则2x-1<0, 当x∈(-∞，-1)时，h(x)>0;当x∈(-1,0)时，'(x)<0, 所以h(x)在(-∞，一1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减， 故=M-)=君 1 1 易知M2=0,当K-2时， h0,-D时，=D, 当x→-o时，h(x)→0，当x→0且x<0时，h(x)→-∞， 作出h(x)的大致图象（如图）： y=h(x) 因为x)在（一∞，0）上恰有两个不同的零点， 即y=k,h()= 2x+1e 在(-∞，0)上有两个不同的交点，故0<kK2 故实数k的取值范园为0，已 [最新模拟练] 1.C九侧=仙-x尚定义域方0，+o),求导得-是1=4，当 0<x<4时，f(x)0;当x>4时，f(x)0,故函数x)在(0,4)上单调递增，在(4， 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 +o)上单调递减，故x=4时，函数x)取得极大值为4)=4n4一1)>0，又e) =4lne-e=4-e>0,1)=4lm1-1=-1<0,f -仙4-合0，即 区问日上恒有对0，又白零点存在定理∈(1,9。使得0-0，甲西 数在区间己1内无零点，在区间1，©内有零点.故选C 2.解析：由题意可得e(x2-2x+1-)-x=0有两个实数根，分离参数得1 -a=e-r+2x,令86=-r+2x,g0w=L-xl1+2 X ,由g(x)= e 1-x1+2c0可得l,自g0闲=1-x1+2c >0可得x<1,所以g)在(-∞， )上单调递增，(1，+)上单调递减，g)=。+1,当一十∞时，g 心，当一-四计，约-，齐以1-0,1+听以日+ 答案： 3.解析：由题知>0，又a>0.令x=0,可得ae2x-x1nx+x1na=0,则 x2,x2 de"=x In a,即2re2r 则2e=en ,且血a0,令g)= e,则g2)=8lna g(x)=e+xe.因为x>0,所以g(x)>0,则函数gx)=xe 在区间(0，+)上单调递增，所以2x=血a,即x-1nx=-血a,所以方程 =0有两个不同的实数解等价于方程x一lnx=一a有两个实数解，即函数ω(x) =-hx与)=-ha的面家有河个不司的交点。因为o倒=1一}- w'(x)>0,得x>1;令o'(x)0,得0<≤1，所以函数o(x)=x-nx在区间(0,1)上 单调递减，在区间(1，十∞)上单调递增，则o(x)mm=1.又因为当x一0时，o(w) 独家授权侵权必究 。学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 十∞；当一+∞时，w)一+∞，所以-血aPl,解得K。又因为a0,所以 0a 答案： 0, 1 e 4.解：(1)当a=0时，x=2x-x2,所以fx)=2x1n2-2x, 令x=2得2)=0，f(2)=4n2-4, 所以)在x=2处的切线方程为y=(4n2-4)x-2). ⊙注袋0=0，令0=0系品-三-网，月带网只有-个零京，等 价于y=2与g=专的函数图象在(-0,0)U(0,+)上有一个交点， 2* 2 因为g6)=c血2-2)，令g四=0r=n2 2 2 所以当(-∞，0)Un2’+0时g(w0,当0，n2时g(0, 2 所以在(-∞，0)和2'+o0上单调递增，在0， 2 2上单调递减， 且im8X=0,m口gx=+o0,m8X=+∞，8h2 2 x-0 2 2n2 2下，)>0，如图， In2 2品 y=g(x) 22 In2 y=a 0 2 In2 2 所以结合象知元∈0,82户a∈|21ogen2'+o 1 2 5.解：(1)当a=1时，x=ex-3e+x+2,0)=1-3+2=0, 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 fx)=2e2x-3e+1,f0)=2-3+1=0, x)在点(0,0)处的切线方程为y=0 (2)函数的定义域为R,fx)=2ae2x-(a+2)e+1=(ae-1)2ex-1), (i)当a≤0时，ae-1<0,令f(x0得x>-n2, 所以x在（一∞，一ln2)上单调递增，在(-n2,十∞）上单调递减； (i)当a>0时，则由fx)=0得x=-na或x=-n2, 当a=2时，f(x)=(2e-1)≥0，所以x)在(-∞，+∞)上单调递增； 当0<K2时，-lna心-ln2,令f(x)<0得-ln2<x-na, 所以x)在(-c∞，-ln2)和(-lna,+o)上单调递增，在(-n2,-n四上 单调递减； 当a>2时，-naK-n2,令f(x0得-nKx<-1n2, 所以fx)在(-∞，一na)和(-n2,十o)上单调递增，在(-na,-n2)上 单调递减 综上所述， 当a≤0时x)在(-∞，一n2)上单调递增，在(-ln2,+∞)上单调递减； 当0<2时fx)在(-∞，-n2)和(-na,+∞)上单调递增，在(-n2,- na)上单调递减； 当a=2时，)在(-∞，十∞)上单调递增； 当a>2时，fw在(-o∞，-na)和(-n2,十∞)上单调递增，在(-na, n2)上单调递减， 独家授权侵权必究