微专题集训8 函数的奇偶性-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦函数奇偶性的概念应用与综合拓展，通过高考真题与模拟题系统覆盖判定、参数求解、性质结合等核心考法，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |奇偶性判定与参数求解|6题（含2023新课标Ⅱ卷T4等）|给定函数式判断奇偶性或求参数|从定义出发，通过f(-x)=±f(x)建立方程求解| |奇偶性与函数性质综合|5题（含2025全国二卷T10等）|结合单调性、极值、函数值计算|奇偶性为桥梁，关联函数分段表达式与图像特征| |奇偶性应用与图像分析|2题（含图像题）|利用奇偶性解决方程、最值问题|体现从直观图像到抽象性质的数学眼光转化|

微专题集训8　函数的奇偶性 1．(2023·新课标Ⅱ卷T4，易)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 2．(多选)(2025·全国二卷T10，中)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　) A．f(0)＝0 B．当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2 C．f(x)≥2当且仅当x≥ D．x＝－1是f(x)的极大值点 3．(2022·全国乙卷文T16，中)若f(x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝______，b＝________． 1．已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x)是偶函数，则a＝1 B．若f(x)是奇函数，则a＝－1 C．若f(x)>0，则a的取值范围为(0，＋∞) D．若a>0，则f(x)的最小值为2 3．若函数f(x)＝为奇函数，则f(1)＝______． 1．(2026·北京中关村中学期中)下列函数中，既是奇函数又在定义域上是减函数的是(　　) A．y＝ B．y＝x|x| C．y＝ D．y＝－ 2．(2026·浙江台州期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝5－2x，若f(x)＝，则x的值是(　　) A．－ B．－ C． D．－或 3．(2026·广东深圳模拟)若函数f(x)＝的图象关于y轴对称，则a＝(　　) A．－ B． C．－2 D．2 4．(2026·广东珠海月考)已知f(x)＝ex－e－x＋sin x－x，若正实数m，n满足f(2m)＋f(n－1)＝0，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 5．(多选)(2026·福建厦门期中)已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则(　　) A．y＝f(x)g(x)为奇函数 B．y＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递减 C．y＝f(g(x))为奇函数 D．y＝f(x)g(x)的值域为R 6．(多选)(2026·重庆名校联考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2ln x＋则(　　) A．f(－1)＝ B．当x<0时，f(x)＝－2ln (－x)－x2－3x C．f(2)<f(－e)<f(4) D．f(x)恰有3个零点 7．(2026·福建龙岩模拟)函数f(x)＝x2＋ax＋b，x∈[－2b－1，2－b]是偶函数，则a＋b＝__________． 8．(2026·四川凉山模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－3x，则f[f(1)]＝___________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训8　函数的奇偶性 [真题精准练] 1．B　因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝(2x－1)·(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为{x，或x<－}，关于原点对称． f(－x)＝(－x)ln ＝(－x) ＝(－x)ln -1 ＝x ln ＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 2．ABD　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，故A正确；当x<0时，－x>0，因此f(－x)＝[(－x)2－3]e－x＋2＝－f(x)，因此f(x)＝－(x2－3)e－x－2，故B正确；当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，f′(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x＋3)(x－1)ex，令f′(x)>0，得x>1，令f′(x)<0，得0<x<1，因此f(x)在x＝1处取得极小值，因此奇函数f(x)在x＝－1处取得极大值，故D正确；当x>0时，f(x)≥2，即(x2－3)ex≥0，解得x≥，当x<0时，f(x)在x＝－1处取得极大值，f(－1)＝－(1－3)e－2＝2e－2>2，因此在(－∞，0)上也存在满足f(x)≥2的区间，故C错误．故选ABD. 3．解析：f(x)＝ln ＋b ＝ln ＋ln eb ＝ln . 因为f(x)为奇函数， 所以f(－x)＋f(x)＝ ln ＝0， 所以|(a＋1)2e2b－a2e2bx2| ＝|1－x2|. 当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝1－x2时， [(a＋1)2e2b－1]＋(1－a2e2b)x2＝0 对任意的x恒成立，则 解得当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝x2－1时，[(a＋1)2e2b＋1]－(a2e2b＋1)x2＝0对任意的x恒成立，则无解． 综上，a＝－，b＝ln 2. 答案：－　ln 2 [高考变式练] 1．D　f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D. 2．ABD　对于A，因为f(x)＝为偶函数，则f(－x)＝＝f(x)，所以a·4x＋1＝4x＋a，整理得(a－1)(4x－1)＝0，因为(a－1)(4x－1)＝0对∀x∈R恒成立，所以a＝1，故A正确；对于B，因为f(x)＝为奇函数， 则f(－x)＝ ＝－＝－f(x)，所以a·4x＋1＝－4x－a，整理得到(a＋1)(4x＋1)＝0，因为(a＋1)(4x＋1)＝0对∀x∈R恒成立，所以a＝－1，故B正确；对于C，由f(x)＝>0，得到4x＋a>0恒成立，即a>－4x恒成立，又易知4x∈(0，＋∞)，所以a≥0，故C错误；对于D，令2x＝t>0，由f(x)＝，得到y＝，当且仅当t＝，即t＝log2a时取等号，所以D正确．故选ABD. 3．解析：f(x)的定义域为R，因为f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即m＝0，此时f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，则此时f(x)为奇函数，满足题意，则f(1)＝. 答案： [最新模拟练] 1．D　对于A，函数y＝是奇函数，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝分别在两个区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不能说y＝在定义域上单调递减，故A错误；对于B，y＝x|x|＝是奇函数，但在R上单调递增，故B错误；对于C，y＝是奇函数，但x＝0时y＝0，x＝1时y＝1，故y＝不是定义域上的减函数，故C错误；对于D，y＝－是奇函数，且在定义域上是减函数，故D正确；故选D. 2．D　因为当x≥0时，f(x)＝5－2x，若f(x)＝，所以，当x≥0时，5－2x＝，解得x＝，因为f(x)是偶函数，所以f(x)还有另一解为－.所以，若f(x)＝，则x的值是－或.故选D. 3．B　因为f(x)＝的图象关于y轴对称，故f(－x)＝f(x)，即，即－xe－ax(ex－1)＝xeax(e－x－1)，即xeax＝0⇔x(1－ex)＝0，要想上式恒成立，则eax－x－＝0恒成立，即e2ax－x－1＝0，故2ax－x＝0，所以a＝.故选B. 4．D　函数f(x)＝ex－e－x＋sin x－x的定义域为R，又f(－x)＝e－x－ex＋sin (－x)＋x＝－(ex－e－x＋sin x－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又f′(x)＝ex＋e－x＋cos x－1，因为ex＋e－x≥2，cos x≥－1，所以f′(x)≥2－1－1＝0，当且仅当x＝0且cos x＝－1时等号成立，但此两条件不能同时满足，故f′(x)>0恒成立，所以f(x)在R上为增函数，又正实数m，n满足f(2m)＋f(n－1)＝0，所以f(2m)＝f(1－n)，故2m＝1－n，所以2m＋n－1＝0，即6m＋3n＋1＝4，所以(6m＋3n＋1)＝＝，当且仅当，即m＝时取等号．故选D. 5．ABD　由图象知，y＝f(x)的定义域为R，是偶函数，在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；y＝g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是奇函数，在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递增；对于A，y＝f(x)g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又因为f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以y＝f(x)g(x)是奇函数，故A正确；对于B，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以－g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故B正确；对于C，y＝f(g(x))的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又因为f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))，所以y＝f(g(x))为偶函数，故C错误；对于D，记f(x)的图象与x轴交于点(±a，0)，与y轴交于点(0，b)，由图可知，当x从－a趋近于0时，f(x)的函数值从0趋近于b，g(x)的函数值从一个定值趋近于＋∞，所以f(x)g(x)的值从0趋近于＋∞，即f(x)g(x)的值可以取到[0，＋∞)， 又f(x)g(x)为奇函数，所以y＝f(x)g(x)的值域为R，故D正确．故选ABD. 6．ABD　f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2ln x＋x2－3x，对于A，f(－1)＝－f(1)＝－＝，故A正确；对于B，当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－[2ln (－x)＋(－x)2－3(－x)]＝－2ln (－x)－x2－3x，故B正确；对于C，f(2)＝2ln 2－4，f(4)＝2ln 4－4＝4ln 2－4，f(－e)＝－2ln e－e2＋3e＝3e－e2－2＝>0，故3e－e2－2>0>4ln 2－4>2ln 2－4，即f(2)<f(4)<f(－e)，故C错误；对于D，当x>0时，f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝，则由f′(x)>0可得0<x<1或x>2；由f′(x)<0可得1<x<2，故f(x)在(0，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，f(1)＝－3<0，f(2)＝2ln 2－4<0，f(6)＝2ln 6＋×62－3×6＝2ln 6>0，可知f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)在(－∞，0)上有一个零点，且f(0)＝0，所以f(x)恰有3个零点，故D正确．故选ABD. 7．解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2b－1＋2－b＝0，解得b＝.又因为函数f(x)＝x2＋ax＋为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即，解得a＝0.所以a＋b＝. 答案： 8．解析：f(1)＝1－3＝－2，f(2)＝4－6＝－2，因为f(x)为奇函数， 所以f[f(1)]＝f(－2)＝－f(2)＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $