微专题集训19 三次函数的性质研究-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 以高考真题及模拟题为载体，系统覆盖三次函数极值、零点、对称性、切线等核心性质，通过问题链构建知识逻辑，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质综合应用|含2道高考真题及6道模拟题|多选为主，结合填空与解答|以导数应用为核心，串联极值点判定、单调性分析、对称中心证明及零点存在性推导，形成“概念-性质-应用”逻辑链条|

微专题集训19　三次函数的性质研究 1．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷T10，中)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　) A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点 C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 2．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷T11，难)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　) A．当a>1时，f(x)有三个零点 B．当a<0时，x＝0是f(x)的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴 D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心 1．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x3＋x2－x＋2，则(　　) A．当x<0时，f(x)＝－x3＋x2＋x＋2 B．f′(－1)＝－4 C．f(x)在和上单调递减 D．f(x)有2个极小值点 2．(多选)已知函数f(x)＝x3－3x－1，则(　　) A．f(x)在(－1，1)上单调递减 B．f(x)的极大值为1 C．f(x)的图象关于(0，0)对称 D．若方程f(x)＝1的解为x1、x2，则x1＋x2＝1 3．已知函数f(x)＝若函数f(x)的最大值是2，则a的取值范围是________． 1．(2026·浙江杭州教学质量检测)设函数f(x)＝x3＋3x2＋6x＋5，若f(a)＝15，f(b)＝－13，则a＋b＝(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 2．(2026·贵州部分学校联考)已知函数f(x)＝ax2＋b，x＝－2是f(x)的一个极值点，且f(x)在[－3，2]上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为(　　) A． B． C． D． 3．(多选)(2026·四川广安月考)已知函数f(x)＝x3＋3x2＋mx－3，则(　　) A．当m<3时，函数f(x)有两个极值点 B．∃m∈R, 使得f(x)在R上为减函数 C．过点(0，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且仅有一条 D．当m＝1时，若2b＝a＋c，直线ax－by－c＝0与曲线y＝f(x)有三个交点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x3，y3)，则x1＋x2＋x3＝－3 4．(2026·黑龙江哈尔滨模拟)函数f(x)＝x3－3x2＋4x－1，x∈R，当θ∈时，不等式f(m sin θ)＋f(4－m)>2恒成立，则实数m的取值范围是________． 5．(2026·山东济宁模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b满足f(3)＝1，且x＝2为f(x)的一个极值点． (1)求a，b； (2)已知y＝f(x)图象与y＝g(x)的图象关于点对称，若存在x∈[－2，0)使g(x)≥2－mx成立，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训19　三次函数的 性质研究 [真题精准练] 1．AC　因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝3x2－1＝0，得x＝.由f′(x)＝3x2－1＞0得x＞或x＜－；由f′(x)＝3x2－1＜0得－＜x＜.所以f(x)＝x3－x＋1在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)有两个极值点，故A正确．因为f(x)的极小值f＝3－＞0，f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5＜0，结合三次函数的图象，所以函数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误．因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0，0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0，1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确．假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1＝2，解得x0＝±1.若x0＝1，则切点坐标为(1，1)，但点(1，1)不在直线y＝2x上，若x0＝－1，则切点坐标为(－1，1)，但点(－1，1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误．故选AC. 2．AD　由题可知，f′(x)＝6x(x－a)．对于A，当a>1时，由f′(x)<0得0<x<a，由f′(x)>0得x<0或x>a，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→－∞，f(0)＝1，f(a)＝－a3＋1<0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故f(x)有三个零点，故A正确；对于B，当a<0时，由f′(x)<0得a<x<0，由f′(x)>0得x>0或x<a，则f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故x＝0是f(x)的极小值点，故B错误；对于C，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→－∞时，f(x)→－∞，故曲线y＝f(x)必不存在对称轴，故C错误；对于D，f(x)＝2x3－3ax2＋1＝23－a2＋1－，令t＝x－，则f(x)可转化为g(t)＝2t3－，由y＝2t3－a2t为奇函数，且其图象关于原点对称，可知g(t)的图象关于点对称，则f(x)的图象关于点对称，故存在a＝2，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，D正确．故选AD. [高考变式练] 1．ABD　对于A，因为f(x)是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f(x)＝x3＋x2－x＋2，所以x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)3＋(－x)2－(－x)＋2＝－x3＋x2＋x＋2，又f(x)＝f(－x)，所以当x<0时，f(x)＝－x3＋x2＋x＋2，故A正确；对于B，由A知x<0时，f(x)＝－x3＋x2＋x＋2，所以当x<0，f′(x)＝－3x2＋2x＋1，则f′(－1)＝－3－2＋1＝－4，所以B正确；对于C，因为当x≥0时，f′(x)＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0可得，x＝或x＝－1(舍去)．当0<x<时，f′(x)<0，函数f(x)在上单调递减，当x>时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在和上单调递增，故C错误；对于D，由选项C可知函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f′＝0，所以当x≥0时，x＝是f(x)的极小值点，因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以x＝－也是f(x)的极小值点，故f(x)有2个极小值点，故D正确．故选ABD. 2．ABD　对于A，因为f(x)＝x3－3x－1，所以f′(x)＝3x2－3，当－1<x<1时，f′(x)＝3x2－3<0，故A正确； 对于B，当－1<x<1时，f′(x)＝3x2－3<0，f(x)在(－1，1)上单调递减；当x>1或x<－1时，f′(x)＝3x2－3>0，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．则f(x)在x＝－1处，f(x)取极大值，且极大值为f(－1)＝－1＋3－1＝1，故B正确；对于C，因为f(x)＝x3－3x－1，所以f(－x)＝－x3＋3x－1≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，所以f(x)的图象不关于(0，0)对称，故C不正确；对于D，因为f(x)＝x3－3x－1，又f(x)＝1，所以x3－3x－1＝1，所以x3－3x－2＝0，所以x3＋x2－x2－x－2x－2＝0，所以(x3＋x2)－(x2＋x)－2(x＋1)＝0，所以x2(x＋1)－x(x＋1)－2(x＋1)＝0，所以(x＋1)(x2－x－2)＝0，所以(x＋1)2(x－2)＝0, 所以x1＝2，x2＝－1，所以x1＋x2＝1，故D正确．故选ABD. 3．解析：由题意，当x<a时，f(x)＝x－a<0，所以当x≥a时，f(x)max＝2，当x≥a时，f(x)＝－x3＋3x，所以f′(x)＝－3x2＋3＝3(1－x2)＝3(1－x)(1＋x)，令f′(x)＝0有x＝－1或1，由f′(x)>0⇒－1<x<1，f′(x)<0⇒x<－1或x>1，所以f(x)的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，又f(－1)＝－2，f(1)＝2，令f(x)＝－x3＋3x＝2，即(x－1)2(x＋2)＝0，解得x＝－2或1，所以f(－2)＝2，要使当x≥a时，f(x)max＝2，只需－2≤a≤1，即a∈[－2，1]. 答案：[－2，1] [最新模拟练] 1．D　因为f(x)＝(x＋1)3＋3(x＋1)＋1，所以 即令g(t)＝t3＋3t，g′(t)＝3t2＋3>0，所以g(t)在R上为单调递增的奇函数，由于g(a＋1)＝14，g(b＋1)＝－14，所以a＋1＋b＋1＝0，则a＋b＝－2，故选D. 2．A　由f(x)＝ax2＋b，得f′(x)＝x2＋ax，因为x＝－2是f(x)的一个极值点，所以f′(－2)＝4－2a＝0，所以a＝2，经验证，符合题意，f(x)＝x3＋x2＋b，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，在[－3，2]上由f′(x)>0得－3≤x<－2或0<x≤2，由f′(x)<0得－2<x<0，则f(x)在[－3，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，在(0，2]上单调递增，因为f(－3)＝f(0)＝b，f(－2)＝＋b，f(2)＝＋b，由函数f(x)在[－3，2]上有且仅有一个零点，则＋b<0，＋b≥0，解得－≤b<－，所以实数b的取值范围为.故选A. 3．ACD　对于A，由f′(x)＝3x2＋6x＋m，令f′(x)＝0，即3x2＋6x＋m＝0，由Δ＝36－12m>0得m<3，所以3x2＋6x＋m＝0有两个不相等的实数根，所以当m<3时，函数f(x)有两个极值点，故A正确；对于B，由f′(x)＝3x2＋6x＋m，二次函数y＝3x2＋6x＋m开口向上，所以不存在m∈R，使得f′(x)≤0恒成立，故B错误；对于C，设过点(0，－1)且与曲线y＝f(x)相切于点，f′(x0)＝＋6x0＋m，所以切线方程为y－＝(x－x0)，代入(0，－1)得－1－＝－，即＋2＝0，令g(x)＝2x3＋3x2＋2，所以g′(x)＝6x2＋6x＝6x(x＋1)，令g′(x)＝0，得x＝－1或0，由g′(x)>0⇒x<－1或x>0，当g′(x)<0⇒－1<x<0，所以g(x)在(－1，0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，又g(－1)＝3>0，g(0)＝2>0，所以g(x)只有一个零点，即方程＋2＝0只有一个实数解，所以过点(0，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且仅有一条，故C正确；对于D，当m＝1时，f(x)＝x3＋3x2＋x－3，若2b＝a＋c，即c＝2b－a，所以直线ax－by－c＝0为ax－by＋a－2b＝0，当b＝0时，x＝－1，则直线x＝－1与f(x)＝x3＋3x2＋x－3只有一个交点，不满足题意，当b≠0时，则y＝－2，所以⇒x3＋3x2＋＝0，又直线ax－by－c＝0与曲线y＝f(x)有三个交点＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)，即－(x1＋x2＋x3)＝3，即x1＋x2＋x3＝－3，故D正确．故选ACD. 4．解析：因为f(x)＝x3－3x2＋4x－1＝(x－1)3＋(x－1)＋1，所以f′(x)＝3x2－6x＋4＝3x2－6x＋3＋1＝3(x－1)2＋1>0，则f(x)在R上单调递增，由已知得f(x)＝(x－1)3＋(x－1)＋1，令x－1＝t，可将f(x)化为h(t)＝t3＋t＋1，且令g(t)＝t3＋t，而g(－t)＝(－t)3＋(－t)＝－t3－t＝－g(t)，即g(t)是奇函数，因为f(m sin θ)＋f(4－m)>2，所以h(m sin θ－1)＋h(4－m－1)>2，则g(m sin θ－1)＋g(3－m)＋2>2，即g(m sin θ－1)＋g(3－m)>0，即g(m sin θ－1)>－g(3－m)＝g(m－3)，由题意得，f(x)在R上单调递增，可得g(t)在R上单调递增，则m sin θ－1>m－3，θ∈，化简得m<，令t(θ)＝，得到m<t(θ)min，由正弦函数性质得y＝sin θ在上单调递增，可得t(θ)在上单调递增，即t(θ)∈(2，＋∞)，故m∈(－∞，2]. 答案：(－∞，2] 5．解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax， 由题得f′(2)＝12＋4a＝0，所以a＝－3， 经检验a＝－3符合题意， 又因为f(3)＝27－27＋b＝1，所以b＝1. (2)设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，P关于的对称点Q(1－x，－1－y)在y＝f(x)上， 所以－1－y＝(1－x)3－3(1－x)2＋1，所以y＝x3－3x，即g(x)＝x3－3x， 因为存在x∈[－2，0)使得g(x)≥2－mx成立， 所以x3－3x≥2－mx成立， 即m≤－x2＋＋3成立， 令h(x)＝－x2＋，则h′(x)＝， 令h′(x)＝0，得x＝－1， 所以当x∈[－2，－1]时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以当x∈(－1，0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 所以h(x)max＝h(－1)＝0，所以m≤0， 所以m的取值范围是(－∞，0]. 学科网（北京）股份有限公司 $