微专题集训13 函数的零点-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦函数零点核心考法，通过真题与模拟题结合，系统覆盖零点个数判断、参数范围求解等题型，强化数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |真题再现|3道（新课标Ⅱ卷等）|图像交点、参数讨论|从具体函数零点到参数影响下的零点个数变化| |模拟提升|8道（分段/复合函数等）|方程解、零点存在性|综合函数性质分析零点存在条件，构建逻辑链条|

微专题集训13　函数的零点 1．(2024·新课标Ⅱ卷T6，中)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点．则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 2．(2022·天津卷T15，难)设a∈R.对任意实数x，用f(x)表示|x|－2，x2－ax＋3a－5中的较小者．若函数f(x)至少有3个零点，则a的取值范围为________． 3．(2021·北京卷T15，难)已知函数f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①当k＝0时，f(x)恰有2个零点；②存在负数k，使得f(x)恰有1个零点；③存在负数k，使得f(x)恰有3个零点；④存在正数k，使得f(x)恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是________． 1．函数y＝ex－mx在区间(0，3]上有两个零点，则m的取值范围是(　　) A．(1，e3] B．(0，e3] C． D． 2．已知关于x的方程＝k恰有两个不同的解，则实数k的取值范围为(　　) A． B． C． D． 3．已知函数f(x)＝x|x－2a|－a恰有1个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1，1) D．(1，＋∞) 1．(2026·青海西宁期中)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a有且仅有2个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0]∪(2，＋∞) B．(－1，1]∪(3，＋∞) C．(－1，1] D．[1，＋∞) 2．(2026·北京房山期中)函数f(x)＝x－－1的零点所在的区间(　　) A．(1，2) B． C． D．(3，4) 3．(2026·云南楚雄模拟)若函数f(x)＝ex－2x－b恰好有一个零点x0，则x0＋b＝(　　) A．2－2ln 2 B．2－ln 2 C．2＋2ln 2 D．2＋ln 2 4．(2026·海南部分学校一模)已知正数a，b，c满足a·2a＝b lg b＝c ln c＝1，则(　　) A．a<c<b B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b 5．(2026·陕西西安模拟)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d.若函数y＝f(g(x))与y＝g(f(x))都没有零点，则函数y＝f(f(x))与y＝g(g(x))(　　) A．都没有零点 B．都有零点 C．至少有一个没有零点 D．至少有一个有零点 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训13　函数的零点 [真题精准练] 1．D　由题意知f(x)＝g(x)，则a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，即cos x＝a(x2＋1)－1.令h(x)＝cos x－a(x2＋1)＋1.易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1，1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2，故选D. 2．解析：设g(x)＝|x|－2，h(x)＝x2－ax＋3a－5， 因为g(x)有2个零点，f(x)至少有3个零点，所以h(x)必有零点． 对于h(x)＝x2－ax＋3a－5. (1)当Δ＝0时，a＝2或10. ①当a＝2时，h(x)＝x2－2x＋1，如图1， 此时，f(x)＝|x|－2，有2个零点，不符合题意． ②当a＝10时，h(x)＝x2－10x＋25，如图2. 此时，f(x)有3个零点，符合题意． 图1　　　　　　　　图2 (2)当Δ>0时，a<2或a>10. 设h(x)的两个零点为x1，x2，且x1<x2， ①当a<2时，要使f(x)至少有3个零点，h(x)的两个零点x1，x2需满足x1<x2≤－2，如图3， 即不等式组无解． ②当a>10时，要使f(x)至少有3个零点，需h(x)的两个零点x1，x2满足2≤x1<x2，如图4， 即解得a>4，故此时a>10. 综上，a的取值范围为[10，＋∞)． 图3　　　　　　　　图4 答案：[10，＋∞) 3．解析：令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，得|lg x|＝kx＋2，令g(x)＝|lg x|，h(x)＝kx＋2，所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数．当k＝0时，如图a，g(x)与h(x)图象的有2个交点，则f(x)有2个零点，故①正确；当k>0时，如图b，存在h(x)＝k0x＋2的图象与函数g(x)＝|lg x|(x>1)的图象相切的情况．此时h(x)与g(x)的图象有2个交点，当0<k<k0时，g(x)与h(x)的图象有3个交点，则f(x)有3个零点，故④正确；当k<0时，如图c，g(x)与h(x)的图象最多有2个交点，g(x)与h(x)的图象相切时有1个交点，如图d，故②正确，③不正确．综上，正确结论的序号是①②④. 图a　　　　　　图b　　　 图c　　　　　图d 答案：①②④ [高考变式练] 1．C　由题意知方程ex－mx＝0(x∈(0，3])有两个实根，即m＝在x∈(0，3]上有两个实根，设f(x)＝，则f′(x)＝，当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(x)min＝f(1)＝e，又f(3)＝，而x→0时，f(x)→＋∞，所以当e<m≤时，f(x)＝的图象与直线y＝m在(0，3]上有两个交点，即原函数有两个零点．故选C. 2．A　当k≤0时，由于＋1≠0，则＋1＝k无解；当k>0时，＝k等价于＋1＝k(k≠1)或＋1＝－k(k≠－1)，对于＋1＝k，可得|x|＝k＋，令k＋≥0，即≥0，解得k>1，此时＋1＝k有两个解；对于＋1＝－k，可得|x|＝k－，令k－≥0，即≥0，即或解得k≥(由于k>0，舍去)，当k＝＝k－＝0，当k>＝k－有两解，综合可知：当k>1时，＋1＝k有两个解，k＝时，＋1＝－k有一个解，k>时，＋1＝－k有两个解，则k≥时，＝k有三个或四个解，不符合题意；由于关于x的方程＝k恰有两个不同的解，故1<k<，所以实数k的取值范围为.故选A. 3．C　因为f(x)＝x|x－2a|－a＝当a＝0时，f(x)＝则f(x)有且仅有一个零点x＝0，符合题意；当a>0时，则2a>a，当x≥2a时，f(x)＝x2－2ax－a＝(x－a)2－a－a2，则f(x)在[2a，＋∞)上单调递增，即x＝2a时，取得最小值f(2a)＝－a，当x<2a时，f(x)＝－x2＋2ax－a＝－(x－a)2－a＋a2，则f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，2a)上单调递减，即x＝a时，取得最大值f(a)＝－a＋a2，因为函数f(x)有且只有一个零点，所以解得0<a<1；当a<0时，则2a<a，当x≥2a时，f(x)＝x2－2ax－a＝(x－a)2－a－a2，则f(x)在[a，＋∞)上单调递增，在(2a，a)上单调递减，即x＝a时，取得最小值f(a)＝－a－a2，当x<2a时，f(x)＝－x2＋2ax－a＝－(x－a)2－a＋a2，则f(x)在(－∞，2a]上单调递增，即x＝2a时，取得最大值f(2a)＝－a，因为函数f(x)有且只有一个零点，所以解得－1<a<0；综上所述，实数a的取值范围是(－1，1)．故选C. [最新模拟练] 1．B　函数y＝f(x)－a有且仅有2个零点，则y＝f(x)与y＝a有2个交点，当x>1时，f(x)＝x＋ln x单调递增，f(x)>1；当x≤1时，f(x)＝x2＋2x在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，且f(1)＝3，最小值为f(－1)＝－1，可得函数y＝f(x)的图象，如图所示： 由y＝f(x)，y＝a的图象有2个交点知，a的取值范围是(－1，1]∪(3，＋∞)．故选B. 2．C　函数f(x)＝x－－1的定义域为[0，＋∞)，而f(0)＝－1≠0，当x>0时，f(x)＝>0，令函数g(x)＝－1，函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(2)＝－1<0，g＝－1<0，g(3)＝－1>0，因此函数g(x)的零点在上，所以函数f(x)的零点在上．故选C. 3．B　令f(x)＝0，可得ex＝2x＋b.因为函数f(x)恰好有一个零点x0，所以由指数函数的图象可知，直线y＝2x＋b与曲线g(x)＝ex相切．易知g′(x)＝ex，设切点坐标为，则2＝，解得x0＝ln 2.又切点(ln 2，2)在切线y＝2x＋b上，所以b＝2－2ln 2，所以x0＋b＝ln 2＋2－2ln 2＝2－ln 2.故选B. 4．A　由题意知a，b，c分别是方程2x＝，lg x＝，ln x＝的正根，即函数y＝2x，y＝lg x，y＝ln x的图象与y＝的图象的交点的横坐标，作出相应图象如图，由图可知a<c<b.故选A. 5．C　因为f(x)，g(x)的图象开口向上，所以设f(x)，g(x)的最小值分别为a1，a2，假设函数y＝f(f(x))与y＝g(g(x))都有零点，则存在x1使得f(f(x1))＝0，令f(x1)＝t1，则f(t1)＝0；存在x2使得g(g(x2))＝0，令g(x2)＝t2，则g(t2)＝0；所以t1≥a1，t2≥a2，下面分三种情况讨论：假设t1＝t2，则函数f(g(x2))＝g(f(x1))＝0，即函数y＝f(g(x))与y＝g(f(x))有零点，与函数y＝f(g(x))与y＝g(f(x))都没有零点矛盾，故不成立；假设t1<t2，则∃x3∈R使得f(x3)＝t2，此时y＝g(f(x3))＝g(t2)＝0，即函数y＝f(g(x))存在零点x3，与y＝g(f(x))没有零点矛盾，故不成立；假设t1>t2，则∃x4∈R使得g(x4)＝t1，此时y＝f(g(x4))＝f(t1)＝0，即函数y＝f(g(x))存在零点x4，与y＝f(g(x))没有零点矛盾，故不成立；综上，假设函数y＝f(f(x))与y＝g(g(x))都有零点不成立，即函数y＝f(f(x))与y＝g(g(x))至少有一个没有零点．故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $