微专题集训15 曲线在某点或过某点的切线-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦曲线切线核心问题，通过高考真题与模拟题梯度训练，覆盖基础计算到综合应用，强化导数几何意义的推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础切线方程|6（如2020全国Ⅰ卷T6）|直接求某点切线方程|以导数几何意义为核心，通过求导得斜率，结合点斜式构建方程| |过点切线问题|4（如2021新高考Ⅰ卷T7）|过定点切线存在性及参数范围|设切点坐标，利用导数与切线方程建立等式，转化为方程解的问题| |切线综合应用|5（如2021新高考Ⅱ卷T16）|切线与函数性质、几何图形结合|综合导数运算、函数奇偶性、切线垂直等，体现模型意识与逻辑推理|

微专题集训15　曲线在某点或过某点的切线 [真题精准练] 1．B　f′(x)＝4x3－6x2，则f′(1)＝4－6＝－2，易知f(1)＝1－2＝－1，由点斜式可得函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B. 2．C　因为y＝， 所以y′＝， 所以k＝y′|x＝1＝， 所以曲线y＝在点处的切线方程为y－(x－1)，即y＝.故选C. 3．A　对函数f(x)＝求导得，f′(x)＝ ，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1) ，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为，故选A. 4．D　当b≤0时，由y＝ex的图象可知过点(a，b)只可以作曲线y＝ex的一条切线，所以b＞0.因为过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，所以点(a，b)在点(a，ea)的下方，所以0＜b＜ea.故选D. 5．解析：由y＝ex＋x＋a，得y′＝ex＋1.设切点为P(x0，y0)，由直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，得解得 答案：4 6．解析：因为y＝，所以y′＝.当x＝－1时，y＝－3，y′＝5，所以所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0. 答案：5x－y＋2＝0 7．解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)·ex.设切点为，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝，化简，得＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 8．解析：先求当x＞0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为，切线方程为y＝x.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－x.综上可知，两条切线方程为y＝x. 答案：y＝x 9．解析：当x>0时，f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则kBN＝.当x<0时，f(x)＝1－ex，f′(x)＝－ex，kAM＝，由切线垂直可知kAM·kBN＝＝－1，得x1＋x2＝0，设kBN＝k，则kAM＝－，则 ＝，因为x2>0，所以∈(0，1)．故的取值范围是(0，1)． 答案：(0，1) [高考变式练] 1．A　令y＝0，解得x＝1，故曲线y＝x2＋ln x－1与x轴的交点为(1，0)，函数y＝x2＋ln x－1的导数为y′＝2x＋，所以函数在x＝1处的导数即为切线斜率y′|x＝1＝3，根据点斜式写切线方程为y－0＝3(x－1)，即y＝3x－3，故选A. 2．D　依题意，当曲线y＝2－ln x在P处的切线垂直于AP时，|AP|取得最小值，设P(x0，2－ln x0)，求导得y′＝则－＝－1，整理得＋x0＋ln x0－2＝0，而函数f(x0)＝＋x0＋ln x0－2在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝0，因此x0＝1，点P(1，2)，所以|AP|＝2.故选D. 3．C　由题意知，f′(x)＝cos x，则f′(x1)＝cos x1，f′(x2)＝cos x2，f′(x3)＝cos x3，所以曲线f(x)在点(x1，sin x1)，(x2，sin x2)，(x3，sin x3)处的切线方程分别为y－sin x1＝cos x1(x－x1)，y－sin x2＝cos x2(x－x2)，y－sin x3＝cos x3(x－x3)，因为切线均过原点，所以sin x1＝x1cos x1，sin x2＝x2cos x2，sin x3＝x3cos x3，即x1＝tan x1，x2＝tan x2，x3＝tan x3，得＝1，故A和B错误；由＝1，得tan xi＝xi(i＝1，2，3)，画出函数y＝tan x与y＝x的图象，如图， 设A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)，<，即<，又x2－π－x1>0，x3－x2－π<0，则(x2－x1)(x3－x2－π)<(x3－x2)(x2－π－x1)，即x1π＋x3π<2πx2，得x1＋x3<2x2，故C正确，D错误，故选C. 4．A　f′(x)＝＝， f′(0)＝1，f(0)＝1，则y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选A. [最新模拟练] 1．A　若x>1，则－x<－1，则当－x<－1时，f(－x)＝ln ＝ln ，因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－ln ，即当x>1时，f(x)＝－ln ，f(3)＝－ln ＝－ln ＝ln 2，f′(x)＝则f′(3)＝，即曲线f(x)在点(3，f(3))处的切线斜率k＝－.因此可得切线方程为y－ln 2＝－(x－3)，即：x＋4y－4ln 2－3＝0.故选A. 2．D　y′＝ ＝－，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k＝－故选D. 3．D　设切点为(x，y)，曲线y＝ex＋b在切点处的斜率为y′＝ex＋b，直线y＝x＋a在切点处的斜率为1，切点处两者斜率相等，所以ex＋b＝1，得x＋b＝0，即切点横坐标x＝－b，又因为切点同时在直线与曲线上，纵坐标相等，所以e－b＋b＝a－b，也即a－b＝1.故选D. 4．D　令函数f(x)＝ln x＋ax＋，则f′(x)＝，故f′(1)＝a，所以l的方程为y－(a＋1)＝a(x－1)，整理得y＝ax＋1，所以l经过定点(0，1)．故选D. 5．B　对曲线y＝2x－ln (x＋1)＋3求导得，y′＝2－(x>－1)．设切点横坐标为x，因为直线y＝kx＋b是该曲线的切线，所以k＝2－(x>－1)．因为x＋1>0，所以>0，所以2－<2.所以k∈(－∞，2)．故选B. 6．D　由f(x)＝e－x，得f′(x)＝－e－x，所以f(0)＝1，f′(0)＝－1，则函数在x＝0处的切线方程为y＝－x＋1，令y＝0，解得x＝1，即a1＝1.同理可得曲线y＝f(x)在x＝an－1(n≥2)处的切线方程为(x－an－1)，令y＝0，解得x＝an－1＋1，即an＝an－1＋1(n≥2)，所以an－an－1＝1(n≥2)，即数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n，则，所以.故选D. 7．D　由f(x)＝求导，可得f′(x)＝ ， 则k切＝f′(0)＝－3，又f(0)＝2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－3x＋2，则切线与两坐标轴的交点分别为，(0，2)，故三角形的面积为.故选D. 8．BD　对于A，B，函数f(x)＝－x3eax＋b＋x(x>0)，求导得f′(x)＝－(ax3＋3x2)eax＋b＋1，由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，得 解得a＝－1，b＝1，故A错误，B正确；对于C，D，令g(x)＝f′(x)＝(x3－3x2)·e1-x＋1，求导得g′(x)＝－x(x2－6x＋6)e1-x，由g′(x)>0，得3－<x<3＋；由g′(x)<0，得0<x<3－或x>3＋，因此函数f′(x)在上单调递增，在上单调递减，故C错误，D正确．故选BD. 9．BD　对于AB，当a＝1时，f(x)＝，f′(x)＝，有f′(0)＝0，又f(0)＝1，故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1，故A错误，B正确；对于CD，当a＝0时，f(x)＝，则f′(x)＝，显然f′(1)＝0，即曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0，故C错误，D正确．故选BD. 10．解析：因为f′(x)＝3x2，设切点，则切线方程为y－(x－x0)，即y＝，因为过点(1，0)，所以＝0，解得x0＝0或x0＝，所以切线方程为y＝0或y＝(x－1)． 答案：y＝0或y＝ 11．解析：由y＝a ln x－2x可得y′＝－2，故曲线y＝a ln x－2x在x＝1处的切线的斜率为k＝a－2，由于该切线与直线x＋y－1＝0垂直，故(a－2)×(－1)＝－1，所以a＝3. 答案：3 12．解析：设直线y＝x＋m与曲线y＝2ln x－n＋4相切的切点横坐标为x0，由y′＝，则y′＝⇒x0＝e，所以曲线y＝2ln x－n＋4在x＝x0处的切线方程为y－(2ln e－n＋4)＝(x－e)，化简得y＝x＋4－n，根据题意可得－n＋4＝m⇒m＋n＝4，因为m>0，n>0，所以(m＋n)＝×(2＋2)＝1，当且仅当m＝n＝2时，等号成立，所以的最小值是1. 答案：1 13．解析：设过点P的直线与f(x)的图象相切于点，则切线斜率k＝f′(x0)＝－2，由切线过点P(a，4)，得k＝，因此，整理得＋2a＋4＝0.令g(x)＝2x3－3ax2＋2a＋4，则g′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)，原问题等价于g(x)有三个不同零点．当a＝0时，g′(x)＝6x2≥0，g(x)单调递增，最多有1个零点，不符合题意；当a>0时，g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，极大值为g(0)＝2a＋4，极小值为g(a)＝－a3＋2a＋4，要使g(x)有三个零点，需满足g(0)>0且g(a)<0，即解得a>2；当a<0时，g(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，极小值为g(0)＝2a＋4，极大值为g(a)＝－a3＋2a＋4，要使g(x)有三个零点，需满足g(a)>0且g(0)<0，即解得a<－2.综上，a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 14．解析：当0<x<e时，f(x)＝1－ln x，f′(x)＝－所以k1＝f′(x1)＝－，所以在M处的切线方程为y－1＋ln x1＝－(x－x1)，即y＝－x＋2－ln x1，令x＝0可得y＝2－ln x1，所以|OP|＝2－ln x1；当e<x<e2时，f(x)＝ln x－1，f′(x)＝，所以k2＝f′(x2)＝，N(x2，ln x2－1)，所以在N处的切线方程为y－(ln x2－1)＝(x－x2)，即y＝令x＝0可得y＝－2＋ln x2，所以|OQ|＝|ln x2－2|＝2－ln x2，因为两条切线互相垂直，所以－＝－1，所以x1x2＝1，所以，令t＝ln x2，t∈(1，2)，设g(t)＝，t∈(1，2)，因为g(t)在(1，2)上单调递增，所以g(t)∈(3，＋∞)，即∈(3，＋∞)，所以∈(6，＋∞)． 答案：(6，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训15　曲线在某点或过某点的切线 1．(2020·全国Ⅰ卷理T6，易)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 2．(2023·全国甲卷文T8，易)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝ D．y＝ 3．(2024·全国甲卷理T6，文T7，易)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． 4．(2021·新高考Ⅰ卷T7，中)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　) A．eb＜a B．ea＜b C．0＜a＜eb D．0＜b＜ea 5．(2025·全国一卷T12，易)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________． 6．(2021·全国甲卷理T13，易)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________． 7．(2022·新高考Ⅰ卷T15，中)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________． 8．(2022·新高考Ⅱ卷T14，中)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________________，__________． 9．(2021·新高考Ⅱ卷T16，难)已知函数f(x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1，f(x1))和点B(x2，f(x2))处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M、N两点，则的取值范围是________． 1．曲线y＝x2＋ln x－1在其与x轴的交点处的切线方程为(　　) A．y＝3x－3 B．y＝－3x＋3 C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2 2．在平面直角坐标系xOy中，A(－1，0)，P为曲线y＝2－ln x上一动点，则|AP|的最小值为(　　) A． B．2 C． D．2 3．已知0<x1<x2<x3<4π，函数f(x)＝sin x在点(xi，sin xi)(i＝1，2，3)处的切线均经过坐标原点，则(　　) A．< B．> C．x1＋x3<2x2 D．x1＋x3>2x2 4．设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．2x＋y－1＝0 D．x－2y＝0 1．(2026·广东广州月考)已知函数f(x)为奇函数，当x<－1时，f(x)＝ln ，则曲线f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是(　　) A．x＋4y－4ln 2－3＝0 B．x＋2y＋2ln 2－3＝0 C．x－4y＋4ln 2－3＝0 D．x－2y－2ln 2－3＝0 2．(2026·甘肃嘉峪关期中)曲线y＝在点(3，2)处的切线的斜率是(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 3．(2026·陕西安康模拟)若直线y＝x＋a与曲线y＝ex＋b相切，则(　　) A．a＋b＝－1 B．a＋b＝1 C．a－b＝－1 D．a－b＝1 4．(2026·广东湛江月考)曲线y＝ln x＋ax＋在点(1，a＋1)处的切线l过定点(　　) A．(1，2) B．(1，1) C．(1，0) D．(0，1) 5．(2026·辽宁大连模拟)若直线y＝kx＋b是曲线y＝2x－ln (x＋1)＋3的切线，则k的取值范围是(　　) A．(1，2] B．(－∞，2) C．(－∞，1) D．(1，2) 6．(2026·河北沧州月考)已知函数f(x)＝e－x，若曲线y＝f(x)在x＝0处的切线交x轴于点(a1，0)，在x＝a1处的切线交x轴于点(a2，0)，以此类推，曲线y＝f(x)在x＝an－1处的切线交x轴于点(an，0)，则的值是(　　) A． B． C． D． 7．(2026·河北沧州质量检测)已知函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． 8．(多选)(2026·山东聊城月考)已知函数f(x)＝－x3eax＋b＋x(x>0)，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，则下列结论正确的有(　　) A．a＝－2 B．b＝1 C．函数y＝f′(x)的单调递减区间为 D．函数y＝f′(x)的单调递增区间为 9．(多选)(2026·甘肃庆阳模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．当a＝1时，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x B．当a＝1时，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1 C．当a＝0时，曲线y＝f(x)上不存在斜率为0的切线 D．当a＝0时，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0 10．(2026·重庆沙坪坝期中)已知函数f(x)＝x3，请写出一条过点 (1，0) 且与y＝f(x)的图象相切的直线方程为________． 11．(2026·河北秦皇岛月考)已知曲线y＝a ln x－2x在x＝1处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则实数a的值为________． 12．(2026·山东泰安期中)已知m>0，n>0，直线y＝x＋m与曲线y＝2ln x－n＋4相切，则的最小值是________． 13．(2026·海南部分学校一模)已知函数f(x)＝x3－2x，过点P(a，4)有三条直线与f(x)的图象相切，则实数a的取值范围为________________． 14．(2026·山东淄博月考)已知函数f(x)＝的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $