微专题集训20 利用导数研究不等式-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦导数研究不等式，通过高考真题与模拟题系统覆盖单调性分析、参数范围求解及不等式证明，构建导数与函数性质的逻辑链条，培养推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数应用综合|含2024新课标Ⅰ卷T18等|多问解答题为主，结合选择填空，涉及极值、恒成立、中心对称证明|以导数工具为核心，连接函数单调性、最值与不等式，从单一参数求解到综合证明递进|

微专题集训20　利用导数研究不等式 1．(2024·新课标Ⅰ卷T18，难)已知函数f(x)＝ax＋b(x－1)3. (1)若b＝0，且f′(x)≥0，求a的最小值； (2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形； (3)若f(x)>－2当且仅当1<x<2，求b的取值范围． 2．(2025·全国一卷T19，难)(1)求函数f(x)＝5cos x－cos 5x在区间的最大值； (2)给定θ∈(0，π)和a∈R，证明：存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cos y≤cos θ； (3)设b∈R，若存在φ∈R使得5cos x－cos (5x＋φ)≤b对x∈R恒成立，求b的最小值． 1．已知函数f(x)＝x－a ln x－3ex-1，x∈[1，＋∞)． (1)若f(x)是单调递减函数，求实数a的取值范围； (2)当a≥1时，证明：f(x)＋x2＋1≤0. 2．已知函数f(x)＝ax＋1，g(x)＝ex. (1)讨论函数h(x)＝g(x)－f(x)的单调性； (2)若∀x∈R，f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：x ln x＋x cos x＋1<g(x)． 1．(2026·北京清华大学附属中学月考)若(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝ln x图象上两个不同的点，则下列结论中正确的是(　　) A．y1<x1－1 B．y1－y2>x1－x2 C．y1＋y2<x1＋x2 D．x1x2＋y1y2>0 2．(多选)(2026·河北邯郸期中)已知函数f(x)＝a ln x－bx有极小值，且极小值小于0，其中a，b都是实数，则(　　) A．ab>0 B．f(e)>0 C．f＋b>0 D．f(x)在(1，2)内有2个零点 3．(2026·福建三明模拟)若存在x∈(0，＋∞)，使 ax2≥ex＋ax ln x成立，则a 的取值范围为________． 4．(2026·湖南衡阳月考)已知函数f(x)＝＋ln x－x－m，g(x)＝－2x3＋6x＋1，若对任意的x1∈，总存在x2∈则m的取值范围为________． 5．(2026·黑龙江齐齐哈尔模拟)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝，l1为A(a，f(a))处的切线． (1)求f′(x)的最大值； (2)证明：－1<a<0，除点A外，曲线y＝f(x)均在l1上方； (3)若F(x)＝(1＋x)exf′(x)，证明：对任意的s，t∈(0，＋∞)，有F(s＋t)>F(s)＋F(t)． 6．(2026·山东东营模拟)已知函数f(x)＝2x＋cos x，g(x)＝ex－ax. (1)当a＝1时，求g(x)的最小值； (2)当x≥0时，g(x)≥f(x)＋x3，求实数a的取值范围； (3)若x1，x2是函数h(x)＝f(x)－2π(x－2)2的两个零点，且0<x1<x2<π，求证：<0. 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 微专题集训20利用导数 研究不等式 真题精准练] 1.解：(1x)的定义域为(0,2)， 若b=0,则)=ln2-x+ax, 2-x.2-x+x+a=2 f00-20·2-x网 x(2-x+a, 当x∈(0,2)时，(2-x)∈(0,1]， f(x)mm=2+a≥0，则a≥-2， 故a的最小值为-2. ②明：0-9h2+2-01-9=-h2六m-X-P42a =-x)+2a, 故曲线y=x)关于点(1，a)中心对称. (3)由题知1)=a=-2, 此时n2产x2x+bc1, 2 烟双·22X+2+32.2+a少=e9 〔2+3b1 记g=x2-x+3动，x∈0,2)，易知)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上 单调递增，(1)=2+3b, 当b≥-3时，≥0，f920, )在(0,2)上单调递增， 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 又1)=-2，故符合题意 当-号，80，的 2 +3b=3bx2+6bx+2 x2-x x(2-x] 令80=0，得x=1±1+3 2 因为-子所议1+品0，少，放1+1+品0,2,1-1+元 ∈(0,1)， 所以当，1+品时。 gx)0,fx)0,x)在 1,1++品 上单调道减，1+1+品 =一2，不符合题意. 综上，的取准克围为（号 +00) 2.解：(1)fx)=-5sinx+5si5x =5(sin 5x-sin x) =5[sin(3x+2x)-sin(3x-2x)] =5X2cos 3x sin 2x =10sin 2x cos 3x. 当r∈0，/时，m2x≥0,3x∈[0,37， 4 4 当3x∈0,2)，即xe0,石)时， c0s3x>0, 此时fx)≥0且等号不恒成立， 故在(0，晋)上单调递增； 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 3 当3x∈2' 4 即x∈ π 4 时，cos3K0, 此时f(x)0, 上单调递减， 所以当x∈0,4]时，-f -5cas日cws5g-6osg=3阳 (2)证明：aER,kEZ,使得a=2kπ十d,其中ad∈[-π，). 当=0时，[ad-0,d+]=[-0,],取y=2m+0,则y∈[a-B,a+], 且cosy=cos0. 当ad∈(0，)时，ad-0∈(-0，元-)，d+θ∈(0，元+θ)， 设y1=min{π，d+0},则y∈(0，元]， 因为gx)=cosx在[θ，y]上单调递减，所以cos<cos0, 取y=2km+M,则y∈[a-0,a+],且cosy=cosy1<cos0. 当∈[-元，0)时， d-0∈[-元-0，-0)， '+8∈[-π+0，θ， 记y2=nax{-元，ad'-θ}， 则y2∈[-元，-)， 因为gx)=cosx在[y2,一]上单调递增， 所以cosy<cos(-)=cos0, 取y=2kπ十2，则y∈[a-0,a+θ]，且cosy=cosy<cos0. 综上，存在y∈[a-0,a十)使得cosy≤cosB. (3)当0=0时，y=5cosx-cos5x,记x)=5cosx-cos5x, 因为y=x)是以2π为周期的偶函数， 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以只需考虑x∈[0，]时即可. (1)f(x)=10sin 2x cos 3x=20(4cosx-3).cosxsinx, 当x∈0，名)，x∈，T时，f≥0且不恒为0，单调递增，当 /5π ∈倍，时，网≤0且不恒为0，网单洞递减， 因为6 =33,m)=-4, 所以)x=3V3，所以b≥3V3】 当9≠0时，由②知3ef0g,p+号1，俊得c)≤cos 5n-.3 2 记)=5+。，由)e(0g,0+g7知6∈-g君1，所以5ca 6 -cs(6m+9)=50s-cosy≥5×2+5=33 22 所以bmin=3V3. [高考变式练] 1.解：(1)因为x)是单调递减函数， 所以=1-是-3e≤0，x∈[1，+oy恒成立， 所以a≥x-3xe1,x∈[1，+o∞)恒成立，即a≥(x-3.xex-)max,x∈[1，+ ∞)， 令g(x)=x-3xe1, 则g(x)=1-3(x+1)e-1<0, 所以g(x)=x-3xe在[1，十∞)上单调递减， 所以g(x)mx=g(1)=-2,所以a≥-2. 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 故实数a的取值范围是[一2，十∞) (2)证明：令h(x)=x-a1nx-3ex1+x2+1, 所以)-1-是-3e+2x,闪为a≥1， 所以h()-1-号-3e+2x≤1-是-38+2x, 令Mx)=e-x-1,则M(x)=ew-1, 因为x∈[1，+o∞)，所以M(x)=e-10,所以M(x)在[1，+o∞)上单调递增， 所以Mx)≥M1)=e-20,所以e>x+1,所以ex1≥x, 所以h60≤1-是3e1+2x≤1-13x+2x=1-x+ x> 因为x+≥2，当且仅当x=1时等号成立：所以0，所以)在[，十 o)上单调递减， 所以h()≤h(1)=0,所以x)+1+x2≤0得证. 2.解：(1)h(x)=e-ax-1,则h'(x)=e-a, 当a≤0时，h(x)0,h(x)在R上单调递增， 当a>0时，令h(x=e-a=0,解得x=l1na, 所以x∈(-o∞，na,h(x)<0,h(x单调递减， 所以x∈na,+oo),'(x)>0,h(x单调递增， 综上，当a≤0时，h(x)在R上单调递增； 当a>0时，h(x)在(-∞，na上单调递减，h()在(na,十∞)上单调递增. (2)由(1)可知 当a≤0时，h(x)在R上单调递增，所以hx)≥h(O)=0可得x≥0，不符合题 意； 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 当a>0时，由(1)可知h(x)的唯一极小值为hna),也即函数有最小值为hn a, 所以只需hnad≥0，又h(0)=0, 所以hn)=h(0),可得na=0,即a=1, 综上，实数a的取值范围为{1} (3)证明：要证xnx十c cosx+1<g(x, 即证xnx+x COSx-+1<e'(x>O), ①当x≥1时，先证nx≤x一1， 令m(9=1nx-x+1,则m6)=是-1=1：x≤0， X 所以(x在[1，+∞)上单调递减，故(x)≤(1)=0， 所以lnx≤x-1, 又cosx≤1，所以x cOsx≤x, 所以xnx+x COSx+1≤x(x-1)+x+1=x2+1, 令k(x=ex-x2-1,则k'(x)=e-2x, 令1(x)=e-2x,n'(x)=e-2, 当x≥1时，n'(x)=e-2≥e-2>0, 所以n(x)=e-2x在[1，+c∞)上单调递增， 当x≥1时，1n()≥(1)=e-2>0, 所以k(x)0,即k(x)在[1，十∞)上单调递增， 所以(x≥k(1)=e-2>0,即x2+1<e, 所以xnx十COSx-+l<e; ②当0<<1时，由nx<0,则x1nx<0, 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由cosx<I,则x cos X<x, 所以xnx+x COSx+1x+1, 易知e≥x十1，当x=0时等号成立， 所以当0<≤1时，x十1<e, 所以xnx十K COSx-+l<e*; 综上，当x>0时，xnx+x COSx十1<e,即xnx十COSx-+1<gx). 「最新模拟练] 1.C若(x1,),(x2,y)是函数y=mx图象上两个不同的点，则=1n 为血6对于A设网=血-+1，则f倒=1=，由树0，待 X 0<x<1,由f()<0,得x>1,则函数x)在(0,1)上单调递增，在(1，+o)上单调 递减，而1)=0，得术x)≤1)=0，即nx-x+1≤0，得nx≤x-1,故A错误； 对于B,取x=4,x=2,得y1=n4=2n2，,=n2,则Ⅵ-y=n2<x1-x2= 2,故B错误；对于C,由A项知，nx≤x-1,则lnx≤x-1<x,得n<x, 1 得h<,y<,得M十y<x1+,故C正确；对于D,取x=e,=e,得1= ne=1,为=ln。-1,则x+=eX2+1X(-)=0,放D错误.数逢C 2.AC刚a血X的定义拔为0，十e),f)=是b=a地，当b 0且a=0时，f=0,函数)不存在极值；当b=0且a>0时，f)=是0，函 数)在(0，十∞)上单调递增，不存在极值；当b=0且a0时，f)-是0，函 数)在0，十)上单调递减，不存在板值，所以b≠0；由)=a-bm=0,得 X x=号，画数)=a血x一i有校小值，所以f)=0在0，十)上有实数解，所 独家授权侵权必究 。学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 以x=号0，从而h0,当a0且b0时，0号时，)0，无)单调递增；心 号时，f0)0,无总两递减，故无网在0，十∞)止有报大值，设有板小值，不符 合题意；当a0且b0时，0号时，f0,利单润违减；号时，f)0, Q )单调递增，故当x=时，)在(0，+)上有极小值，极小值为 =a In 6-a,综上，K0且b0,ab>0,故A正确；函数x)=anx-bx的极小值小 于0，即aln号a<0,所以n8-1>0,可得号心，从而abe,e=alne-ie=a -6e0,我B袋误；付+6=al2资+bah专台-ah2-多6elh2计 1+b b 1 b=-bln2-lne2>-blln22-lnVe=-b(lnV(16)-hnV(e)0,故C正确；因为 0<号时，单调递减，而号e,所以0<e时，九单洞递减，从而1<2时， a x)单调递减，则x)在(1,2)内至多有一个零点，故D错误，故选AC 3.解析：不等式m≥e十xnx成立等价于a心-h可≥g-e也，令 n0,易知r1是-，男知1￥血在0，）止单调逢城，在 1,十∞)上单词递增，所以≥L,则上迷不等式等价于a≥≥1)有解，设 ,可知f0= e 仓，显然0在Q,+∞上单凋违增，即他≥仙=e,则 a≥e. 答案：[e,十∞) 4.解析：由题意得，)≤g,由九-￡+nx一x一m,tE (2,e],则fo=x-1c+是-1=x-1e+xx-x-1e*-x 设h)=e 2 x2 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 x,x∈，e7,则hx=e-1>0,所以数)在，e]上单调滟 增，则h(x)≥h -刀eA111e·f1/e刀-0，令f0,得是≤1，令f 0,得1<x≤e,所以函数在[，1)上单调递减，在1，e上单调递 增，所以)am=)=e-1-m由)=-2+6+1，xe2,1],则g0m =-6r2+6=-6c+1c-1)≥0，所以函数g的在[2,1]上单调递增，则 n=-车，由fxhn8xn'则e-1-me卓，剧w≥。-翠所 19 以m的取值范围为(e.19 ,+0)」 4 答案：[e.19 ，+0) 5.解：0因方xE(-1,+,令1=1中，则60，设0=求号得 1-Int 8'(0= t2 令g(©=0，解得t=e, 当t∈(0，e)时，g(t)>0,g()单调递增，当t∈(e,+∞)时，g(0)<0,g()单调 递减； 所以0在1日时取得最大值，最大值8e)=-。,即心)的反大值为日 (2)证明：因为4为A(a,)处的切线，所以切线1的方程为y=f(a)x一a)十 fd), 令h(x)=x)-f(a(x-a四+a],则h(ad=d-[f(a①(a-ad+ad]=0, 求导得h(=f)一f@= In1+x In 1+a) 1+x1+a1 由(1)知，f(x)=g((t=1+x)在(0，e)上单调递增， 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当-1<K0时，0<1十K1,则g()在(0,1)上单调递增： 若x>a,即1+x>1+a,则h(x)0,h(x)单调递增； 若x<a,即1+x<1十a,则h(x)<0,h(x)单调递减； 若x≥0，即1+x≥1，则g(1+x)≥g1)=0,而g(1十a)0,故h(x)>0,h(x) 单调递增； 所以h(x)在x=a处取得最小值h(a)=0, 所以当x≠a时，h(x)>0,即曲线在切线上方（除A点外），命题得证. 6)证明：因为-Q+e)=a十en1t-enQ十对，求导得F 1+X 的ela1+x+中x3, 令田=G的，则G=eLIn1+x+x士习 21 令=l血(1+为+1+x1+x平，求导得 12 42 x2+1 H(=1+x1+xP1+x31+x3, 因为x>-1,所以H'(x)>0, 所以H(x)在[0，+∞)上单调递增，所以H(x)≥H(0)=10, 所以G'(x)>0在[0，+∞)上恒成立，故G(在[0，十∞)上单调递增， 因为F0)=0, 所以原不等式F(s十)>F(s)+F①等价于F(s+)-F(s)>F()-F(O), p(x)=F(x+-F(x)=e*In (1+x+)-e*In (1+x), 所以p=e:Ilnl1+x+tl+]-elnl1+x+,1J 1+X+t 1+X =Gx+)-G(x), 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 因为G(在(0，十∞)上单调递增，>0， 所以G(x十)>G(x),p'(x)=G(x+)-Gx)0,px)在(0，+o)上单调递增， 所以对任意的5，t∈(0，+∞)，p(S)>p(O),即F(+)-Fs)>F()-F(0), 所以对任意的5，E(0,十∞)，有F(s+)>Fs)十F(),命题得证 6.解：(1)当a=1时，gx)=e-x,则g(w=e-1, 令g()=e-1=0,解得x=0, 当x∈(-∞，0)时，g(x)0,g(x)在(-∞，0)上单调递减， 当x∈(0，+∞)时，g(x)>0,gx)在(0，+∞)上单调递增， 所以g(x)mm=g(0)=1,即g(x)的最小值为1. ②设0=86)术0-言-e-m-2x-cosx石6≥0. 1 1 则F'(田=e-a-2+sinx-2x(x≥0)， 令p)=e-a-2+sinx-2x(6≥0)，则p'()=e+cosx-x(x≥0)， 由(1)可知e-x≥1，则0'(x)=e+cosx-x≥1十cosx≥0， 可得p(x)在[0，+∞)上为增函数，即F(x)在[0，十∞)上为增函数， 所以F'(x)≥F(0)=1-a-2=-a-1. 当一a-1≥0，即a≤一1时，F(x)≥0，此时F(x)在[0，+∞)上为增函数， 故F≥0)=0，即的-m石≥0，所以8的≥+后X,符合题意. 当-a-1<0,即a>-1时，F(0)<0, 因为F(x)在[0，十∞)上为增函数，x一十∞时，F(x→十∞， 故存在x∈(0，十∞)满足F(xo)=0, 则当x∈(0，o)时，F(x大0， 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 即F(x)在(O,x)上单调递减， 即当x∈[0，xo)时，F(x)≤F(O)=0,不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为（一∞，一1] (3)证明：由题意得h(x)=2x+cosx-2π(x-2)2, 由h(x1)=h(x)可得2x1十c0sx1-2π(x1-2)2=2x2十c0sx3-2π(x2-2)2, 所以2(x1-)-2π(x1一)1+x-4)+C0sx-c0sx2=0, 又0<x1<x<,两边同时除以x1一x2,得2一2π(x1+x一4)十 COS X1-COS X2_ X1-X2 0, 所以2一2π(x1+x2-4)+ cos- 1+x2X1-X2 X1+X2X1-X2 2 2 22=0, X1-X2 -2sin- +x2sin X1-X2 所以2-2π(x1+x2-4)+ 2 2_=0, X1-X2 X1-X2 令8=Xx2,得2-2π(20-4)-25in6sin 2=0, X1-X2 2sin0sin七-* 2 sinsin X1-X2 2 即2-4π(0-2)= X1-X2 X1-X2 2 因为h(x)=2-sinx-4π(x-2), sin0sin戈￥ X1-X2 sin 2 2 所以h'(0)=2-sin0-4π(0-2)= -sin sin X1-X2 X1-X2 2 2 8, 独家授权侵权必究 。学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 则W()=cosx-1≤0， 所以(x)在 2’ 2上为减函数，且(0)=0， 所以当x∈ 2?0时，sm0, sinX∠1， X sin七 2 --1<0, 2 又因为0∈(0，)，所以1n8>0, X1+X2 故h(O0,即h2 <0 独家授权侵权必究